24.2.2垂径定理 导学案
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文档简介
24.2.2垂径定理导学案
课题
垂径定理
单元
24
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1.充分认识圆的轴对称性。?
2.利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。?
3.运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
重点难点
重点：垂直于弦的直径的性质及其应用.
难点：1.垂径定理的证明. 2.垂径定理的题设与结论的区分.
教学过程
知识链接
1、圆的有关概念有哪些？
2、轴对称图形的概念？
合作探究
一、教材第14页
探究
1.在纸上任意画一个圆O，以圆O的一条直径为折痕，把○O折叠，如图，你发现了什么？
2.在折叠圆O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点A，B，如图，把折叠的圆摊平，那么折叠CD是直径，点A，B是关于直线CD的一对对应点，连接AB，得弦AB，如图，这时直径CD与弦AB有怎样的位置关系？
3.直径CD把劣弧ADB分成AD与DB两部分，把优弧ACB分成AC与CB两部分，这时AD与DB、 AC与CB有怎样的关系
总结：垂径定理：
。
二、教材第15页
证明垂径定理
已知：如图,在圆O中，CD是直径，AB是弦，并且CD⊥AB，垂足为E
求证：AE=EB，AD=DB(或AC=CB)
证明：连接OA，OB，则OA=OB，△OAB为等腰三角形，所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称
同理，如果点P是圆O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与圆O关于直线CD对称.当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，AE与 重合，点A与点B重合， 与 重合， 与 重合，因此，AE=EB，AD=DB?????????AC=CB
推论：
。
三、教材第16页
例题
例2.⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心O到弦AB的距离.
圆心到弦的距离叫做 。
例3.赵州桥建于1400年前的隋朝,是我国石拱桥中的代表性桥梁,桥的下部呈圆弧型,桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦距离)为7.2m,求桥拱所在圆的半径.(结果精确到0.1m)
自主尝试
1．下列说法正确的是( )
A．平分弦的直径垂直于弦
B．垂直于弦的直线必过圆心
C．垂直于弦的直径平分弦
D．平分弦的直径平分弦所对的弧
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( )
A. B．2 C．6 D．8
【方法宝典】
根据垂径定理答题.
当堂检测
1．如图，若⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是( )
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形
2．如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若AB＝16 cm，AC＝12 cm，则⊙O的半径OA为( )
A．14 cm B．12 cm C．10 cm D．8 cm
3.如图，在⊙O中，弦AB＝6，圆心O到AB的距离OC＝2，则⊙O的半径为________.
4.如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________
5.巫山长江公路大桥是一个中承式钢管砼圆弧形拱桥，主跨度AB＝492米，拱桥最高点C距水面100米，求该拱桥的半径是多少米．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
旋转的定义以及性质
参考答案：
当堂检测：
1．B
2．C
3．
4．2 .
5. 解：如图，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R米，
连接OA，OC，则OC⊥AB，设D为垂足，
根据垂径定理，知D是AB的中点，C是弧AB的中点，
由题意可知AB＝492米，CD＝100米，
所以AD＝AB＝×492＝246(米)，
OD＝OC－CD＝(R－100)米．
在Rt△OAD中，根据勾股定理，得
OA2＝AD2＋OD2，即R2＝2462＋(R－100)2，
解得R＝352.58.
因此，该拱桥的半径是352.58米．
课题
垂径定理
单元
24
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1.充分认识圆的轴对称性。?
2.利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。?
3.运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
重点难点
重点：垂直于弦的直径的性质及其应用.
难点：1.垂径定理的证明. 2.垂径定理的题设与结论的区分.
教学过程
知识链接
1、圆的有关概念有哪些？
2、轴对称图形的概念？
合作探究
一、教材第14页
探究
1.在纸上任意画一个圆O，以圆O的一条直径为折痕，把○O折叠，如图，你发现了什么？
2.在折叠圆O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点A，B，如图，把折叠的圆摊平，那么折叠CD是直径，点A，B是关于直线CD的一对对应点，连接AB，得弦AB，如图，这时直径CD与弦AB有怎样的位置关系？
3.直径CD把劣弧ADB分成AD与DB两部分，把优弧ACB分成AC与CB两部分，这时AD与DB、 AC与CB有怎样的关系
总结：垂径定理：
。
二、教材第15页
证明垂径定理
已知：如图,在圆O中，CD是直径，AB是弦，并且CD⊥AB，垂足为E
求证：AE=EB，AD=DB(或AC=CB)
证明：连接OA，OB，则OA=OB，△OAB为等腰三角形，所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称
同理，如果点P是圆O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与圆O关于直线CD对称.当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，AE与 重合，点A与点B重合， 与 重合， 与 重合，因此，AE=EB，AD=DB?????????AC=CB
推论：
。
三、教材第16页
例题
例2.⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心O到弦AB的距离.
圆心到弦的距离叫做 。
例3.赵州桥建于1400年前的隋朝,是我国石拱桥中的代表性桥梁,桥的下部呈圆弧型,桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦距离)为7.2m,求桥拱所在圆的半径.(结果精确到0.1m)
自主尝试
1．下列说法正确的是( )
A．平分弦的直径垂直于弦
B．垂直于弦的直线必过圆心
C．垂直于弦的直径平分弦
D．平分弦的直径平分弦所对的弧
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( )
A. B．2 C．6 D．8
【方法宝典】
根据垂径定理答题.
当堂检测
1．如图，若⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是( )
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形
2．如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若AB＝16 cm，AC＝12 cm，则⊙O的半径OA为( )
A．14 cm B．12 cm C．10 cm D．8 cm
3.如图，在⊙O中，弦AB＝6，圆心O到AB的距离OC＝2，则⊙O的半径为________.
4.如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________
5.巫山长江公路大桥是一个中承式钢管砼圆弧形拱桥，主跨度AB＝492米，拱桥最高点C距水面100米，求该拱桥的半径是多少米．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
旋转的定义以及性质
参考答案：
当堂检测：
1．B
2．C
3．
4．2 .
5. 解：如图，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R米，
连接OA，OC，则OC⊥AB，设D为垂足，
根据垂径定理，知D是AB的中点，C是弧AB的中点，
由题意可知AB＝492米，CD＝100米，
所以AD＝AB＝×492＝246(米)，
OD＝OC－CD＝(R－100)米．
在Rt△OAD中，根据勾股定理，得
OA2＝AD2＋OD2，即R2＝2462＋(R－100)2，
解得R＝352.58.
因此，该拱桥的半径是352.58米．