人教版八年级数学下册第十六章 二次根式16.1二次根式课件（2课时共69张）

(共69张PPT)
16.1二次根式
第一课时
第二课时
人教版 数学 八年级 下册











二次根式有意义的条件和非负性
第一课时
返回
　　电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系 ，其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们的传播半径之比是 .
公式中 中的 表示什么意义？
式子 表示
什么？　　
导入新知

1. 理解二次根式的概念.
2. 掌握二次根式有意义的条件，能运用二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围.
素养目标

3. 会利用二次根式的双重非负性解决相关问题.
　（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形
的边长为_______．
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2， 如果用含有h 的式子表示 t ，则t 为_____．
探究新知


知识点 1
二次根式的定义和有意义的条件
用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点
（1）这些式子分别表示什么意义？
分别表示3，S，65， 的算术平方根．
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
（2）这些式子有什么共同特征？
探究新知

在前面的问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ．
根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？　
我们知道，一个正数有两个平方根；
0的平方根为0；
在实数范围内，负数没有平方根.
因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.　
探究新知

一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
两个必备特征

①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥0
注意：a可以是数，也可以是式.
探究新知

归纳总结
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
探究新知






素养考点 1
利用二次根式的定义识别二次根式
（1） ； （2）81； （3） ；（4）
（5） （6） ；（7）
1.下列各式是二次根式吗?


是

是
是
是
是
巩固练习

（1）
（2）
（3）
（4）
（6）
（5）
（7）
（8）
（9）
（10）
不是
不是
不是
不是
不是
例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义?
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
【思考】1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由题意得x-1＞0，
∴x＞1.
探究新知






素养考点 2
利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围
（1）
解：∵被开方数需大于或等于零，
∴x+3≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
∴x≥-3 且x≠1.
归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
探究新知

（2）
【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：(1)∵无论x为任何实数，
∴当x=1时， 在实数范围内有意义.
(2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，
∴无论x为任何实数， 在实数范围内都无意义.
探究新知

归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
（1）
（2）
(1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
(3)多个二次根式相加如 有意义的条件：
(2)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：A＞0；
(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：
A≥0且B≠0.
探究新知



归纳总结
二次根式有意义的条件应用的不同类型：
2. x取何值时,下列二次根式有意义?

巩固练习

（1）
（2）
x≥1
x≤0
（3）
（4）
x为全体实数
x>0
（5）
（6）
x≥0
x≠0
x≥-1且x≠2
(7)
（9）
x>0
x为全体实数
(8)
【新知思考】当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
探究新知


知识点 2
二次根式的双重非负性
【回顾思考】二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
因为x? ≥0，所以x可以为任意实数.
要使x? ≥0，必须x ≥0 .
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 .这就是说，当a≥0时， .
呢？
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，必须满足以下两条：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.

探究新知

二次根式的双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负


归纳总结
解：
由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,
解得a=-3,b=2,c=1.
所以2a-b+3c= -3×2-2+3×1= -5.
探究新知






素养考点 1
利用二次根式的双重非负性求字母的值
例3 若 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
3.已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
巩固练习

探究新知






素养考点 2
二次根式的双重非负性和不等式求字母的值
例4 已知实数x、y满足等式 ，
求x2-2xy+y2的值.
解：
由题意得

解得：x=3
把x=3,代入得y=-5
所以x2-2xy+y2=（x-y)2=(3+5)2=64
总结：若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.

4. 已知y = ,求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=3×3＋2×8=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
巩固练习

巩固练习





连接中考
C
1.（2018?扬州）使 有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≠3
A
2.（2019?黄石）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥1且x≠2 B．x≤1 C．x＞1且x≠2 D．x＜1





连接中考
巩固练习
3.（2018?苏州）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．

C． D．
D
A
D
-1
3.当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值
为______．
0
课堂检测






基础巩固题
1.下面的式子是二次根式的是(　　)
A. B. C. D. a
2.（2018?达州）二次根式 中的x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2
4.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值
范围是_______;
(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.
x ≥1
x ≥0且x≠2
课堂检测






基础巩固题
5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，
解得 m≥2且m≠-1，m≠2，
(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
课堂检测






基础巩固题
∴m＞2．
∵(x+3)2≥0，
∴m-9≥0，即m≥9.
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长．
解：由题意得
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．





能力提升题
课堂检测

先阅读，后回答问题：
当x为何值时， 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
由乘法法则得
解得x≥1 或x≤0
即当x≥1 或x≤0时， 有意义.
课堂检测






拓广探索题
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， 有意义？
解：由题意得
则
解得x≥2或x＜ ，
即当x≥2或x＜ 时， 有意义．
课堂检测






拓广探索题
二次根式
定义
带有二次根号
在有意义条件下求字母的取值范围


抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式或不等式组求出其解集.
被开方数为非负数

二次根式的双重非负性

二次根式 中,a≥0且
≥0
课堂小结












二次根式化简

第二课时
返回
【思考】下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？
算术平方根之门
平方之门
0
-4
-1
a
a≥0
1
导入新知


我们都是非负数哟！
【思考】若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？
算术平方根之门
平方之门
0
-4
-1
1
16
4
1
a
a为任意数
【想一想】 你发现了什么？
导入新知


我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数.
2. 会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
素养目标


1. 经历探索性质 = a（a≥0）和 = a（a≥0）的过程，并理解其意义，体验归纳、猜想的思想方法.
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
（1）什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根.
a的平方根是
用　 (a≥0)表示.

知识点 1
（a≥0) 性质
探究新知

（1）填空：
（2）通过（1）的思考，你能确定( )?（a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.
4
0
探究新知

2
是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于4的非负数，因此有( )? =4.
同理， 分别是 的算术平方根.

因此 , ,
( )?=2
( )?=
( )?=0
探究新知

的性质：
一般地， ＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.
探究新知

归纳：
例1 计算：
解：
积的乘方：
（ab）2=a2b2
探究新知






素养考点 1
利用 的性质进行计算
（1） （2）
（1）
（2）

(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？
解:

巩固练习
1.计算：
（1）
（2）
（1）
（2）
解：
探究新知






素养考点 2
利用 的性质分解因式
总结：本题逆用了 在实数范围内
分解因式.
例2 在实数范围内分解因式：
（1）4x2-5 (2)m4-6m2+9
（1）
（2）

巩固练习
2. 在实数范围内分解因式：
（1）x2-11 (2)x4-14x2+49
解：（1）x2-11
=(x+ )(x- )

(2) x4-14x2+49
=(x2-7)2
=(x- )2(x+ )2
2
0.1
0
化简下列根式，想一想

知识点 2
的性质
探究新知

化简后，你能确定 的化简结果吗？

...
平方运算
算术平方根
2 0.1


0
...
a(a≥0)


2




...


观察两者有什么关系？
填一填：
＝a (a≥0).
探究新知


...
平方运算
算术平方根
-2
-0.1

...

2


...


观察两者有什么关系？
a(a＜0)

【猜一猜】当a＜0时， =

？
-a
探究新知


a (a≥0)
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
探究新知

归纳：
的性质：
解：
探究新知






素养考点 1
利用 的性质进行计算
警示： 而3.14＜π，要注意a的正负性.
例3 化简：
（1）
（2）
（3）
（4）
(1)
(2)
(3)
(4)
【讨论】（1）在 中，可否去掉“a≥0”？如果去掉“a≥0”,结论将会发生怎样的变化？
（2）第二小题中的 能否直接使用性质
进行化简？

探究新知




探究新知


方法点拨

计算 一般有两个步骤:
①去根号及被开方数的指数,写成绝对值的形式,即 ;
②去掉绝对值符号,即
3.请同学们快速分辨下列各题的对错．
（ ）
×
×
√
√

巩固练习
（ ）
（ ）
（ ）
3
7
4
81

巩固练习
4.化简：

（1） = ; （2） = ;

（3） = ; （4） = ;
（5） =______ ; （6） =_______ .
0.6
10-3
【议一议】如何区别 与 ？





从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方,后平方
先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
|a|
意义
表示一个非负数a的算术平方根的平方
表示一个实数a的平方的算术平方根
探究新知

解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
∴原式=|a|-|b|+|a-b|
=-a-b-（a-b）
=-2a.
例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:
a
b
探究新知






素养考点 2
几何图形与 的性质相结合的题目





-1
0
1
2
a
5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简
的结果是 .
1

巩固练习
6.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示, 化简 的结果是(　　)


A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
A
a
b
0
（1）含有数或表示数的字母；
（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．
（a≥0）
　　回顾我们学过的式子，如
，这些式子有哪些共同
特征？

知识点 3
代数式的定义
探究新知

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把 或 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
数
表示数的字母
【想一想】到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？
代数式

整式
分式
二次根式
探究新知

归纳：
探究新知






素养考点 1
利用代数式的定义判断代数式
例5 下列式子:(1)x; (2)a-b; (3) ;(4) ;
(5)m=1+n;(6)2x>1;(7)-2.其中是代数式的有(　　)
A.4个　　　 B.5个 C.6个　　　 D.7个
B
7.下列式子是代数式的有 ( )
①a2+b2 ; ② ; ③13; ④x=2; ⑤3×（4 －5）;
⑥x－1≤0; ⑦10x+5y=15 ; ⑧
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
C

巩固练习
解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是 km/h，逆水行驶的速度是 km/h．
例5（1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；
（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.
（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 所以它的长为
探究新知






素养考点 2
列代数式
探究新知



归纳总结
列代数式的要点：
①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
7.如图，是一个圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为__________.

巩固练习
1.（2019?黄冈）计算 的结果是____．

巩固练习




连接中考
4
2.（2018?无锡）下列等式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
A
1.（2018?临安区）化简 的结果是（　　）
A．﹣2 B．±2 C．2 D．4
C
2. 当1A.3 B.-3 C.1 D.-1
D
课堂检测






基础巩固题
3.在下列各式中，不是代数式的是（　　）
A.7 B.3＞2 C. D．
B
4.计算：
解:
课堂检测

（1） （2） （3） （4）
（1）
（2）
（3）
（4）





基础巩固题
5.在实数范围内分解因式：
解：
课堂检测

（1）x2-3
(2)y4-4y2+4
（1）x2-3
=
(2)y4-4y2+4
=(y2-2)2
=
=





基础巩固题
实数a、b在数轴上的对应点如图所示，
化简： .
解：根据数轴可知b＜a＜0，
∴a+2b＜0，a-b＞0，
则
=|a+2b|+|a-b|
=-a-2b+a-b=-3b．





能力提升题
课堂检测

a
b
0
已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：
解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c，
∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）
=a+b+c-b-c+a+b+a-c
=3a+b-c．
分析：
利用三角形三边关系
三边长均为正数，a+b+c＞0
两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0
课堂检测






拓广探索题
二次根式
性质




(a ≥0).
拓展性质

课堂小结

（a为全体实数）
课后作业


作业
内容


教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习