第十一部分 交变电流 传感器
第36讲 交变电流的产生和描述(解析版)
能掌握交变电流的产生和描述，会写出交变电流的瞬时值表达式.
能认识交变电流的图象和进行有效值、最大值的计算．
交变电流的产生和变化规律
1. 交变电流
大小和方向都随时间做______变化的电流．如图(a)、(b)、(c)、(d)所示都属于交变电流．其中按正弦规律变化的交变电流叫正弦式交变电流，简称正弦式电流，如图(a)所示．
2. 正弦交流电的产生和图象
(1)产生：在匀强磁场里，线圈绕________方向的轴匀速转动．
(2)中性面
①定义：与磁场方向_____的平面．
②特点
a．线圈位于中性面时，穿过线圈的磁通量___，磁通量的变化率为___，感应电动势为___
b．线圈转动一周，两次经过中性面．线圈每经过______一次，电流的方向就改变一次．
(3)图象：用以描述交流电随时间变化的规律，如果线圈从中性面位置开始计时，其图象为______曲线．
二、正弦交变电流的函数表达式、峰值和有效值
1． 周期和频率
(1)周期(T)：交变电流完成_________(线圈转一周)所需的时间，单位是秒(s)，公式T＝.
(2)频率(f)：交变电流在1 s内完成周期性变化的______单位是赫兹(Hz)．
(3)周期和频率的关系：T＝或f＝.
2． 正弦式交变电流的函数表达式(线圈在中性面位置开始计时)
(1)电动势e随时间变化的规律：e＝_______(2)负载两端的电压u随时间变化的规律：u＝_________(3)电流i随时间变化的规律：i＝______.其中ω等于线圈转动的角速度，Em＝_______
3． 交变电流的瞬时值、峰值、有效值
(1)瞬时值：交变电流某一时刻的值，是时间的函数．
(2)峰值：交变电流的电流或电压所能达到的最大值，也叫最大值．
(3)有效值：跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值叫做交变电流的有效值．对正弦交流电，其有效值和峰值的关系为：E＝，U＝，I＝.
(4)平均值：是交变电流图象中波形与横轴所围面积跟时间的比值．
1．如图甲所示，矩形线圈abcd在匀强磁场中逆时针匀速转动时，线圈中产生的交变电流如图乙所示，设沿abcda方向为电流正方向，则( )
A．乙图中Oa时间段对应甲图中A至B图的过程
B．乙图中c时刻对应甲图中的C图
C．若乙图中d等于0.02 s，则1 s内电流的方向改变了50次
D．若乙图中b等于0.02 s，则交流电的频率为50 Hz
2. 实验室里的交流发电机可简化为如图所示的模型，正方形线圈在水平匀强磁场中，绕垂直于磁感线的OO′轴匀速转动．今在发电机的输出端接一个电阻R和理想电压表，并让线圈每秒转25圈，读出电压表的示数为10 V．已知R＝10 Ω，线圈电阻忽略不计，下列说法正确的是( )
A．线圈平面与磁场平行时，线圈中的瞬时电流为零
B．从线圈平面与磁场平行开始计时，线圈中感应电流瞬时值表达式为i＝sin 50πt A
C．流过电阻R的电流每秒钟方向改变25次
D．电阻R上的热功率等于10 W
3．如图表示一交流电电流随时间变化的图像，其中电流的正值为正弦曲线的正半周，其最大值为Im；电流的负值强度为Im，则该交流电的有效值为 ( )
A. B.Im C．Im D.Im
4．如图甲所示，为一种调光台灯电路示意图，它通过双向可控硅电子器件实现了调节亮度．给该台灯接220 V的正弦交流电后加在灯管两端的电压如图乙所示，则此时交流电压表的示数为 ( )
A．220 V B．110 V C． V D． V
5．如图所示，图线a是线圈在匀强磁场中匀速转动时所产生正弦交流电的图象，当调整线圈转速后，所产生正弦交流电的图象如图线b所示，以下关于这两个正弦交流电的说法正确的是( )
A．在图中t＝0时刻穿过线圈的磁通量均为零 B．线圈先后两次转速之比为3∶2
C．交流电a的瞬时值表达式为u＝10sin 5πt (V) D．交流电b的最大值为5 V
要点一 交变电流的变化规律
1. 正弦式交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)
规律
物理量
函数
图象
磁通量
Φ＝Φmcos ωt
＝BScos ωt
电动势
e＝Emsin ωt
＝nBSωsin ωt
电压
u＝Umsin ωt
＝sin ωt
电流
i＝Imsin ωt
＝sin ωt
2. 两个特殊位置的特点
(1)线圈平面与中性面重合时，S⊥B，Φ最大，＝0，e＝0，i＝0，电流方向将发生改变．
(2)线圈平面与中性面垂直时，S∥B，Φ＝0，最大，e最大，i最大，电流方向不改变．
要点二 交流电有效值的求解
有效值是交流电中最重要的物理量，必须会求解，特别是正弦交流电的有效值，应记 住公式．求交变电流有效值的方法有：
(1)利用I＝，U＝，E＝计算，只适用于正(余)弦式交流电．
(2)非正弦式交流电有效值的求解根据电流的热效应进行计算，其中，交变电流的有效值是根据电流通过电阻时产生的热效应定义的，即让交变电流和直流电流通过相同的电阻，在相同的时间里若产生的热量相同，则交变电流(电压)的有效值就等于这个直流电流(电压)的值，即求解交变电流有效值问题必须在相同电阻、相同时间、相同热量的“三同”原则下求解．
要点三 交变电流的“四值”的比较与理解
1. 交变电流的瞬时值、峰值、有效值和平均值的比较
物理量
物理含义
重要关系
适用情况及说明
瞬时值
交变电流某一时刻的值
e＝Emsin ωt
i＝Imsin ωt
计算线圈某时刻的受力情况
峰值
最大的瞬时值
Em＝nBSω
Im＝
讨论电容器的击穿电压
有效值
跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值
E＝
U＝
I＝
适用于正(余)弦式交变电流
(1)计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热等)
(2)电气设备“铭牌”上所标的一般是有效值
(3)保险丝的熔断电流为有效值
平均值
交变电流图象中图线与时间轴所夹的面积与时间的比值
＝Bl
＝n
＝
计算通过电路截面的电荷量
2. 交变电流瞬时值表达式的求法
(1)先求电动势的最大值Em＝nBSω；
(2)求出角速度ω，ω＝；
(3)明确从哪一位置开始计时，从而确定是正弦函数还是余弦函数；
(4)写出瞬时值的表达式．
要点一 交变电流的变化规律
【例题1】关于线圈在匀强磁场中转动产生的交变电流，下列说法中正确的是 ( )
A．线圈平面每经过中性面一次，感应电流的方向就改变一次，感应电动势的方向不变
B．线圈每转动一周，感应电流的方向改变一次
C．线圈平面每经过中性面一次，感应电动势和感应电流的方向都改变一次
D．线圈每转动一周，感应电动势和感应电流的方向都改变一次
【答案】C
【解析】依据交流电的变化规律可知，如果从中性面开始计时，有e＝Emsin ωt和i＝Imsin ωt；如果从垂直于中性面的位置开始计时，有e＝Emcos ωt和i＝Imcos ωt.不难看出：线圈平面每经过中性面一次，感应电流的方向就改变一次，感应电动势的方向也改变一次；线圈每转动一周，感应电流的方向和感应电动势的方向都改变两次
针对训练1．矩形线框绕垂直于匀强磁场且沿线框平面的轴匀速转动时产生了交变电流，下列说法正确的是( )
A．当线框位于中性面时，线框中感应电动势最大
B．当穿过线框的磁通量为零时，线框中的感应电动势也为零
C．每当线框经过中性面时，感应电动势或感应电流方向就改变一次
D．线框经过中性面时，各边不切割磁感线
要点二 交流电有效值的求解
【例题2】在相同的时间内，某正弦交变电流通过一阻值为100 Ω的电阻产生的热量，与一电流3 A的直流电通过同一阻值的电阻产生的热量相等，则( )
A．此交变电流的有效值为3 A，最大值为3A
B．此交变电流的有效值为3A，最大值为6 A
C．电阻两端的交流电压的有效值为300 V，最大值不确定
D．电阻两端的交流电压的有效值为300 V，最大值为600 V
【答案】A
【解析】根据交变电流有效值的定义知，交变电流的有效值即为直流电的电流值，为3 A．根据正弦交变电流有效值与最大值的关系，可知交变电流的最大值为3 A，A正确；B错误；根据欧姆定律U＝IR，则有U有效＝I有效R，Um＝ImR，故电阻两端的交流电压的有效值为300 V，最大值为300 V，C，D错误．
针对训练2．把一只电热器接在100 V的直流电源上，在t时间内产生的热量为Q，若将它分别接到U1＝100sin ωtV和U2＝50sin2 ωt V的交流电源上，仍要产生Q的热量，则所需时间分别是( )
A．t，2t B．2t，8t C．2t，2t D．t，4t
要点三 交变电流的“四值”的比较与理解
【例题3】小型交流发电机中，矩形金属线圈在匀强磁场中匀速转动，产生的感应电动势与时间呈正弦函数关系，如图所示．此线圈与一个R＝10 Ω的电阻构成闭合电路，不计电路的其他电阻，下列说法正确的是 ( )
A．交变电流的周期为0.125 s B．交变电流的频率为8 Hz
C．交变电流的有效值为 A D．交变电流的最大值为4 A
【答案】C
【解析】由题图可知，交变电流的周期为0.250 s，频率为4 Hz，交变电流的最大值为 A＝2 A，有效值为 A＝ A，所以应选C.
针对训练3．某小型发电机产生的交变电动势为e＝50sin 100πt(V)．对此电动势，下列表述正确的有 ( )
A．最大值是50 V B．频率是100 Hz
C．有效值是25 V D．周期是0.02 s
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1．如图所示，面积均为S的单匝线圈绕其对称轴或中心轴在匀强磁场B中以角速度ω匀速转动，能产生正弦交变电动势e＝BSωsin ωt的图是( )
2．如图甲所示，一矩形线圈abcd放置在匀强磁场中，并绕过ab、cd中点的轴OO′以角速度ω逆时针匀速转动．若以线圈平面与磁场夹角θ＝45°时(如图乙)为计时起点，并规定当电流自a流向b时，电流方向为正．则下列四幅图中正确的是 ( )
3. 如图表示一交变电流随时间变化的图象．其中，从t＝0开始的每个时间内的图象均为半个周期的正弦曲线．求此交变电流的有效值是多少？
4．一个小型电热器若接在输出电压为10 V的直流电源上，消耗电功率为P；若把它接在某个正弦式交流电源上，其消耗的电功率为.如果电热器电阻不变，则此交流电源输出电压的最大值为 ( )
A．5 V B．5 V C．10 V D．10 V
5．一理想变压器原、副线圈匝数比n1∶n2＝11∶5，原线圈与正弦交变电源连接，输入电压u如图所示．副线圈仅接入一个10 Ω的电阻．则 ( )
A．流过电阻的电流是20 A
B．与电阻并联的电压表的示数是100 V
C．经过1分钟电阻发出的热量是6×103 J
D．变压器的输入功率是1×103 W
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选择题
1．一个单匝矩形金属线框的面积为S，线框在磁感应强度为B的匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，从线框平面与磁场垂直的位置开始计时，转速为n，则（ ）
A．线框产生的交变电动势的最大值为πBS
B．线框产生的交变电动势的有效值
C．从开始转动经过周期，线框中的平均感应电动势为2nBS
D．线框产生的交变电动势的瞬时值表达式为e＝2nπBSsinnπt
2．如图，在同一平面内固定有一长直导线PQ和一导线框R，R在PQ的右侧。导线PQ中通有正弦交流电i，i的变化如图所示，规定从Q到P为电流正方向。导线框R中的感应电动势（ ）
A．在t＝时最大 B．在t＝时改变方向
C．在t＝时最大，且沿顺时针方向 D．在t＝T时最大，且沿顺时针方向
3．某交流发电机产生的感应电动势与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．t＝0时刻发电机的线圈平面和磁场平行，磁通量Φ为0
B．在1s内发电机的线圈绕轴转动50圈
C．将此交流电接到匝数比是1：10的升压变压器上，副线圈的电压为V
D．将此交流电与耐压值是220V的电容器相连，电容器会被击穿
4．如图所示，一矩形金属线圈在匀强磁场中绕与磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动势的图象如u﹣t图中的正弦曲线所示，则下列说法正确的是（ ）
A．t＝0时刻，通过线圈平面的磁通量最小
B．t＝3×10﹣2s时刻，通过线圈平面的磁通量变化率最小
C．线圈在磁场中转动的角速度为50πrad/s
D．线圈中感应电动势的表达式为e＝15sin25πt（V）
5．如图所示，匝数为100匝的闭合矩形金属线圈abcd绕垂直于磁感线的固定轴OO’匀速转动，周期为0.02s，线圈平面位于匀强磁场中。线圈总电阻为2Ω，小灯泡电阻为2Ω（不计灯泡电阻随温度的变化），从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，线圈中感应电流的最大值Im＝2A，则（ ）
A．线圈中电流瞬时值的表达式为i＝cos100π（A）
B．电路中的电流方向每秒钟改变50次
C．此时线圈中磁通量的变化率为＝0.08Wb/s
D．灯泡实际消耗的功率为8W
6．矩形金属线圈共5匝，在匀强磁场中绕垂直磁场方向的转轴匀速转动，线圈中产生的电动势e随时间t变化的情况如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．此交流电的频率为100Hz
B．此交流电的电动势有效值为2V
C．t＝0.01s时，线圈所在平面与磁场方向垂直
D．穿过线圈的最大磁通量为Wb
7．一理想变压器与电阻R、交流电压表V、电流表A按图甲所示方式连接，R＝10Ω，变压器的匝数比为＝．图乙是R两端电压U随时间变化的图象，Um＝10V．下列说法中正确的是（ ）
A．通过R的电流iR＝cos50πtA B．电流表A的读数为0.1A
C．电流表A的读数为A D．电压表V的读数为10V
8．下列图象，属于交变电流的是（ ）
A．B． C． D．
9．某交流发电机产生正弦式交变电流的图象如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．交变电流的频率为100HZ
B．交变电流的表达式为i＝5cos50πt（A）
C．在t＝0.02s时，交流发电机线圈位于中性面位置
D．1s内电流改变方向100次
10．在匀强磁场中有一个矩形线圈，让其绕垂直于磁场方向的轴匀速转动，当线圈平面跟中性面重合的瞬间，下列说法中正确的是（ ）
A．线圈中的磁通量为零 B．线圈中的感应电动势最大
C．线圈的每一条边都不切割磁感线 D．线圈所受到的磁场力不为零
11．通过某用电器的交流电，电压随时间变化的表达式为u＝220sin100πt（V），则该电压的有效值为（ ）
A．220V B．220V C．110V D．110V
12．图是一矩形线圈在一匀强磁场中以角速度ω匀速转动而产生的感应电动势随时间变化的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．t＝0时通过线圈的磁通量最大 B．t＝时线圈平面跟磁场方向垂直
C．一个周期内电流的方向改变一次 D．t＝T时外电路消耗的电功率最大
二、计算题
13．一矩形线圈，在匀强磁场中绕垂直磁感线的对称轴转动，形成如图所示的交变电动势图象，试根据图象求出：
（1）线圈转动的角速度；
（2）电动势的有效值；
（3）t＝1.0×10﹣2s时，线圈平面和磁场方向的夹角。
14．图甲是交流发电机模型示意图．在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一矩形线圈abcd可绕线圈平面内垂直于磁感线的轴OO′转动，由线圈引出的导线ae和df分别与两个跟线圈一起绕OO′转动的金属圆环相连接，金属圆环又分别与两个固定的电刷保持滑动接触，这样矩形线圈在转动中就可以保持和外电路电阻R形成闭合电路．图乙是线圈的主视图，导线ab和cd分别用它们的横截面来表示．已知ab长度为L1，bc长度为L2，线圈以恒定角速度ω逆时针转动．(只考虑单匝线圈)
甲 乙
丙
(1)线圈平面处于中性面位置时开始计时，试推导t时刻整个线圈中的感应电动势e1的表达式；
(2)线圈平面处于与中性面成φ0夹角位置时开始计时，如图丙所示，试写出t时刻整个线圈中的感应电动势e2的表达式；
(3)若线圈电阻为r，求线圈每转动一周电阻R上产生的焦耳热．(其他电阻均不计)
第十一部分 交变电流 传感器
第36讲 交变电流的产生和描述(解析版)
能掌握交变电流的产生和描述，会写出交变电流的瞬时值表达式.
能认识交变电流的图象和进行有效值、最大值的计算．
交变电流的产生和变化规律
1. 交变电流
大小和方向都随时间做周期性变化的电流．如图3(a)、(b)、(c)、(d)所示都属于交变电流．其中按正弦规律变化的交变电流叫正弦式交变电流，简称正弦式电流，如图(a)所示．
2. 正弦交流电的产生和图象
(1)产生：在匀强磁场里，线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动．
(2)中性面
①定义：与磁场方向垂直的平面．
②特点
a．线圈位于中性面时，穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零，感应电动势为零．
b．线圈转动一周，两次经过中性面．线圈每经过中性面一次，电流的方向就改变一次．
(3)图象：用以描述交流电随时间变化的规律，如果线圈从中性面位置开始计时，其图象为正弦函数曲线．
二、正弦交变电流的函数表达式、峰值和有效值
1． 周期和频率
(1)周期(T)：交变电流完成一次周期性变化(线圈转一周)所需的时间，单位是秒(s)，公式T＝.
(2)频率(f)：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数．单位是赫兹(Hz)．
(3)周期和频率的关系：T＝或f＝.
2． 正弦式交变电流的函数表达式(线圈在中性面位置开始计时)
(1)电动势e随时间变化的规律：e＝Emsin_ωt.
(2)负载两端的电压u随时间变化的规律：u＝Umsin_ωt.
(3)电流i随时间变化的规律：i＝Imsin_ωt.其中ω等于线圈转动的角速度，Em＝nBSω.
3． 交变电流的瞬时值、峰值、有效值
(1)瞬时值：交变电流某一时刻的值，是时间的函数．
(2)峰值：交变电流的电流或电压所能达到的最大值，也叫最大值．
(3)有效值：跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值叫做交变电流的有效值．对正弦交流电，其有效值和峰值的关系为：E＝，U＝，I＝.
(4)平均值：是交变电流图象中波形与横轴所围面积跟时间的比值．
1．如图甲所示，矩形线圈abcd在匀强磁场中逆时针匀速转动时，线圈中产生的交变电流如图乙所示，设沿abcda方向为电流正方向，则( )
A．乙图中Oa时间段对应甲图中A至B图的过程
B．乙图中c时刻对应甲图中的C图
C．若乙图中d等于0.02 s，则1 s内电流的方向改变了50次
D．若乙图中b等于0.02 s，则交流电的频率为50 Hz
【答案】A
【解析】依据交流电的变化规律可知，如果从中性面开始计时，有e＝Emsin ωt和i＝Imsin ωt；如果从垂直于中性面的位置开始计时，有e＝Emcos ωt和i＝Imcos ωt.不难看出：线圈平面每经过中性面一次，感应电流的方向就改变一次，感应电动势的方向也改变一次；线圈每转动一周，感应电流的方向和感应电动势的方向都改变两次．故正确答案为C.
2. 实验室里的交流发电机可简化为如图所示的模型，正方形线圈在水平匀强磁场中，绕垂直于磁感线的OO′轴匀速转动．今在发电机的输出端接一个电阻R和理想电压表，并让线圈每秒转25圈，读出电压表的示数为10 V．已知R＝10 Ω，线圈电阻忽略不计，下列说法正确的是( )
A．线圈平面与磁场平行时，线圈中的瞬时电流为零
B．从线圈平面与磁场平行开始计时，线圈中感应电流瞬时值表达式为i＝sin 50πt A
C．流过电阻R的电流每秒钟方向改变25次
D．电阻R上的热功率等于10 W
【答案】D
【解析】线圈平面与磁场平行时，瞬时感应电流最大，A错．从线圈平面与磁场平行时开始计时，Εm＝10 V，f＝25 Hz，i＝cos 50πt A，B错．电流方向每秒改变50次，C错．PR＝＝10 W，D正确．
3．如图表示一交流电电流随时间变化的图像，其中电流的正值为正弦曲线的正半周，其最大值为Im；电流的负值强度为Im，则该交流电的有效值为 ( )
A. B.Im C．Im D.Im
【答案】D
【解析】根据有效值的定义，取一个周期T，则
Q＝()2R＋IR＝I2RT
解得：I＝Im，故选D.
4．如图甲所示，为一种调光台灯电路示意图，它通过双向可控硅电子器件实现了调节亮度．给该台灯接220 V的正弦交流电后加在灯管两端的电压如图乙所示，则此时交流电压表的示数为 ( )
A．220 V B．110 V C． V D． V
【答案】B
【解析】设该电压的有效值为U，根据有效值定义有·＝T，解得U＝110 V，则B项正确．
5．如图所示，图线a是线圈在匀强磁场中匀速转动时所产生正弦交流电的图象，当调整线圈转速后，所产生正弦交流电的图象如图线b所示，以下关于这两个正弦交流电的说法正确的是( )
A．在图中t＝0时刻穿过线圈的磁通量均为零
B．线圈先后两次转速之比为3∶2
C．交流电a的瞬时值表达式为u＝10sin 5πt (V)
D．交流电b的最大值为5 V
【答案】BC
【解析】t＝0时刻穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零，故电压为零，A错．读图得两次周期之比为2∶3，由转速n＝＝得转速与周期成反比，故B正确．读图得a的最大值为10 V，ω＝5π rad/s，由交流电感应电动势的瞬时值表达式e＝Emsin ωt (V)(从线圈在中性面位置开始计时)得，u＝10sin 5πt (V)，故C正确．交流电的最大值Em＝nBSω，所以根据两次转速的比值可得，交流电b的最大值为×10 V＝ V，故D错．
要点一 交变电流的变化规律
1. 正弦式交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)
规律
物理量
函数
图象
磁通量
Φ＝Φmcos ωt
＝BScos ωt
电动势
e＝Emsin ωt
＝nBSωsin ωt
电压
u＝Umsin ωt
＝sin ωt
电流
i＝Imsin ωt
＝sin ωt
2. 两个特殊位置的特点
(1)线圈平面与中性面重合时，S⊥B，Φ最大，＝0，e＝0，i＝0，电流方向将发生改变．
(2)线圈平面与中性面垂直时，S∥B，Φ＝0，最大，e最大，i最大，电流方向不改变．
要点二 交流电有效值的求解
有效值是交流电中最重要的物理量，必须会求解，特别是正弦交流电的有效值，应记 住公式．求交变电流有效值的方法有：
(1)利用I＝，U＝，E＝计算，只适用于正(余)弦式交流电．
(2)非正弦式交流电有效值的求解根据电流的热效应进行计算，其中，交变电流的有效值是根据电流通过电阻时产生的热效应定义的，即让交变电流和直流电流通过相同的电阻，在相同的时间里若产生的热量相同，则交变电流(电压)的有效值就等于这个直流电流(电压)的值，即求解交变电流有效值问题必须在相同电阻、相同时间、相同热量的“三同”原则下求解．
要点三 交变电流的“四值”的比较与理解
1. 交变电流的瞬时值、峰值、有效值和平均值的比较
物理量
物理含义
重要关系
适用情况及说明
瞬时值
交变电流某一时刻的值
e＝Emsin ωt
i＝Imsin ωt
计算线圈某时刻的受力情况
峰值
最大的瞬时值
Em＝nBSω
Im＝
讨论电容器的击穿电压
有效值
跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值
E＝
U＝
I＝
适用于正(余)弦式交变电流
(1)计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热等)
(2)电气设备“铭牌”上所标的一般是有效值
(3)保险丝的熔断电流为有效值
平均值
交变电流图象中图线与时间轴所夹的面积与时间的比值
＝Bl
＝n
＝
计算通过电路截面的电荷量
2. 交变电流瞬时值表达式的求法
(1)先求电动势的最大值Em＝nBSω；
(2)求出角速度ω，ω＝；
(3)明确从哪一位置开始计时，从而确定是正弦函数还是余弦函数；
(4)写出瞬时值的表达式．
要点一 交变电流的变化规律
【例题1】关于线圈在匀强磁场中转动产生的交变电流，下列说法中正确的是 ( )
A．线圈平面每经过中性面一次，感应电流的方向就改变一次，感应电动势的方向不变
B．线圈每转动一周，感应电流的方向改变一次
C．线圈平面每经过中性面一次，感应电动势和感应电流的方向都改变一次
D．线圈每转动一周，感应电动势和感应电流的方向都改变一次
【答案】C
【解析】依据交流电的变化规律可知，如果从中性面开始计时，有e＝Emsin ωt和i＝Imsin ωt；如果从垂直于中性面的位置开始计时，有e＝Emcos ωt和i＝Imcos ωt.不难看出：线圈平面每经过中性面一次，感应电流的方向就改变一次，感应电动势的方向也改变一次；线圈每转动一周，感应电流的方向和感应电动势的方向都改变两次
针对训练1．矩形线框绕垂直于匀强磁场且沿线框平面的轴匀速转动时产生了交变电流，下列说法正确的是( )
A．当线框位于中性面时，线框中感应电动势最大
B．当穿过线框的磁通量为零时，线框中的感应电动势也为零
C．每当线框经过中性面时，感应电动势或感应电流方向就改变一次
D．线框经过中性面时，各边不切割磁感线
【答案】CD
【解析】线框位于中性面时，线框平面与磁感线垂直，穿过线框的磁通量最大，但此时切割磁感线的两边速度方向与磁感线平行，不切割磁感线，穿过线框的磁通量的变化率等于零，所以感应电动势等于零，感应电动势或感应电流的方向在此时刻改变．垂直于中性面时，穿过线框的磁通量为零，切割磁感线的两边的速度与磁感线垂直，有效切割速度最大，此时穿过线框的磁通量的变化率最大，所以感应电动势最大.
要点二 交流电有效值的求解
【例题2】在相同的时间内，某正弦交变电流通过一阻值为100 Ω的电阻产生的热量，与一电流3 A的直流电通过同一阻值的电阻产生的热量相等，则( )
A．此交变电流的有效值为3 A，最大值为3A
B．此交变电流的有效值为3A，最大值为6 A
C．电阻两端的交流电压的有效值为300 V，最大值不确定
D．电阻两端的交流电压的有效值为300 V，最大值为600 V
【答案】A
【解析】根据交变电流有效值的定义知，交变电流的有效值即为直流电的电流值，为3 A．根据正弦交变电流有效值与最大值的关系，可知交变电流的最大值为3 A，A正确；B错误；根据欧姆定律U＝IR，则有U有效＝I有效R，Um＝ImR，故电阻两端的交流电压的有效值为300 V，最大值为300 V，C，D错误．
针对训练2．把一只电热器接在100 V的直流电源上，在t时间内产生的热量为Q，若将它分别接到U1＝100sin ωtV和U2＝50sin2 ωt V的交流电源上，仍要产生Q的热量，则所需时间分别是( )
A．t，2t B．2t，8t C．2t，2t D．t，4t
【答案】B
【解析】计算电热器在t秒产生的热量时应该用电压的有效值，对U1＝100sin (ωt) V，电压有效值为V，故.t＝()2t′，所以t′＝2t；对U2＝50sin (2ωt)V，电压有效值为V，故t＝()2·t″，所以t″＝8t.
要点三 交变电流的“四值”的比较与理解
【例题3】小型交流发电机中，矩形金属线圈在匀强磁场中匀速转动，产生的感应电动势与时间呈正弦函数关系，如图所示．此线圈与一个R＝10 Ω的电阻构成闭合电路，不计电路的其他电阻，下列说法正确的是 ( )
A．交变电流的周期为0.125 s B．交变电流的频率为8 Hz
C．交变电流的有效值为 A D．交变电流的最大值为4 A
【答案】C
【解析】由题图可知，交变电流的周期为0.250 s，频率为4 Hz，交变电流的最大值为 A＝2 A，有效值为 A＝ A，所以应选C.
针对训练3．某小型发电机产生的交变电动势为e＝50sin 100πt(V)．对此电动势，下列表述正确的有 ( )
A．最大值是50 V B．频率是100 Hz
C．有效值是25 V D．周期是0.02 s
【答案】CD
【解析】交变电动势e＝Emsin ωt或e＝Emcos ωt，其中Em为电动势的最大值，ω为角速度，有效值E＝，周期T＝，频率f＝.由e＝50sin 100πt(V)知，Em＝50 V，E＝ V＝25 V，T＝＝ s＝0.02 s，f＝＝ Hz＝50 Hz，所以选项C、D正确．
随堂巩固
1．如图所示，面积均为S的单匝线圈绕其对称轴或中心轴在匀强磁场B中以角速度ω匀速转动，能产生正弦交变电动势e＝BSωsin ωt的图是( )
【答案】A
【解析】线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴(轴在线圈所在平面内)匀速转动，产生的正弦交变电动势为e＝BSωsin ωt，由这一原理可判断，A图中感应电动势为e＝BSωsin ωt；B图中的转动轴不在线圈所在平面内；C、D图转动轴与磁场方向平行，而不是垂直．
2．如图甲所示，一矩形线圈abcd放置在匀强磁场中，并绕过ab、cd中点的轴OO′以角速度ω逆时针匀速转动．若以线圈平面与磁场夹角θ＝45°时(如图乙)为计时起点，并规定当电流自a流向b时，电流方向为正．则下列四幅图中正确的是 ( )
【答案】D
【解析】t＝0时刻，根据题图乙表示的转动方向，由右手定则知，此时ad中电流方向由a到d，线圈中电流方向为a→d→c→b→a，与规定的电流正方向相反，电流为负值．又因为此时ad、bc两边的切割速度方向与磁场方向成45°夹角，由E＝2Blv⊥，可得E＝2×Blv＝Em，即此时电流是最大值的倍，由图乙还能观察到，线圈在接下来45°的转动过程中，ad、bc两边的切割速度v⊥越来越小，所以感应电动势应减小，感应电流应减小，故瞬时电流的表达式为i＝－Imcos (＋ωt)，则图象为D图象所描述，故D项正确．
3. 如图表示一交变电流随时间变化的图象．其中，从t＝0开始的每个时间内的图象均为半个周期的正弦曲线．求此交变电流的有效值是多少？
【答案】 A
【解析】此题所给交变电流虽然正负半周的最大值不同，但在任意一个周期内，前半周期和后半周期的有效值是可以求的，分别为I1＝ A，I2＝ A
设所求交变电流的有效值为I，根据有效值的定义，选择一个周期的时间，利用在相同时间内通过相同的电阻所产生的热量相等，由焦耳定律得I2RT＝IR＋IR，即I2＝2×＋2×，解得I＝ A.
4．一个小型电热器若接在输出电压为10 V的直流电源上，消耗电功率为P；若把它接在某个正弦式交流电源上，其消耗的电功率为.如果电热器电阻不变，则此交流电源输出电压的最大值为 ( )
A．5 V B．5 V C．10 V D．10 V
【答案】C
【解析】小型电热器的电阻不会改变，根据功率表达式和交流电的有效值有和可得，答案C。
5．一理想变压器原、副线圈匝数比n1∶n2＝11∶5，原线圈与正弦交变电源连接，输入电压u如图所示．副线圈仅接入一个10 Ω的电阻．则 ( )
A．流过电阻的电流是20 A
B．与电阻并联的电压表的示数是100 V
C．经过1分钟电阻发出的热量是6×103 J
D．变压器的输入功率是1×103 W
【答案】D
【解析】原线圈中电压的有效值是220 V．由变压比知副线圈中电压为100 V，流过电阻的电流是10 A；与电阻并联的电压表的示数是100 V；经过1 分钟电阻发出的热量是6×104 J；P入＝P出＝＝ V＝1×103 W．只有D项正确．
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选择题
1．一个单匝矩形金属线框的面积为S，线框在磁感应强度为B的匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，从线框平面与磁场垂直的位置开始计时，转速为n，则（ ）
A．线框产生的交变电动势的最大值为πBS
B．线框产生的交变电动势的有效值
C．从开始转动经过周期，线框中的平均感应电动势为2nBS
D．线框产生的交变电动势的瞬时值表达式为e＝2nπBSsinnπt
【答案】B
【解析】A、因ω＝2πn，则交变电动势的最大值为：Em＝BSω＝2πnBS．
B、线框交变电动势的有效值为：E＝Em＝πnBS． C、从开始转动经过T周期，线框中的平均感应电动势为：＝＝＝4nBS． D、感应电动势瞬时值为：e＝Emsinωt＝2nπBSsin2nπt（V）。
2．如图，在同一平面内固定有一长直导线PQ和一导线框R，R在PQ的右侧。导线PQ中通有正弦交流电i，i的变化如图所示，规定从Q到P为电流正方向。导线框R中的感应电动势（ ）
A．在t＝时最大 B．在t＝时改变方向
C．在t＝时最大，且沿顺时针方向 D．在t＝T时最大，且沿顺时针方向
【答案】C
【解析】AB、向上的电流在线框处的磁场的方向向里，由图可知，当时间为T时刻，电流的变化率为0，电流产生的磁场的变化率为0，则线框产生的感应电动势与感应电流为0，且在感应电流为0的时刻，感应电流的方向会发生变化；
CD、结合正弦曲线变化的特点可知，当PQ中的电流为0时，电流的变化率最大，所以电流产生的磁场的变化率最大，所以在时刻t＝T时或t＝T时刻线框内磁通量的变化率最大，则产生的电动势最大；在t＝时刻，向里的磁场减小，R内产生的感应电流的磁场的方向向里，根据安培定则可知，电流的方向为顺时针方向，同理可知，在t＝T时刻感应电流的方向为逆时针方向
3．某交流发电机产生的感应电动势与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．t＝0时刻发电机的线圈平面和磁场平行，磁通量Φ为0
B．在1s内发电机的线圈绕轴转动50圈
C．将此交流电接到匝数比是1：10的升压变压器上，副线圈的电压为V
D．将此交流电与耐压值是220V的电容器相连，电容器会被击穿
【答案】D
【解析】A、t＝0时感应电动势为0，说明此时刻线圈平面位于中性面，发电机的线圈平面与磁场垂直，磁通量Φ最大；
B、产生的感应电动势的周期T＝0.04s，故1s内发电机的线圈转动的圈数为：n＝＝25转；
C．输入电压的有效值为：U1＝＝＝200V，根据，解得：U2＝2000V；
D．交流电的最大值为：Em＝200＝282V，电容器的耐压值为电容器两端允许电压的最大值，则电容器会被击穿。
4．如图所示，一矩形金属线圈在匀强磁场中绕与磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动势的图象如u﹣t图中的正弦曲线所示，则下列说法正确的是（ ）
A．t＝0时刻，通过线圈平面的磁通量最小
B．t＝3×10﹣2s时刻，通过线圈平面的磁通量变化率最小
C．线圈在磁场中转动的角速度为50πrad/s
D．线圈中感应电动势的表达式为e＝15sin25πt（V）
【答案】C
【解析】A、t＝0时刻，线圈平面和磁场垂直，通过线圈平面的磁通量最大
B、t＝3×10﹣2s时刻，线圈平面和磁场平行，通过线圈平面的磁通量变化率最大，感应电动势最大
C、如图所示，周期为：T＝0.04s，角速度为：＝rad/s＝50πrad/s。
D、线圈中感应电动势的表达式为e＝15sin50πt（V）。故选：C。
5．如图所示，匝数为100匝的闭合矩形金属线圈abcd绕垂直于磁感线的固定轴OO’匀速转动，周期为0.02s，线圈平面位于匀强磁场中。线圈总电阻为2Ω，小灯泡电阻为2Ω（不计灯泡电阻随温度的变化），从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，线圈中感应电流的最大值Im＝2A，则（ ）
A．线圈中电流瞬时值的表达式为i＝cos100π（A）
B．电路中的电流方向每秒钟改变50次
C．此时线圈中磁通量的变化率为＝0.08Wb/s
D．灯泡实际消耗的功率为8W
【答案】C
【解析】A、根据题意，T＝0.02s，ω＝＝rand/s＝100π rad/s，Im＝2A，从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，所以线圈中电流瞬时值的表达式为i＝2cos100π（A）。
B、根据题意，T＝0.02s，f＝＝50Hz，电流一个周期内改变两次，所以电路中的电流方向每秒钟改变100次。
C、感应电动势的最大值为：Em＝Im（r+R）＝2×（2+2）V＝8V，根据Em＝n，可得：＝＝0.08 Wb/s。
D、电流的有效值为I＝＝A＝A，灯泡实际消耗的功率为P＝I2R＝（）2×2W＝4W．
6．矩形金属线圈共5匝，在匀强磁场中绕垂直磁场方向的转轴匀速转动，线圈中产生的电动势e随时间t变化的情况如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．此交流电的频率为100Hz
B．此交流电的电动势有效值为2V
C．t＝0.01s时，线圈所在平面与磁场方向垂直
D．穿过线圈的最大磁通量为Wb
【答案】
C【解析】A、由图象知周期T＝0.02s，所以频率f＝50Hz
B、电动势有效值为E＝＝V
C、t＝0.01s时，电动势为零，线圈平面与磁场方向垂直
D、电动势最大值2＝NBSω，所以最大磁通量BS＝＝＝Wb
7．一理想变压器与电阻R、交流电压表V、电流表A按图甲所示方式连接，R＝10Ω，变压器的匝数比为＝．图乙是R两端电压U随时间变化的图象，Um＝10V．下列说法中正确的是（ ）
A．通过R的电流iR＝cos50πtA
B．电流表A的读数为0.1A
C．电流表A的读数为A
D．电压表V的读数为10V
【答案】B
【解析】A、由图象知T＝2×10﹣2s，f＝50Hz，ω＝2πf＝100πrad/s，＝，故iR＝cos 100πtA
BC、根据＝知，，I1有效值为0.1A
D、电压表读数应为副线圈电压有效值，U2＝＝10V
8．下列图象，属于交变电流的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A、电流大小和方向都随时间呈周期性变化
BCD、电流的方向始终不变，故不是交变电流
9．某交流发电机产生正弦式交变电流的图象如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．交变电流的频率为100HZ
B．交变电流的表达式为i＝5cos50πt（A）
C．在t＝0.02s时，交流发电机线圈位于中性面位置
D．1s内电流改变方向100次
【答案】D
【解析】A、由图象可知，交流电的周期为20×10﹣3s，所以交流电的频率为f＝＝50Hz
B、根据图象可得，交变电流的瞬时表达式为：i＝Acosωt＝5cos100πt（A）
C、在t＝0.02s时，感应电流最大，所以此时穿过交流发电机线圈的磁通量的变化率最大，穿过交流发电机线圈的磁通量为零
D、交流电的频率为：f＝＝50Hz，1s内电流改变方向100次
10．在匀强磁场中有一个矩形线圈，让其绕垂直于磁场方向的轴匀速转动，当线圈平面跟中性面重合的瞬间，下列说法中正确的是（ ）
A．线圈中的磁通量为零 B．线圈中的感应电动势最大
C．线圈的每一条边都不切割磁感线 D．线圈所受到的磁场力不为零
【答案】C
【解析】A、在中性面时，线圈与磁场垂直，磁通量最大。
B、在中性面时，没有边切割磁感线，感应电动势为零
C、在中性面时，没有边切割磁感线，且每一边都不切割磁感线，感应电动势为零
D、在中性面时，没有边切割磁感线，感应电动势为零，没有感应电流，则没有磁场力作用
11．通过某用电器的交流电，电压随时间变化的表达式为u＝220sin100πt（V），则该电压的有效值为（ ）
A．220V B．220V C．110V D．110V
【答案】A
【解析】由图象可知交流电的最大值为Um＝220V，因此其有效值为U＝＝V＝220V：
12．图是一矩形线圈在一匀强磁场中以角速度ω匀速转动而产生的感应电动势随时间变化的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．t＝0时通过线圈的磁通量最大 B．t＝时线圈平面跟磁场方向垂直
C．一个周期内电流的方向改变一次 D．t＝T时外电路消耗的电功率最大
【答案】A
【解析】A、t＝0时，磁通量变化率为零，感应电动势为零，通过线圈的磁通量最大。
B、t＝时，感应电动势最大，线圈平面跟磁场方向平行
C、一个周期内电流的方向改变两次。
D、t＝时，外电路消耗的电功率最大，t＝T时，外电路消耗的电功率为零。
二、计算题
13．一矩形线圈，在匀强磁场中绕垂直磁感线的对称轴转动，形成如图所示的交变电动势图象，试根据图象求出：
（1）线圈转动的角速度；
（2）电动势的有效值；
（3）t＝1.0×10﹣2s时，线圈平面和磁场方向的夹角。
【解析】（1）由图象读出周期T＝0.06s，线圈转动的角速度ω＝＝rad/s
（2）由图象读出电动势的最大值Em＝20V，则有效值E＝＝10V
（3）t＝0时刻线圈位于中性面，t＝1.0×10﹣2s时线圈平面和磁场的夹角θ＝﹣ωt＝。
【答案】（1）10V；（2）rad/s；（3）t＝1.0×10﹣2s时，线圈平面和磁场方向的夹角为。
14．图甲是交流发电机模型示意图．在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一矩形线圈abcd可绕线圈平面内垂直于磁感线的轴OO′转动，由线圈引出的导线ae和df分别与两个跟线圈一起绕OO′转动的金属圆环相连接，金属圆环又分别与两个固定的电刷保持滑动接触，这样矩形线圈在转动中就可以保持和外电路电阻R形成闭合电路．图乙是线圈的主视图，导线ab和cd分别用它们的横截面来表示．已知ab长度为L1，bc长度为L2，线圈以恒定角速度ω逆时针转动．(只考虑单匝线圈)
甲 乙
丙
(1)线圈平面处于中性面位置时开始计时，试推导t时刻整个线圈中的感应电动势e1的表达式；
(2)线圈平面处于与中性面成φ0夹角位置时开始计时，如图丙所示，试写出t时刻整个线圈中的感应电动势e2的表达式；
(3)若线圈电阻为r，求线圈每转动一周电阻R上产生的焦耳热．(其他电阻均不计)
【解析】(1)如图所示，矩形线圈abcd在磁场中转动时，ab、cd切割磁感线，且转动的半径为r＝，转动时ab、cd的线速度v＝ωr＝，且与磁场方向的夹角为ωt，所以，整个线圈中的感应电动势e1＝2BL1vsin ωt＝BL1L2ωsin ωt.
(2)当t＝0时，线圈平面与中性面的夹角为φ0，则t时刻时，线圈平面与中性面的夹角为ωt＋φ0
故此时感应电动势的瞬时值
e2＝2BL1vsin (ωt＋φ0)＝BL1L2ωsin (ωt＋φ0)
(3)线圈匀速转动时感应电动势的最大值Em＝BL1L2ω，故有效值E＝＝
回路中电流的有效值I＝＝
根据焦耳定律知转动一周电阻R上的焦耳热为
Q＝I2RT＝[]2R＝.
【答案】(1)e1＝BL1L2ωsin ωt (2)e2＝BL1L2ωsin (ωt＋φ0)
(3)
