24.2.2垂径定理导学案
课题
垂径定理
单元
24
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1.充分认识圆的轴对称性。?
2.利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。?
3.运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
重点难点
重点：垂直于弦的直径的性质及其应用.
难点：1.垂径定理的证明. 2.垂径定理的题设与结论的区分.
教学过程
知识链接
1、圆的有关概念有哪些？
2、轴对称图形的概念？
合作探究
一、教材第14页
探究
1.在纸上任意画一个圆O，以圆O的一条直径为折痕，把○O折叠，如图，你发现了什么？
2.在折叠圆O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点A，B，如图，把折叠的圆摊平，那么折叠CD是直径，点A，B是关于直线CD的一对对应点，连接AB，得弦AB，如图，这时直径CD与弦AB有怎样的位置关系？
3.直径CD把劣弧ADB分成AD与DB两部分，把优弧ACB分成AC与CB两部分，这时AD与DB、 AC与CB有怎样的关系
总结：垂径定理：
。
二、教材第15页
证明垂径定理
已知：如图,在圆O中，CD是直径，AB是弦，并且CD⊥AB，垂足为E
求证：AE=EB，AD=DB(或AC=CB)
证明：连接OA，OB，则OA=OB，△OAB为等腰三角形，所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称
同理，如果点P是圆O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与圆O关于直线CD对称.当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，AE与 重合，点A与点B重合， 与 重合， 与 重合，因此，AE=EB，AD=DB?????????AC=CB
推论：
。
三、教材第16页
例题
例2.⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心O到弦AB的距离.
圆心到弦的距离叫做 。
例3.赵州桥建于1400年前的隋朝,是我国石拱桥中的代表性桥梁,桥的下部呈圆弧型,桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦距离)为7.2m,求桥拱所在圆的半径.(结果精确到0.1m)
自主尝试
1．下列说法正确的是( )
A．平分弦的直径垂直于弦
B．垂直于弦的直线必过圆心
C．垂直于弦的直径平分弦
D．平分弦的直径平分弦所对的弧
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( )
A. B．2 C．6 D．8
【方法宝典】
根据垂径定理答题.
当堂检测
1．如图，若⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是( )
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形
2．如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若AB＝16 cm，AC＝12 cm，则⊙O的半径OA为( )
A．14 cm B．12 cm C．10 cm D．8 cm
3.如图，在⊙O中，弦AB＝6，圆心O到AB的距离OC＝2，则⊙O的半径为________.
4.如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________
5.巫山长江公路大桥是一个中承式钢管砼圆弧形拱桥，主跨度AB＝492米，拱桥最高点C距水面100米，求该拱桥的半径是多少米．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
旋转的定义以及性质
参考答案：
当堂检测：
1．B
2．C
3．
4．2 .
5. 解：如图，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R米，
连接OA，OC，则OC⊥AB，设D为垂足，
根据垂径定理，知D是AB的中点，C是弧AB的中点，
由题意可知AB＝492米，CD＝100米，
所以AD＝AB＝×492＝246(米)，
OD＝OC－CD＝(R－100)米．
在Rt△OAD中，根据勾股定理，得
OA2＝AD2＋OD2，即R2＝2462＋(R－100)2，
解得R＝352.58.
因此，该拱桥的半径是352.58米．
沪科版数学九年级下24.2.2垂径定理教学设计
课题
垂径定理
单元
24
学科
数学
年级
九
学习
目标
知识与技能目标
1.充分认识圆的轴对称性。?
2.利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。?
3.运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
过程与方法目标
让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力．
情感态度与价值观目标
通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲同时培养学生勇于探索的精神.
重点
垂直于弦的直径的性质及其应用.
难点
1.垂径定理的证明. 2.垂径定理的题设与结论的区分.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
课件展示：
师：你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？
在折的过程中你有何发现？
师：这节课我们就来一起探究一下.
学生思考问题
引发学生思考，激发学生的学习兴趣
讲授新课
师：
1.在纸上任意画一个圆O，以圆O的一条直径为折痕，把○O折叠，如图，你发现了什么？
生：圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.
师：在折叠圆O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点A，B，如图，把折叠的圆摊平，那么折叠CD是直径，点A，B是关于直线CD的一对对应点，连接AB，得弦AB，如图，这时直径CD与弦AB有怎样的位置关系？
生：AB⊥CD
师：直径CD把劣弧ADB分成AD与DB两部分，把优弧ACB分成AC与CB两部分，这时AD与DB、 AC与CB有怎样的关系
生： AD=DB、 AC=CB
师：总结垂径定理
生：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
师：推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE, AC=BC、 AD=BD
师：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
课件展示：
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
师：归纳垂径定理的几个基本图形：
师：接下来，我们来证明垂径定理
已知：如图,在圆O中，CD是直径，AB是弦，并且CD⊥AB，垂足为E
求证：AE=EB，AD=DB(或AC=CB)
师：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
生：可以
师：由此我们可以得出推论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
课件展示：
例2.⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心O到弦AB的距离.
师：像OE，圆心到弦的距离叫做弦心距
例3.赵州桥建于1400年前的隋朝,是我国石拱桥中的代表性桥梁,桥的下部呈圆弧型,桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦距离)为7.2m,求桥拱所在圆的半径.(结果精确到0.1m)
学生在纸上画圆，然后折叠，然后交流发现的问题.
学生在折叠的过程中，发现直径CD与弦AB的位置关系以及弧之间的关系.
学生在老师的指导下，总结垂径定理.
学生动手练习，教师及时展示学生练习结果，并及时给予点评.
师生共同证明垂径定理
师生共同归纳垂径定理的推论.
学生动手练习，教师及时展示学生练习结果，并及时给予点评.
通过观察，使学生形象、直观地理解圆的对称性.
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
培养学生独立思考，自己解决问题的能力
通过习题讲解，让学生加深对新知识的理解，培养学生分析问题和解决问题的能力.
培养学生观察能力和探究问题的能力、动手能力，以及与他人合作交流的能力，充分体现了教师为主导，学生为主体的教学思想，同时也突出了重点，突破难点.
通过例题讲解，让学生加深对新知识的理解，培养学生分析问题和解决问题的能力.
课堂练习
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
答案：5cm
2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= . 答案：103cm
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .
答案：14cm或2cm
4.如图a、b,一弓形弦长为46cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.
答案： 2cm或12cm
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
答案：
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD.
拓展提升
如图，⊙O的直径是10，弦 AB的长为8，P是AB上的一个动点，
①则OP的求值范围是 。
②使线段OP的长度为整数值的P点位置有 个。
答案：
解：(1)3≤OP≤5
(2)5
中考链接
1.【潍坊中考】已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8m，OC=5m，则DC的长为（??）
A、3cm? B、2.5cm? C、2cm? D、1cm
答案：C
2.【绍兴中考】绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（?? ）
A.4m? B.5m ?C.6m? D.8m?
答案：D
学生自主解答，教师讲解答案。
学生自主解答，教师讲解答案。
练中考题型
通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
分层练习，可以照顾全体学生，让学有余力的学生有更大的进步.
让学生更早的接触中考题型，熟悉考点.
课堂小结
学生归纳本节所学知识
回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
板书
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
推论
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三）
课件25张PPT。24.2.2垂径定理沪科版 九年级下折一折：你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？
在折的过程中你有何发现？圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 情境导入1.在纸上任意画一个圆O，以圆O的一条直径为折痕，把○O折叠，如图，你发现了什么？圆的对称性： 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究新知讲解2.在折叠圆O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点A，B，如图，把折叠的圆摊平，那么折叠CD是直径，点A，B是关于直线CD的一对对应点，连接AB，得弦AB，如图，这时直径CD与弦AB有怎样的位置关系？新知讲解AB⊥CD?新知讲解?
垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB，∴ AE=BE,推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.新知讲解想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心自主练习垂径定理的几个基本图形：归纳：新知讲解?证明：连接OA，OB，则OA=OB，△OAB为等腰三角形，所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称同理，如果点P是圆O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与圆O关于直线CD对称.新知讲解? 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考新知讲解·OABCDE（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论新知讲解例2.⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心O到弦AB的距离.E例题解析??答：圆心O到弦AB的距离是4cm新知讲解弦心距：
圆心到弦的距离叫做弦心距。弦心距是一条常用辅助线:
过圆心作垂直于弦的垂线段或过圆心作垂直于弦的直径。例3.赵州桥建于1400年前的隋朝,是我国石拱桥中的代表性桥梁,桥的下部呈圆弧型,桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦距离)为7.2m,求桥拱所在圆
的半径.(结果精确到0.1m)OABDC例题解析新知讲解??设○O的半径为Rm，在Rt△AOD中，AO=R，OD=R-7.2，AD=18.7??解方程，得 R≈27.9答：赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.9m1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .5cm2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= . 3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .14cm或2cm课堂练习?课堂练习?2cm或12cm 5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD.注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．课堂练习如图，⊙O的直径是10，弦 AB的长为8，P是AB上的一个动点，
①则OP的求值范围是 。
②使线段OP的长度为整数值的P点位置有 个。
p1p2C注意圆的轴对称性3≤OP≤55拓展提高【潍坊中考】已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8m，OC=5m，则DC的长为（??）
A、3cm? B、2.5cm? C、2cm? D、1cm
2.【绍兴中考】绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（?? ）
A.4m? B.5m ?C.6m? D.8m?中考链接CD垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：连半径，作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形课堂小结课堂总结板书设计垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三）推论作业布置在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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