《垂直于弦的直径》的教学反思
垂直于弦的直径也叫垂经定理，是初中九年级人教版第二十四章第2节内容，它是圆中有关计算方面比较重要的一节。本节课主要经过了三个环节：
第一个环节是让学生通过折自制的圆形图片得出圆是轴对称图形，每一条经过圆心的直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴。
第二个环节是让学生通过探究得出垂经定理的内容。第三个环节是利用垂经定理解决有关方面的计算。其中，第二个环节是本节课的重点，也是我这节课的一个亮点。具体经过以下5个步骤：
（1）让学生拿出自己手中的圆形图片对折圆，找出圆心。（学生很感兴趣，有些同学折的
是两条互相垂直的直径得出圆心，有些同学折的是两条斜交的直径得出圆心，但方法都很好。）
（2）让两条互相垂直的直径其中一条不动，另一条直径向下平移，变成一条普通的弦，并且和原来的一条直径仍然保持垂直关系。
（3）问学生在什么样条件下得出这些结论的？
（4）最后引导学生归纳出垂经定理的内容，教师再补充、强调并板书。
通过这一探究过程，大部分学生参与到课堂中去，并培养了学生动手操作和创新的
能力，也激发了学生探究问题的兴趣，学生就在这种轻松、愉快的活动中掌握了垂径定理，
实现了教学的有效性，这是在这节课中我感觉最成功的地方。
当然，整节课也有许多不足之处。例如，在对垂经定理有关计算方面的安排上欠妥，
具体表现在：
（1）垂经定理中平分弦的证明过程尽量给学生留点时间让学生板书出来，这样可以防止学生缺少主动性，并且会有更多的学生参与到课堂中去。
（2）应该给学生渗透一些情感教育，让学生知道数学来源于生活，又应用于生活。
总之，在教学设计和课堂教学中应充分了解学生，研究学生，我们不仅要备教材，而且还要备学生。要真正树立以学生的发展为本的教学理念。只有这样，才能为学生提供充分的教学活动和交流的机会，使学生从单纯的的知识接受者变为数学学习的主人。
24.1.2 垂直于弦的直径
课题 垂直于弦的直径（第一课时） 备课时间
课型 新授课 上课时间
教学目标 知识与技能 研究圆的对称性,掌握垂径定理及其推论. 学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题。
过程与方法 经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。
情感态度价值观 在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。
教学重点 垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。
教学难点 垂径定理及其推论的运用。
教具 圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件
教 学 过 程 问题与情境 师生行为 备注与修改
创设情境导入新课 将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？ 将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？ 一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？ 赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？ 前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论。 后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习。
合作交流探究新知 圆的对称性 （探究）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？ 垂径定理 （思考）如图 ：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E。这个图形是对称图形吗 你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 你能用几何方法证明这些结论吗？ 你能用符号语言表达这个结论吗？ 3．垂径定理的推论 如上图，若直径CD平分弦AB则 直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？ 你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧） 如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？ 圆的对称性由学生发现并总结，教师进行板书。 教师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理并板书。 学生小组讨论，发现垂径定理的证明方法，并由学生代表发言。 学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。教师更正并板书。 教师明确定理中的条件和结论，初步理解“知二得三”口诀的含义。 教师提出问题，引导学生进行思考和讨论。 学生尝试得出垂径定理和推论，教师规范并板书。 教师提醒学生此中的弦一定不能是直径。 垂径定理的内容比较多，且为考察重点，非一课时所能解决，所以此内容最少需两课时来探究。 本节课主要探讨垂径定理及第1条推论，还有它们的应用。 而其它推论和更深入的应用，放在下一节课进行研究。
巩固练习 拓展提高 简单应用 1、垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧( )典型应用 2、已知如图，在 ⊙O 中，弦AB的长为8cm，若圆心O到AB的距离为3 cm，则⊙O 的半径为________cm. 3、同心圆O中，大圆的直径AB交小圆于点C、D，请问AC=BD吗？ 4、如果把AB向下平移，弦AB仍然交小圆于点C、D，此时图中还有哪些相等的线段？为什么？若两圆半径分别为5cm和 3cm，弦AB=8cm,则AC=_____cm. 5 已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ． 6：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。 7．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长． 简单应用由学生独立完成,教师可让学生自己进行评判. 在典型应用中教师可通过问题设置,引导学生联系弦、半径、弦心距或者拱高等因素，从而构成直角三角形，利用勾股定理解决问题。这也是解决计算问题的主要方法，教师一定要重点重申。 此题是垂径定理计算题中另一种题型，主要利用将垂径定理、勾股定理、方程的知识进行综合应用。 教师在提示后让学生进行小组讨论，然后进行总结，得出结论，让学生做好笔记，养成良好的学习习惯。 本节课的应用是基础应用，在下节课中再进行灵活运用和深入应用。
小结升华与作业 你学习了哪些内容？ 你有哪些收获？ 你还有什么问题 ？ 作业布置 （1）教材82页练习第1题 88页第11题 分层作业如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是多少？ （2）家庭作业 练习册 教师提出问题，学生回顾本节课所学知识，自己进行小结，养成梳理知识的习惯。
垂径定理说课稿
一、教材分析
本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。
二、目的分析：
新课标下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上。新数学课程数理念下的数学教学不仅是知识的教学，技能的训练，更应重视能力的培养及情感的教育，因此根据本节课教材的地位和作用，结合我所教学生的特点，我确定本节课的教学目标如下：
知识与技能：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。 培养学生观察能力、分析能力及联想能力。
过程与方法：教师播放动画、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。
情感态度与价值观： 通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育
三、教学方法与教材处理：
鉴于教材特点及我所教班级学生的知识基础，根据教学目标和学生的认知水平，我选用引导发现法和直观演示法。让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。另外，教学中我还注重用不同图片的颜色对比来启发学生。
四、学法指导：
通过本节课的教学，我应引导学生学会观察、归纳的学习方法。培养学生的想象力，充分调动学生自己动手、动脑，引导他们自己分析、讨论、得出结论。鼓励他们合作交流、发扬集体主义精神。
五、教学程序：
整个教学过程分五个环节来完成。
有效导入，明确目标
教师演示：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你得到什么结论？
结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
2、自主学习，合作探究
在引入新课的同时，然后再请同学们在自己作的圆中作图：(1)任意作一条弦 AB；(2)过圆心作AB的垂线得直径CD且交AB于E。（出示教具演示）引导学生分析直径CD与弦AB的垂直关系，说明CD是垂于弦的直径，并设问：它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？这样就很自然地导出本节课的课题，此时板书课题 24.1.2?垂直于弦的直径。这样通过全体学生参与实验，逐步导出新课。
3、大组汇报，教师点拨
首先让学生实验、观察并得出猜想，然后引导学生分析上述猜想的条件和结论，并将文字语言转化为符号语言，写出已知、求证，为分清定理的题设和结论作好铺垫，从而达到解决难点的目的。接下来再对学生引导分析，让学生合作讨论，展示成果。最后师生共同演示、验证猜想的正确性，同时利用动画得出证明方法，从而解决本节课的又一难点——叠合法的证题方法。此时再板书垂径定理的内容，强调“垂”与“径”缺一不可，最后进行定理变式为了强调定理及定理变式中的条件，我出示训练一，让学生抢答。
4、变式训练，拓展提高
为了及时巩固，帮助学生对所学定理的理解与使用，讲完定理及变式后，我依据本班学生的实际情况及他们的心理特点，设计了包括补充例题1的有梯度的，循序渐进的与代数相关的变式题组训练二，让学生尝试。
5、课堂小结，归纳整理
至此，估计学生基本能够掌握定理，达到预定目标，这时，利用提问形式，师生共同进行小结
7、布置作业
(共14张PPT)
24.1.2 垂直于弦的直径
学 习 目 标
1、掌握垂径定理。
2、能准确的应用定理解决证明、计算问题。
第一步，做⊙O的弦AB；
第二步，做⊙O 的直径CD，使CD⊥AB，垂足为E；
第三步，沿CD对折⊙O。
问题：把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？
A
B
C
D
O
E
自主学习 合作探究1
按下面的步骤做一做：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦
所对的两条弧。
垂径定理
B
A
O
C
D
E
B
A
O
C
D
E
大组汇报 教师点拨
(1)过圆心 (3)平分弦
（4）平分弦所对的劣弧
(2)垂直于弦 （5）平分弦所对的优弧
判断
1、垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧( )
×
练习巩固
2、已知如图，在 ⊙O 中，弦AB的长为8cm，若圆心O到AB的距离为3 cm，则⊙O 的半径为 cm.
有弦不行做垂直，
连接半径用勾股。
5
B
A
O
练习巩固
C
3、同心圆O中，大圆的直径AB交小圆于点C、D，请问AC=BD吗？
4、如果把AB向下平移，弦AB仍然交小圆于点C、D，此时图中还有哪些相等的线段？为什么？
练习巩固
B
A
O
C
D
E
若两圆半径分别为5cm和 ，弦AB=8cm,
则AC= cm.
1
B
A
O
C
D
5 已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．
．
O
A
B
C
D
练习巩固
M
6：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
C
A
B
D
O
E
巩固练习 拓展提高
7．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长．
．
A
C
O
M
N
B
巩固练习 拓展提高
课堂小结
你学习了哪些内容？
你有哪些收获？
你还有什么问题 ？
如图，一条排水管的截面。已知排水管的半径10cm，水面宽AB=12cm。求水的最大深度.
E
D
┌
若水面又上升1厘米,求此时水面的宽度
如图，CD为圆O的直径，弦
AB交CD于E， ∠ CEB=30°，
DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
A
B
C
D
E
O
P
O
⊙O的半径是2，
P是⊙O内的一点，
OP=1,过P的最长的
弦=___,过P的最短
的弦=___
B
A
