人教A版高中数学必修五 课件：2.4　第一课时　等比数列的概念与通项公式 :36张PPT

课件36张PPT。2.4　等比数列
第一课时　等比数列的概念与通项公式[目标导航]新知导学课堂探究1.等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第　 　项起,每一项与它的前一项的比等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母q表示(q≠0).?新知导学·素养养成2同一常数公比思考1:等比数列中的项能否等于零?公比能否等于零?
答案:不能,不能.
思考2:等比数列的定义怎样用数学符号及式子表示?
答案:在数列{an}中,若 =q(q是常数,n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列.2.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的
,这三个数满足关系式G2=ab.等比中项思考3:若三个数a,G,b成等比数列,则a,b两数的符号有什么关系?
答案:若三个数a,G,b成等比数列,则G2=ab,因此要求a,b符号相同.3.等比数列的递推公式与通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0),填表:a1qn-1思考4:在数列{an}中,若an+1=anq(n∈N*,q为常数),则数列{an}为等比数列吗?
答案:不一定,当an=0或q=0时都不是等比数列.名师点津等比数列的两个关注点:
(1)由于等比数列每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此q也不能是0,若存在为0的项时,必不是等比数列.(2)常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论.课堂探究·素养提升题型一　等比数列的通项公式及其应用[例1]在等比数列{an}中,
(1)a2=- ,a6=-27,求an;(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.方法技巧a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,其他量便可求出来.即时训练1-1:在等比数列{an}中,
(1)若a4=27,q=-3,求a7;
(2)若a2=18,a4=8,求a1和q;解:(1)法一　由a4=a1·q3,得27=a1·(-3)3,得a1=-1,
所以a7=a1·q6=(-1)×(-3)6=-729.
法二　a7=a4·q3=27×(-3)3=-729.(3)若a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.答案:2n(2)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2.
①求数列{an}的通项公式;
②设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7.问b6与数列{an}的第几项相等?(2)解:①设等差数列{an}的公差为d,则d=a4-a3=2,a1+a2=2a1+2=10,
所以a1=4,因此an=4+(n-1)×2=2(n+1).题型二　等比数列的判定与证明[例2](2019·山东日照模拟)已知数列{an}满足a1= ,an+1=3an-4n+2(n∈N*).
(1)求a2,a3的值;(2)证明数列{an-2n}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式.方法技巧(2)等比中项法=an·an+2(an≠0,n∈N*)?{an}为等比数列.
(3)通项法:an=a1qn-1(其中a1,q为非零常数,n∈N*)?{an}为等比数列.即时训练2-1:(2019·南阳高二期末)已知数列{an}中,a1=2,an+1=2an-1.判断数列{an-1}是否为等比数列?并说明理由.[备用例2](1)已知数列{an}的前n项和Sn=2-an,求证:数列{an}是等比数列;(2)解:令an+1+λ=3(an+λ),
可化为an+1=3an+2λ,所以λ=1.
又a1+1=2,
所以{an+1}是等比数列,其中首项为2,公比为3,
所以an+1=2·3n-1,
所以an=2·3n-1-1.(2)已知数列{an}满足an+1=3an+2(n∈N*),a1=1,求通项公式an.题型三　等比中项的应用
[例3](2019·邯郸高二检测)已知等比数列的前三项和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.方法技巧(1)首项a1和q是构成等比数列的基本量,从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.(2)本题要注意同号的两个数的等比中项有两个,它们互为相反数,而异号的两个数没有等比中项.即时训练3-1:若a,b,c成等差数列,且a+1,b,c与a,b,c+2都成等比数列,求b的值.[备用例3](1)已知一等比数列的前三项依次为x,2x+2,3x+3,那么-13 是此数列的第　　　　项(　　)?
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(2)(2019·日照高二检测)已知b是a与c的等比中项.求证:a2+b2,ab+bc,
b2+c2成等比数列.(2)证明:因为b是a和c的等比中项,所以b2=ac,且a,b,c均不为零,
所以(ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c2=a3c+2a2c2+ac3,
又因为(a2+b2)·(b2+c2)
=a2b2+a2c2+b4+b2c2
=a3c+a2c2+a2c2+ac3
=a3c+2a2c2+ac3,
所以(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2),
又因为a2+b2≠0,b2+c2≠0,所以a2+b2,ab+bc,b2+c2成等比数列.学霸经验分享区(1)要注意利用等比数列的定义解题,在很多时候紧扣定义是解决问题的关键.(2)注意基本量法:在用等比数列通项公式时,以首项a1,公比q为基本量,其他量用这两个量表示出来,再寻求条件与结论的联系,往往使很多问题更容易解决.
(3)等比中项在题目中会经常出现,因此要掌握好.课堂达标D2.在等比数列{an}中,已知a1=3,a3=27,则数列的通项公式是(　 　)
(A)an=3n (B)an=3n-1
(C)an=3n或an=(-1)n-13n (D)an=2n-1C解析:由a3=a1q2,得q2=9,即q=±3,
所以an=a1qn-1=3×3n-1=3n或an=a1qn-1=3×(-3)n-1=(-1)n-13n,
则数列的通项公式是an=3n或an=(-1)n-13n,故选C.B4.在等比数列{an}中,a1=2,a4=4,则a7=　　　　.解析:由a4=a1q3,得q3=2,
所以a7=a1q6=a1(q3)2=8.答案:8 答案:1 点击进入 课时作业