人教版八年级数学下册第十九章 一次函数19.2.3 一次函数与方程、不等式课件（共41张）

(共41张PPT)
19.2 一次函数
19.2.3 一次函数与方程、不等式
人教版 数学 八年级 下册
　　今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”.
二元一次方程
一次函数
x+y=5

到我这里来

到我这里来
导入新知


这是怎么回事？ x+y=5应该坐在哪里呢？
1. 认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系．
2. 会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.
素养目标

3. 经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想.
我们先来看下面两个问题：
（1）解方程2x+20=0.
（2）当自变量x为何值时函数y=2x+20的值为0？
问题：
1. 对于2x+20=0 和y=2x+20，从形式上看，有什么相同和不同？
2. 从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？
探究新知


知识点 1
一次函数与一元一次方程


作出函数y=2x+20的图象.

【思考】函数图象哪一个点的坐标表示函数值为0?
与x轴的交点(-10,0)
即当x=-10时，函数y=2x+20的值为0，这说明方程2x+20=0的解是x=-10.方程的解是函数与x轴的交点的横坐标.


20
-10
0





x
y
问题(1)解方程2x+20=0，
得x=-10.

所对应的（ ）为何值？
实质上这可以通过解方程2x+20=0,得出x=-10.因此，这两个问题实际上是同一个问题.
问题(2)就是要考虑当函数y=2x+20的值为（ ）时，
自变量x
0
从图象上看：
探究新知

【思考】由上面两个问题的关系，能进一步得到解方程ax+b=0（a， b为常数）与求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0有什么关系？
探究新知

由上面问题可以得到,一元一次方程的求解与解相应的一次函数问题相一致.
由于任何一个一元一次方程都可转化ax+b=0(a,b为常数,
a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数值y为0时，求相应的自变量x的值.从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标的值.
求ax+b=0(a, b是
常数，a≠0)的解
x为何值y= ax+b
的值为0

求ax+b=0(a, b是
常数，a≠0)的解
确定直线y= ax+b
与x轴交点的横坐标

从数的角度看
从形的角度看
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一次函数与一元一次方程的关系
1.以下的一元一次方程与一次函数问题是同一问题
序号 一元一次方程问题 一次函数问题
1 解方程3x－2=0 当x为何值时,
y=3x－2的值为0
2 解方程8x+3=0
3 当x为何值时,
y= -7x+2的值为0
4 解方程
3x-2=8x+3
当x为何值时,y=8x+3的值为0
解方程-7x+2=0
当x为何值时, y=-5x-5的值为0
巩固练习

例1 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答)
解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒，
由题意得2x+5=17
解得 x=6
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
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素养考点 1
利用一次函数、方程及图象解答问题
解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5
由2x+5=17 得 2x－12=0
由右图看出直线y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x=6.


O
x
y
6
－12

y=2x－12
探究新知

解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5
由右图可以看出当y =17时，x=6.
y=2x+5
x
y



O
6
17
5
－2.5


探究新知

2.当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=2x+8的值满足下列条件？(1)y=0；(2)y=-8.

3.已知方程ax+b=0的解是-2，下列图象一定不是直线y=ax+b的是( )


0
x
y


0
x
y


0
x
y


0
x
y




-2
-2
-2
-2
-2
A
B
C
D
B
x=-4；
x=-8.


巩固练习

解:

【讨论】观察下面3个不等式有什么共同点与不同点？
（1）
＞2；
（2）
＜0；
（3）
＜-1
3个不等式相同的特点是：不等号左边都是 ；
不同点是：不等号及不等号右边分别是 ， ， .

2
0
-1
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知识点 2
一次函数与一元一次不等式

【讨论】你能从函数的角度对以上3个不等式进行解释吗？
的函数值分别为 、
、 时，求
自变量x的取值范围
解释1：这3个不等式相当于在一次函数
小于-1
大于2
小于0




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解释2：在直线
上取纵坐标分别.
满足条件 、 、 的点，看他们的横坐标分别满足什么条件.
大于2
小于0
小于-1
探究新知

探究新知



归纳总结
因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax +b＞0或ax +b＜0（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax +b的值 或 时,求自变量x的 .
取值范围
大于0
小于0
求kx+b＞0(或<0）
(k≠0)的解集
y=kx+b的值
大于(或小于)0时，
x的取值范围
从“函数值”看
求kx+b＞0(或<0）
(k≠0)的解集
确定直线y=kx+b
在x轴上方(或下方)
的图象所对应的x
取值范围
从“函数图象”看
一次函数与一元一次不等式的关系
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4.已知函数y=x-3,当x 时， y＞0;
当x 时， y＜0.


＞ 3
＜ 3
5.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是（ ）

A．x＞-2? B．x＜-2
C．x＞-1???? D．x＜-1
B
巩固练习




-2
-1
x
y
0
y=kx+b
例2 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3?
解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0).




x

O

B(2,0)

A(0,6)
y
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素养考点 1
利用一次函数的图象解一元一次不等式
解：（1）由图象可知，
不等式-3x+6>0 的解集是图象位于
x轴上方的x的取值范围,即x<2；
不等式 -3x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围，即x>2；



x

O

B(2,0)

A(0,6)


3
1
(1,3)

y
（2）由图象可知，当x>1时，y<3.

（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3?
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6.如图，已知直线y=kx+b与x轴交于点(- 4,0)，则当y>0时，
x的取值范围是（ ）
A.x>-4
B. x>0
C. x<-4
D. x<0
C
巩固练习

y
y=kx+b
x
1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．
(1)请用解析式分别表示两个气
球所在位置的海拔 y(m)与气球
上升时间 x(min)的函数关系．











h1
h2
气球1 海拔高度：y =x+5；
气球2 海拔高度：y =0.5x+15．
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解:

知识点 3
一次函数与二元一次方程组
【讨论】一次函数与二元一次方程有什么关系？
一次函数
二元一次方程

一次函数
y =0.5x+15

二元一次方程
y -0.5x =15

二元一次方程
y =0.5x+15


用方程观点看
用函数观点看
　　从式子（数）角度看：
探究新知

由函数图象的定义可知：
直线y =0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y =0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解.
【讨论】从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？
15
10
5
-5
5
10
O











x











y















y =0.5x+15










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从数的角度看：
就是求自变量为何值时，两个一次函数 y =x+5，y =0.5x+15 的函数值相等，并求出函数值．
解方程组
y =x+5
y =0.5x+15












h1
h2
(2)什么时刻，1 号气球的高度赶上2 号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究.
气球1 海拔高度：y =x+5
气球2 海拔高度：y =0.5x+15
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　　二元一次方程
组的解就是相应的
两个一次函数图象
的交点坐标．
A（20，25）


30

25

20

15

10

5

10


20







y =x+5
y =0.5x+15
15
5
O
x
y
从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？



探究新知

探究新知



归纳总结
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
方程组的解 对应两条直线交点的坐标.
观察函数图象，直接回答下列问题：
（1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？
（2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？
气球1 海拔高度：y =x+5
气球2 海拔高度：y =0.5x+15
（1）20min后，1 号气球比2 号气球高.
（2）0~20min时，2 号气球比1 号气球高.
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例3 如图，求直线l1与l2 的交点坐标.
分析：由函数图象可以求直线l1与l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标.
探究新知






素养考点 1
利用一次函数的图象解二元一次方程组
解方程组
y =2x+2，
y =-x+3，

解：因为直线l1过点(-1，0)，
(0，2) ，用待定系数法可求得
直线l1的解析式为y =2x+2.同理
可求得直线l2的解析式为y =-x+3.
得

即直线l1与l2 的交点坐标为
探究新知

7.如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，则方程组 的解是多少？
解：此方程组的解是

















1
2
3
-1
-2
-3
-1
-3
-4
-5
2
O
-2
1
4
-6
x
y





P
y=ax+b
y=cx+d
巩固练习

1.（2018?呼和浩特）若以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线 上，则常数b=（　　）
A． B．2 C．﹣1 D．1
巩固练习





连接中考
B
2.（2019?遵义）如图所示，直线l1： 与直线l2： 交于点P（﹣2，3），不等式 的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2
C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
A

1.直线 与x轴的交点是（? ）
A．（0，-3）??? B．（-3，0）????
C．（0，3）??? D．（0，-3）
2.方程 的解是 ，则函数 在自变量x等于 时的函数值是8.










B
x=2
2





基础巩固题
课堂检测

3. 直线 在坐标系中的位置如图，则方程 的解是x=___.


-2
2
x

y
0



-2
课堂检测






基础巩固题
0
4.根据图象，你能直接说出一元一次方程 的解吗？
解：由图象可知x+3=0的
解为x= ?3．
3
x

y
0
-3

从“形”上看
直线y=x+3的图象与x轴交点坐标为（-3,0），这说明方程x＋3＝0的解是x=-3.

课堂检测






基础巩固题
0
5.当自变量取何值时，函数 与
的值相等？这个函数值是多少？
解： 由已知可得：
2.5x+ 1 = 5x+ 17,
解得：x=-6.4
y=5 ×(- 6.4 )+ 17
y=-15
课堂检测






基础巩固题
6.用函数图象来解决5x+6>3x+10.

解：化简，得2x-4>0.画出直线y=2x-4的图象.



-4
2



y
x
0
y=2x-4
可以看出，当x＞2时，这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=2x-4>0.
所以不等式的解集是x>2.


课堂检测






基础巩固题
一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10的解集是（ ）
A.x<5
B.x>5
C.x>-5
D.x>25
1
B
课堂检测






能力提升题
y=4x+5
y=3x+10
x
y
直线 与x轴的交点的横坐标的值是方程 的解，求a的值.
解：由题意可得：
当直线y=3x+ 6与x轴相交时，y=0
则3x+ 6=0, 解得：x= -2,
当x= -2 时，
2 × (-2) + a =0
解得：a = 4
课堂检测






拓广探索题
一次函数与方程、不等式

解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.
解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 .
解二元一次方程组 求对应两条直线交点的坐标 .
课堂小结

课后作业


作业
内容


教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习