河北省石家庄二中2019年自主招生考试数学试题（PDF版，无答案）
文档属性
| 名称 | 河北省石家庄二中2019年自主招生考试数学试题（PDF版，无答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 530.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-27 14:49:32 | ||
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文档简介
石家庄二中自主招生
数学试题
（时间：70 分钟 满分：120 分）
一．选择题（每小题 2 分，共 36 分）
1．下列计算正确的是（ ）
A． 2 2 42a a a? ? B． 2 3 6a a a? ?
C． ? ?
2
2 4a a? ? D． ? ?
2 21 1a a? ? ?
2．小明统计了他家今年 5 月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：
通话时间 / minx 0< 5x≤ 5< 10x≤ 10< 15x≤ 15< 20x≤
频数（通话次数） 20 16 9 5
则通话时间不超过15min 的频率为（ ）
A． 0.1 B． 0.4 C． 0.5 D． 0.9
3．两名同学进行了 10 次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩
哪一位更稳定，通常还需要比较他们的成绩的（ ）
A．众数 B．中位数 C．方差 D．以上都不对
4．如图所示的三棱柱的主视图是（ ）
5．若点 ? ?A a b， 在反比例函数
2
y
x
? 的图像上，则代数式 4ab ? 的值为（ ）
A． 2? B．0 C．2 D． 6?
6．在平面直角坐标系 xoy中，已知点 ? ?2 2P ， ，点Q在 y 轴上， PQO△ 是等腰三角形，则满足条件的
点Q共有（ ）
A．5 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
7．菱形 ABCD中， 5AB ? ， 120BCD ? ?∠ ，则对角线 BD的长是（ ）
A．20 B．10 C．5 3 D．5
DCBA
8．将抛物线 2 2y x x? ? 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到的抛物线的函数表达
式为（ ）
A． 2y x? B． ? ?
2
2y x? ?
C． 2 2y x? ? D． 2 2y x? ?
9．如图所示， AB 为 O 的切线，切点为 B ，连接 AO ， AO 与 O 交于点C ，BD为 O 的直径，连
接CD．若 30A ? ?∠ ， O 的半径为 2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
4π
3
3
? B．
4π
2 3
3
? C． π 3? D．
2π
3
3
?
10．如图所示，在一笔直的海岸线 l 上有 A、B 两个观测站， 2kmAB ? ，从 A测得船C 在北偏东 45?的
方向，从 B 测得船C 在北偏东 22.5?的方向，则船C 离海岸线 l 的距离（即CD的长）为（ ）
A． 4km B． ? ?2 2 km? C． 2 2km D． ? ?4 2 km?
11．如图所示，正六边形 ABCDEF 内接于圆O，半径为 4，则这个正六边形的边心距OM 和弧 BC 的
长分别为（ ）
A．2、
π
3
B． 2 3 、 π C． 3 、
2π
3
D． 2 3 、
4π
3
D
O
B
AC
22.5°
45°
北
西
南
东
l
A B
C
D
F E
A
B C
D
O
12．已知函数 2 2 3y x x? ? ? 在闭区间 ? ?0 m， 上有最大值 3，最小值 2，则m 的取值范围是（ ）
A． 1m≥ B． 0 2m≤ ≤ C．1 2m≤ ≤ D． 2m≤
13．设 >0b ，二次函数 2 2 1y ax bx a? ? ? ? 的图象下列之一：
则 a的值为（ ）
A．
1 5
2
? ?
B．
1 5
2
? ?
C．1 D． 1?
14．某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6
时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 ? ?y x?
（ ? ?x 表示不大于 x的最大整数）可以表示为（ ）
A．
10
x
y
? ?
? ? ?
? ?
B．
3
10
x
y
?? ?
? ? ?
? ?
C．
4
10
x
y
?? ?
? ? ?
? ?
D．
5
10
x
y
?? ?
? ? ?
? ?
15．如果实数 x y， 满足 ? ?? ?2 21 1 1x x y y? ? ? ? ? ，那么 x y? 的值为（ ）
A．0 B． 1? C．1 D．2
16．植树节某班 20 名在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米，开始时需将树
苗集中在某一树坑旁边，现将树坑从 1 到 20 依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所
走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）
A．（1）和（20） B．（9）和（10） C．（9）和（11） D．（10）和（11）
17．将 1，2，3 填入3 3× 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填
写方法共有（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
18．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周
八尺，高五尺。问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图所示，米堆为一个
圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”
已知 1 斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（ ）
0
0
-1 10
-1
x
y
x
y
x
y
1
y
x
1
23 1
2 3
321
A．14 斛 B．22 斛 C．36 斛 D．66 斛
二．填空题（每小题 3 分，共 42 分）
19．比较大小：
5 1
2
?
__________
5
8
．（填“ > ”，“< ”，或“ ?”）
20．石家庄二中自主招生考试只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算．已
知小明数学得分为 95 分，综合得分为 93 分，那么小明物理得分是__________分．
21．一次函数 ? ? ? ?3 1 5y m x m? ? ? ? 的图象不过第一象限，则实数m 的取值范围是__________．
22．使代数式
2 1x
x x
?
?
有意义 x的取值范围是__________．
23．有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字
为 a，则关于 x的不等式组
? ?4 3 1
1
2 <
2
x x
x
x a
??
?
? ?
??
?
≥
有解的概率为__________．
24 ． ? ?? ?2 3 2 5 4 3 25 4 3 2 1 02 3 5 6 7x x x x x a x a x a x a x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 则 0 1 2 3 4 5a a a a a a? ? ? ? ? ?
__________．
25．函数 2 22 1 4 4y x x x x? ? ? ? ? ? 的最小值为__________．
26．已知 2 3? 是方程 2 1 0x mx? ? ? 的一个实数根，则实数m 的值为__________．
27．如图所示“赵爽弦图”， ABH△ 、 BCG△ 、 CDF△ 和 DAE△ 是四个全等的直角三角形，四边形
ABCD和 EFGH 都是正方形，如果 10AB ? ， 2EF ? ，那么 AH 等于__________．
28．设m?R ， 1x ， 2x 是方程
2 22 1 0x mx m? ? ? ? 的两个实数根，则
2 2
1 2x x? 的最小值是__________．
H
G
A B
CD
E
F
29．在平面四边形 ABCD中， 75A B C? ? ? ?∠ ∠ ∠ ， 2BC ? ，则 AD 的取值范围是__________．
30．若实数m n， 满足等式
3 2
3
3 5 0
2 3
m m m
n n
? ? ? ??
?
? ???
，则m n? ? __________．
31．由数字1，2，3，4组成所有可能的没有重复数字的四位数，它们的和为__________．
32．汉诺塔问题是数学中的著名猜想之一．
如图所示：有三根针和套在一根针上的 n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到
另一根针上。
（1）每次只能移动一个金属片；
（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面。将 n 个金属片从1
号针移到3号针最少需要移动的次数记为 ? ?f n 。
则：（Ⅰ） ? ?3f ? __________（Ⅱ） ? ?f n ? __________．
三．解答下列各题
33．（6分）分解因式
① 22 6x x? ? ? __________
② 3 3 2x x? ? ? __________
34．（6分）解下列方程
① 2
2 1
1
1 1x x
? ?
? ?
② 2 2 2 3x x? ? ? ?
35．（6分）已知： 2 1 0x x? ? ? ．
求值：①
2
2
1
x
x
? ； ② 3 22 2015x x? ?
36．（本小题满分8分）直线 y x m? ? 与双曲线
k
y
x
? ．
（1）无论m 为何值，直线与双曲线都有交点，求 k 的取值范围；
（2）若直线 y x m? ? 与双曲线
k
y
x
? 的交点为 ? ?1 1A x y， ， ? ?2 2B x y， ， ? ?1 2 0x x? ≠ 问
1 2
1 2
y y
x x
?
?
的
值是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由。
37．（本小题满分10分）
如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ? ?2 2 3 <0y ax ax a a? ? ? 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A
在点 B 的左侧），经过点 A的直线 :l y kx b? ? 与 y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为
D ，且 4CD AC? 。
（1）直接写出点 A的坐标，并求直线 l 的函数表达式（其中 k 、b 用含 a的式子表示）；
12 3
数学试题
（时间：70 分钟 满分：120 分）
一．选择题（每小题 2 分，共 36 分）
1．下列计算正确的是（ ）
A． 2 2 42a a a? ? B． 2 3 6a a a? ?
C． ? ?
2
2 4a a? ? D． ? ?
2 21 1a a? ? ?
2．小明统计了他家今年 5 月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：
通话时间 / minx 0< 5x≤ 5< 10x≤ 10< 15x≤ 15< 20x≤
频数（通话次数） 20 16 9 5
则通话时间不超过15min 的频率为（ ）
A． 0.1 B． 0.4 C． 0.5 D． 0.9
3．两名同学进行了 10 次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩
哪一位更稳定，通常还需要比较他们的成绩的（ ）
A．众数 B．中位数 C．方差 D．以上都不对
4．如图所示的三棱柱的主视图是（ ）
5．若点 ? ?A a b， 在反比例函数
2
y
x
? 的图像上，则代数式 4ab ? 的值为（ ）
A． 2? B．0 C．2 D． 6?
6．在平面直角坐标系 xoy中，已知点 ? ?2 2P ， ，点Q在 y 轴上， PQO△ 是等腰三角形，则满足条件的
点Q共有（ ）
A．5 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
7．菱形 ABCD中， 5AB ? ， 120BCD ? ?∠ ，则对角线 BD的长是（ ）
A．20 B．10 C．5 3 D．5
DCBA
8．将抛物线 2 2y x x? ? 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到的抛物线的函数表达
式为（ ）
A． 2y x? B． ? ?
2
2y x? ?
C． 2 2y x? ? D． 2 2y x? ?
9．如图所示， AB 为 O 的切线，切点为 B ，连接 AO ， AO 与 O 交于点C ，BD为 O 的直径，连
接CD．若 30A ? ?∠ ， O 的半径为 2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
4π
3
3
? B．
4π
2 3
3
? C． π 3? D．
2π
3
3
?
10．如图所示，在一笔直的海岸线 l 上有 A、B 两个观测站， 2kmAB ? ，从 A测得船C 在北偏东 45?的
方向，从 B 测得船C 在北偏东 22.5?的方向，则船C 离海岸线 l 的距离（即CD的长）为（ ）
A． 4km B． ? ?2 2 km? C． 2 2km D． ? ?4 2 km?
11．如图所示，正六边形 ABCDEF 内接于圆O，半径为 4，则这个正六边形的边心距OM 和弧 BC 的
长分别为（ ）
A．2、
π
3
B． 2 3 、 π C． 3 、
2π
3
D． 2 3 、
4π
3
D
O
B
AC
22.5°
45°
北
西
南
东
l
A B
C
D
F E
A
B C
D
O
12．已知函数 2 2 3y x x? ? ? 在闭区间 ? ?0 m， 上有最大值 3，最小值 2，则m 的取值范围是（ ）
A． 1m≥ B． 0 2m≤ ≤ C．1 2m≤ ≤ D． 2m≤
13．设 >0b ，二次函数 2 2 1y ax bx a? ? ? ? 的图象下列之一：
则 a的值为（ ）
A．
1 5
2
? ?
B．
1 5
2
? ?
C．1 D． 1?
14．某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6
时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 ? ?y x?
（ ? ?x 表示不大于 x的最大整数）可以表示为（ ）
A．
10
x
y
? ?
? ? ?
? ?
B．
3
10
x
y
?? ?
? ? ?
? ?
C．
4
10
x
y
?? ?
? ? ?
? ?
D．
5
10
x
y
?? ?
? ? ?
? ?
15．如果实数 x y， 满足 ? ?? ?2 21 1 1x x y y? ? ? ? ? ，那么 x y? 的值为（ ）
A．0 B． 1? C．1 D．2
16．植树节某班 20 名在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米，开始时需将树
苗集中在某一树坑旁边，现将树坑从 1 到 20 依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所
走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）
A．（1）和（20） B．（9）和（10） C．（9）和（11） D．（10）和（11）
17．将 1，2，3 填入3 3× 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填
写方法共有（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
18．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周
八尺，高五尺。问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图所示，米堆为一个
圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”
已知 1 斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（ ）
0
0
-1 10
-1
x
y
x
y
x
y
1
y
x
1
23 1
2 3
321
A．14 斛 B．22 斛 C．36 斛 D．66 斛
二．填空题（每小题 3 分，共 42 分）
19．比较大小：
5 1
2
?
__________
5
8
．（填“ > ”，“< ”，或“ ?”）
20．石家庄二中自主招生考试只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算．已
知小明数学得分为 95 分，综合得分为 93 分，那么小明物理得分是__________分．
21．一次函数 ? ? ? ?3 1 5y m x m? ? ? ? 的图象不过第一象限，则实数m 的取值范围是__________．
22．使代数式
2 1x
x x
?
?
有意义 x的取值范围是__________．
23．有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字
为 a，则关于 x的不等式组
? ?4 3 1
1
2 <
2
x x
x
x a
??
?
? ?
??
?
≥
有解的概率为__________．
24 ． ? ?? ?2 3 2 5 4 3 25 4 3 2 1 02 3 5 6 7x x x x x a x a x a x a x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 则 0 1 2 3 4 5a a a a a a? ? ? ? ? ?
__________．
25．函数 2 22 1 4 4y x x x x? ? ? ? ? ? 的最小值为__________．
26．已知 2 3? 是方程 2 1 0x mx? ? ? 的一个实数根，则实数m 的值为__________．
27．如图所示“赵爽弦图”， ABH△ 、 BCG△ 、 CDF△ 和 DAE△ 是四个全等的直角三角形，四边形
ABCD和 EFGH 都是正方形，如果 10AB ? ， 2EF ? ，那么 AH 等于__________．
28．设m?R ， 1x ， 2x 是方程
2 22 1 0x mx m? ? ? ? 的两个实数根，则
2 2
1 2x x? 的最小值是__________．
H
G
A B
CD
E
F
29．在平面四边形 ABCD中， 75A B C? ? ? ?∠ ∠ ∠ ， 2BC ? ，则 AD 的取值范围是__________．
30．若实数m n， 满足等式
3 2
3
3 5 0
2 3
m m m
n n
? ? ? ??
?
? ???
，则m n? ? __________．
31．由数字1，2，3，4组成所有可能的没有重复数字的四位数，它们的和为__________．
32．汉诺塔问题是数学中的著名猜想之一．
如图所示：有三根针和套在一根针上的 n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到
另一根针上。
（1）每次只能移动一个金属片；
（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面。将 n 个金属片从1
号针移到3号针最少需要移动的次数记为 ? ?f n 。
则：（Ⅰ） ? ?3f ? __________（Ⅱ） ? ?f n ? __________．
三．解答下列各题
33．（6分）分解因式
① 22 6x x? ? ? __________
② 3 3 2x x? ? ? __________
34．（6分）解下列方程
① 2
2 1
1
1 1x x
? ?
? ?
② 2 2 2 3x x? ? ? ?
35．（6分）已知： 2 1 0x x? ? ? ．
求值：①
2
2
1
x
x
? ； ② 3 22 2015x x? ?
36．（本小题满分8分）直线 y x m? ? 与双曲线
k
y
x
? ．
（1）无论m 为何值，直线与双曲线都有交点，求 k 的取值范围；
（2）若直线 y x m? ? 与双曲线
k
y
x
? 的交点为 ? ?1 1A x y， ， ? ?2 2B x y， ， ? ?1 2 0x x? ≠ 问
1 2
1 2
y y
x x
?
?
的
值是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由。
37．（本小题满分10分）
如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ? ?2 2 3 <0y ax ax a a? ? ? 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A
在点 B 的左侧），经过点 A的直线 :l y kx b? ? 与 y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为
D ，且 4CD AC? 。
（1）直接写出点 A的坐标，并求直线 l 的函数表达式（其中 k 、b 用含 a的式子表示）；
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