八年级数学上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.3因式分解培优训练（解析版）

八年级数学上册 14.3因式分解培优训练
一．选择题（共12小题）
1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（　　）
A．﹣1 B．﹣1或﹣11 C．1 D．1或11
2．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（　　）
A．25 B．20 C．15 D．10
3．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（　　）
A．a（a2b﹣b） B．ab（a﹣1）2
C．ab（a+1）（a﹣1） D．ab（a2﹣1）
4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．3 D．6
6．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　）
A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64
7．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（　　）
A．能被2016整除 B．能被2017整除
C．能被2018整除 D．能被2019整除
8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（　　）
A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1）
C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1）
10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（　　）
A．（x﹣1）（x+18） B．（x+2）（x+9）
C．（x﹣3）（x+6） D．（x﹣2）（x+9）
11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（　　）
A．50 B．100 C．98 D．97
12．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．
那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
13．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是　 　．
14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝　 　．
15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是　 　．
16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值　 　．
17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是　 　．
18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝　 　．
三．解答题（共5小题）
19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．
20．因式分解．
（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）
（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）
（3）．
21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．
22．观察下列各式．
①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…
（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？
（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．
（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．
23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．
例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…
所以3，39，147是“希尔伯特”数．
（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．
（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．
（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．



人教版八年级数学上册14.3因式分解培优专练习题
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（　　）
A．﹣1 B．﹣1或﹣11 C．1 D．1或11
【解答】解：a2﹣ab﹣ac+bc＝11
（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11
a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11
（a﹣b）（a﹣c）＝11
∵a＞b，
∴a﹣b＞0，a，b，c是正整数，
∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1．
故选：D．
2．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（　　）
A．25 B．20 C．15 D．10
【解答】解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2＝2x+5，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，
＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5
＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5
＝x2﹣2x﹣5+25
＝25．
解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x＝5，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5
＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5
＝6x2﹣12x﹣5
＝6（x2﹣2x）﹣5
＝6×5﹣5
＝25．

故选：A．
3．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（　　）
A．a（a2b﹣b） B．ab（a﹣1）2
C．ab（a+1）（a﹣1） D．ab（a2﹣1）
【解答】解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），
故选：C．
4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：∵a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，
∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca
＝
＝
＝
＝
＝
＝3，
故选：A．
5．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．3 D．6
【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b
＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）
＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）
＝（ab﹣1）（a+b）
将a+b＝3，ab＝1代入，得
原式＝0．
故选：B．
6．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　）
A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64
【解答】解：利用平方式公式进行分解该数字：496﹣1＝（448+1）（448﹣1）＝（448+1）（424+1）（424﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（43+1）（43﹣1）
＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）×65×63
故选：B．
7．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（　　）
A．能被2016整除 B．能被2017整除
C．能被2018整除 D．能被2019整除
【解答】解：20183﹣2018＝2018（20182﹣1）
＝2018×（2018+1）（2018﹣1）
＝2018×2019×2017
2018×2019×2017能被2017、2018、2019整除，不能被2016整除．
故选：A．
8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝
＝
＝
＝
＝3，
故选：D．
9．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（　　）
A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1）
C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1）
【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），
＝b（x﹣3）（b+1）．
故选：B．
10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（　　）
A．（x﹣1）（x+18） B．（x+2）（x+9）
C．（x﹣3）（x+6） D．（x﹣2）（x+9）
【解答】解：原式＝（x﹣2）（x+9）．
故选：D．
11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（　　）
A．50 B．100 C．98 D．97
【解答】解：∵993﹣99＝99×（992﹣1）＝99×（99+1）×（99﹣1）＝99×100×98，
∴k可能是99、100、98或50，
故选：D．
12．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．
那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：依据新运算可得①2＝1×2，则，正确；
②24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，则，正确；
③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1，正确；
④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），如64＝43＝8×8，则F（n）不一定等于，故错误．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
13．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是　6　．
【解答】解：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）
＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac
＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2
＝（﹣1）2+（﹣4）2+（﹣1）2
＝1+4+1
＝6
故答案为6．
14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝　3　．
【解答】解：∵a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
则原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＝3．
故答案为：3．
15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是　　．
【解答】解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，
∴1＝3+2（ab+bc+ac），
∴ab+bc+ac＝﹣1，
∵a3+b3+c3﹣3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac），a3+b3+c3＝5
∴5﹣3abc＝3+1
∴abc＝，
∵（ab+bc+ac）2＝a2b2+b2c2+a2c2+2abc（a+b+c）
∴1＝a2b2+b2c2+a2c2+
∴a2b2+b2c2+a2c2＝
∵（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2（a2b2+b2c2+a2c2）
∴9＝a4+b4+c4+
∴a4+b4+c4＝．
故答案为：．
16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值　75　．
【解答】解：∵a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2
又已知ab＝3，a+b＝5，
∴原式＝3×52＝75
故答案为：75．
17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是　等腰三角形　．
【解答】解：∵2xy+x2＝2yz+z2，
∴2xy+x2﹣2yz﹣z2＝0，
因式分解得：（x﹣z）（x+z+2y）＝0，
∵x，y，z是△ABC的三边，
∴x+z+2y≠0，
∴x﹣z＝0，
∴x＝z，
∴△ABC是等腰三角形；
故答案为：等腰三角形．
18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝　2020　．
【解答】解：∵a2+a﹣1＝0
∴a2+a＝1
∴a3+a2＝a
又∵a3+2a2+2019＝a3+a2+a2+2019＝a+a2+2019＝1+2019＝2020
∴a3+2a2+2019＝2020
三．解答题（共5小题）
19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．
【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1，
＝（a﹣b）2﹣1，
＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
20．因式分解．
（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）
（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）
（3）．
【解答】解：（1）原式＝（x+y）（a2﹣4b2）
＝（x+y）（a+2b）（a﹣2b）；
（2）原式＝（a﹣1）（p2﹣p）
＝p（a﹣1）（p﹣1）；
（3）原式＝
＝
＝．
21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．
【解答】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2＝0，
∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）＝0，
∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，
∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）＝0
得：a2+b2＝c2或a＝b，或者a2+b2＝c2且a＝b，
即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
22．观察下列各式．
①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…
（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？
（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．
（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．
【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到4×2016×2017+1＝（2016+2017）2＝40332；

（2）猜想第n个等式为4n（n+1）+1＝（2n+1）2，理由如下：
∵左边＝4n（n+1）+1＝4n2+4n+1，右边＝（2n+1）2＝4n2+4n+1，
∴左边＝右边，
∴4n（n+1）+1＝（2n+1）2；

（3）利用前面的规律，可知4（x2+x）（x2+x+1）+1＝（x2+x+x2+x+1）2＝（x2+2x+1）2＝（x+1）4．
23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．
例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…
所以3，39，147是“希尔伯特”数．
（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．
（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．
（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．
【解答】解：（1）∵0＝02+02×0，1＝12+02﹣1×0，3＝22+11﹣2×1，4＝22+02﹣2×0，7＝22+32﹣2×3，9＝32+02﹣3×0，
∴10以内的“希尔伯特”数有0，1，3，4，7，9；

（2）设“希尔伯特”数为（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（n为自然数）
∵（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）＝4n2+3，
∵4n2能被4整除，
∴所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．

（3）设两个“希尔伯特”数分别为：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）和（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（m，n为自然数）．
由题意：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）﹣[（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）]＝224，
∴m2﹣n2＝56，
∴（m+n）（m﹣n）＝56，
可得整数解：或，
∴这两个“希尔伯特”数分别为：327和103或903和679．