人教版高中物理必修3-1讲义资料，复习补习资料：07【基础】电势差与电场强度的关系
文档属性
| 名称 | 人教版高中物理必修3-1讲义资料，复习补习资料：07【基础】电势差与电场强度的关系 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 507.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2019-11-27 22:59:07 | ||
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文档简介
电势差与电场强度的关系
【学习目标】
1、理解匀强电场中电势差跟电场强度的关系U=Ed
2、会用U=Ed或解决有关问题
【要点梳理】
要点一、电势差与电场强度的关系
1．关系式推导
如图所示，在匀强电场力作用下，电荷q从A点移动到B点．
静电力做功WAB与UAB的关系为WAB＝qUAB，因为匀强电场中电场强度处处相等．所以电荷q所受静电力F＝qE是一个恒力，它所做的功为WAB＝Fd＝qEd．
比较功的两个计算结果得：UAB＝Ed
2．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积．
(2)公式：UAB＝Ed．
要点诠释：
(1)此公式只适用于匀强电场．
(2)公式中d必须是沿场强方向的距离．当电场中的两点不在同一条电场线上时，d应为两点在场强方向上的投影的距离，亦为电场中的两点所在的等势面的垂直距离．
(3)对于非匀强电场，用公式可以定性分析某些问题．例如等差等势面E越大，d越小，因此可以断定等差等势面越密的地方电场强度越大．如图所示，在点电荷的电场中有A、B、C三点，，要求比较UAB与UBC的大小时，可以利用即U＝Ed定性说明．AB段平均电场强度比BC段平均电场强度大，故UAB＞UBC．
要点二、 电场强度的另一种表述
1．表述：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点间沿电场强度方向距离的比值．
2．公式：
3．数值：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势．
4．单位：伏特每米(V/m)，且1V/m＝1N/C．
要点诠释： (1)电场强度的方向就是电势降低最快的方向，只有沿场强方向，在单位长度上的电势差最大，也就是说电势降低最快的方向为电场强度的方向．但是，电势降落的方向不一定是电场强度的方向．
(2)电场线与等势面处处垂直，并且电场线由高等势面指向低等势面．
(3)在同一幅图中，等差等势面越密(即相邻等势面间距越小)的地方，场强越大．如图中左、右两端与上、下两部分比较就很明显．
(4)电场强度与电势无直接关系．因为电场中某点电势的值是相对选取的零电势点而言的，选取的零电势点不同，电势的值也不同，而场强不变，零电势可以人为选取，而场强是否为零则由电场本身决定．初学者容易犯的一个错误是把电势高低与电场强度大小联系起来，误认为电场中某点电势高，场强就大；某点电势低，场强就小．
要点三、 电场强度、电势和电势差的比较
电场强度E
电势
电势差U
区别
定义
放入电场中某一点的电荷受到的电场力跟它的电荷量的比值
电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值
在电场中两点间移动电荷时，电场力所做的功跟电荷量的比值
定义式
方向
规定为正电荷在该点所受电场力的方向
标量，无方向
标量，无方向
大小
数值上等于单位电荷受到的力
数值上等于单位正电荷具有的电势能
数值上等于单位正电荷从一点移到另一点时，电场力所做的功
物理意义
描述电场的力的性质
描述电场的能的性质
描述电场的能的性质
联系
①场强的方向是电势降落最快的方向，但电势降落的方向不一定是场强的方向
②电势与场强大小之间不存在任何关系，电势为零的点，场强不一定为零；电势高的地方，场强不一定大；场强为零的地方，电势不一定为零；场强大的地方，电势不一定高
③场强的大小等于沿场强方向每单位长度上的电势降落，即或U＝Ed(匀强电场)
④电势差等于电场中两点电势间的差，即
要点四、 电场强度的三个公式的区别
区别
公式
物理含义
引入过程
适用范围
是电场强度大小的定义式
，与F、q无关，是反映某点电场的性质
适用于一切电场
是真空中点电荷场强的决定式
由和库仑定律导出
在真空中，场源电荷Q是点电荷
是匀强电场中场强的决定式
由F＝qE和W＝qU导出
匀强电场
说明：在选取物理公式时一定要注意公式的适用条件，应用时还要理解公式中各量的物理意义．
要点五、用“等分法”计算匀强电场中的电势
在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距两点间的电势差相等．如果把某两点间的距离等分为n段，则每段线段两端点的电势差等于原电势差的1/n倍，像这样采用这种等分间距求电势的方法，叫做等分法．
要点诠释：
(1)在已知电场中几点的电势时，如果要求其他某点的电势，一般采用“等分法”在电场中找与待求点的电势相同的等势点．等分法也常用在画电场线的问题中．
(2)在匀强电场中，相互平行的相等的线段两端点电势差相等，用这一点可求解电势．
【典型例题】
类型一、匀强电场中电场强度与电势差的关系
例1、关于匀强电场中场强和电势差的关系，下列说法正确的是 ( )
A．任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积
B．沿电场线方向，任何相同距离上电势降落必定相等
C．电势降低的方向必是场强方向
D．在相同距离的两点上，电势差大的其场强也大
【思路点拨】正确理解匀强电场中场强与电势差的关系，注意场强的方向是电势降低“最快的”方向。
【答案】 B
【解析】本题的关键是理解匀强电场中场强与电势差的关系，公式中，d是沿场强方向上两点的距离，由此很容易判断出A错，D错，B项正确．场强的方向是电势降低“最快的”方向而不是指电势降低的方向，故C项错误．
【总结升华】正确理解公式U＝Ed或中各物理量的物理含义，特别是d的物理意义，是分析场强与电势差关系的关键．
举一反三 【电势差和电场强度的关系 第23页】
【变式】如图，在匀强电场中的M、N两点距离为2 cm，两点间的电势差为5 V,M、N连线与场强方向成60°角，则此电场的电场强度多大？
【答案】500V/m
类型二、用U＝Ed或定性分析非匀强电场中的场强与电势差的关系
例2、 如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，a、b两点的电势分别为，，则a、b连线的中点c的电势应为 ( )
A． B．
C． D．无法判断
【答案】 B
【解析】由图可知，这是一个非匀强电场，且．若此电场为匀强电场，则．而此电场中，即从b到c的过程中每单位距离上的电势降低要比从c到a的过程中每单位距离上的电势降低慢．故．因而正确答案为B．
【总结升华】此题是讨论电势的降低与电场强度的关系，而电场强度的大小是通过电场线的疏密表示的，由此判断bc间的电势降低比ca间的电势降低慢．因为电场中电势为负值，容易错选C项．
举一反三
【变式】如图所示，四种典型电场中分别有a、b、c三点
(1)试在甲乙丙丁四幅图中比较以下物理量(用等式或不等式表示三者关系)
①a、b、c三点场强大小的关系：甲________，乙________，丙________，丁________；
②a、b、c三点电势的关系：甲________，乙________，丙________，丁________。
(2)试在甲乙丙丁四幅图中判断以下过程中移动正电荷，电场做功的情况(填“正功”、“负功”或“不做功”)
①a→c过程中：甲________，乙________，丙________，丁________；
②a→b过程中：甲________，乙________，丙________，丁________。
(3)在以上分析的基础上，判断以下说法中正确的是 ( )
A．在静电场中沿电场线方向的各点的电势一定降低，场强大小一定不相等
B．在静电场中沿电场线方向的各点的电势一定降低，场强大小不一定相等
C．在静电场中同一等势面上各点电势一定相等，场强大小不一定相等
D．在静电场中，点电荷q沿任意路径从a点移至b点，只要a、b在同一等势面上，电场力做功就一定为零
【答案】（1）①，，，
②，，，
（2）①不做功，负功，正功，负功
②正功，不做功，正功，先负功后正功（总功为零）
(3)BCD
类型三、和U＝Ed的综合应用
例3、匀强电场中有A、B、C三点构成等边三角形，边长均为4cm，将一带电荷量的正电荷(不计重力)，从A点移到C点，电场力做功为，若把同一电荷从A点移到B点，电场力做功也为，那么该电场的场强是多大?
【思路点拨】利用题目所给对称性做出示意图，并关注电势差的标量性和电场强度的矢量性。
【答案】5×102 V/m
【解析】如图所示，把正电荷从电场中的A点分别移到C点或B点，电场力做的功相同，根据W＝qU可知，B、C两点电势相同，在同一等势面上，由于电场中的等势面与电场线垂直，可见A点与BC等势面在场强方向的距离
．
A、B两点的电势差．
该电场的电场强度．
【总结升华】 (1)是标量式，计算时各量的正、负号要代入式中．
(2)在中，E是矢量，U是标量，U可能是正值也可能是负值，计算场强时，电势差U取绝对值，不带符号．
(3)本题亦可用W＝qEd直接来求解．
举一反三 【电势差和电场强度的关系 第17页】
【变式】在某一点电荷Q产生的电场中有a、b两点，相距为d．a点的场强大小为Ea，方向与ab连线成1200角，b点的场强大小为Eb，方向与ab连线夹角成1500角，如图所示，则关于a、b两点场强大小及电势高低关系说法正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
类型四、用“等分法”求解匀强电场中的电势
【电势差和电场强度的关系】
例4、如图甲所示，ABCD是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别是V，3V，-3V，由此可以推断D点电势是多少伏?
【答案】9V
【解析】解法一：因为等势面跟电场线垂直，匀强电场的等势面和电场线都是等间距的平行的直线，所以可以先选取一条直线，在直线上找出与A、B、C、D四点对应电势相等的点，由此确定与D点等势的点，从而确定D点的电势．
根据A、B、C三点电势的特点，连接AC并在AC连线上取三分点M、N两点，使AM＝MN＝NC，如图乙所示，尽管AC不一定是场强方向，但可以肯定AM、MN、NC在场强方向上的投影长度相等．由U＝Ed可知，．
由此可知，，，B、N两点在同一等势线上，根据几何知识不难证明MD平行于BN，即MD也为等势线，所以．
解法二：在匀强电场中，任何一条直线上两点间(等势面除外)的电势差一定与这两点间的距离成正比．
如图丙所示，连接AC、BD交于O点则有，．
，
．
．
所以．
解法三：由匀强电场的特点知，在匀强电场中，相互平行的相等的线段的两端点电势差相等．故有，所以．
【总结升华】 本题是一道全国高考题，不失为灵活考查匀强电场中的场强与电势差关系的一道好题，据匀强电场的特点，用等分法又不失为快速而准确求解本题的好方法．
类型五、电场线与等势面的综合问题
例5、(2019 唐山模拟)如图所示，匀强电场中的A、B、C三点构成一边长为a的等边三角形。电场强度的方向与纸面平行。电子以某一初速度仅在静电力作用下从B移动到A的过程中动能减少E0，质子仅在静电力作用下从C移动到A的过程中动能增加E0，已知电子和质子电荷量的绝对值均为e，则匀强电场的电场强度为( )
【思路点拨】理清电场线、等势面、电场力做功、电势差、等概念，搞清楚电场线与等势面的关系、场强与电势差的关系、电场力做功与电势差的关系等．
【答案】C
【解析】对电子从B到A的过程，由动能定理可知，－eUBA＝－E0；对质子从C到A的过程，有eUCA＝E0，可见UBA＝UCA，故B、C两点电势相等，在同一等势面上，AB沿电场线方向上的距离，由场强与电势差的关系解得，选项C正确。
【总结升华】本题涉及较多的知识点，如电场线、等势面、电场力做功、电势差、场强与电势差的关系等等．解题时要把握其特点，如等势面的特点：在等势面上移动电荷不做功，匀强电场的等势面是一簇平面，电场线与等势面垂直等；搞清楚关系，如电场线与等势面的关系、场强与电势差的关系、电场力做功与电势差的关系等．这些知识及其内在联系的学习和理解，是解决复杂问题的基础．
举一反三
【变式】如图所示，虚线方框内为一匀强电场区域，电场线与纸面平行，A、B、C为电场中的三个点，三点电势分别为12V，6V，V．试在方框内作出该电场的示意图(即画出几条电场线)，保留作图时所用的辅助线．若将一个电子从A点移到B点，电场力做多少电子伏的功?
【答案】示意图见解析，电场力做的功为-6eV
【解析】本题主要考查利用等分法和电场线与等势面的关系画电场线．由于是匀强电场，根据U＝Ed可知沿AC方向上等距离的点之间，电势差相等．作图方法：
(1)分段将A、C连接，并将其三等分，可知靠近A点的等分点D点与B点等电势，即．
(2)用虚线连接BD，BD即为该电场中的等势面(如图所示)．
(3)沿AC方向电势降低，故电场线方向应垂直BD斜向下．
根据公式，所以．
【总结升华】场强的方向是电势降落最快的方向，在匀强电场中，利用任何一条直线上(等势面除外)两点间的电势差与这两点间距离成正比，而把电势差几等分并找出等势面．利用电场线与等势面垂直，从而确定画出电场的方向．
类型六、U＝Ed在力、电综合问题中的应用
例6、如图甲所示的电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各面电势已在图中标出，现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动。问：
(1)小球应带何种电荷?电荷量是多少?
(2)在入射方向上小球最大位移量是多少?(电场足够大)
【答案】 (1)正电 (2)
【解析】 (1)作电场线如图乙(a)所示．由题意知，只有小球受到向左的电场力，电场力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上，如图乙(b)所示，只有当与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速度运动．由图乙(b)知qE＝mg，相邻等势面间的电势差用U表示，所以，所以．
(2)由图乙(b)知，
（因为qE＝mg）．
由动能定理，
所以
【总结升华】判定小球做直线运动的受力条件，并搞清小球的运动状态是求解本题的关键，而最大位移对应着该匀减速运动的末速度为零是隐含条件．
【巩固练习】
一、选择题：
1．下列对关系式的理解，正确的是( )
A．式中的d是a、b两点的距离
B．a、b两点间距离越大，电势差越大
C．d是a、b两个等势面的距离
D．此式适用于任何电场
2．下列关于匀强电场中场强和电势差的关系，正确的说法是( )
A．在相同距离上的两点，电势差大的其场强也必定大
B．场强在数值上等于每单位距离上的电势降落
C．沿着电场方向，任何相同距离上的电势降落必定相等
D．电势降低的方向必定是电场强度的方向
3．如图所示，匀强电场场强E＝100 V/m，A、B点相距10cm，A、B连线与电场线夹角为60°，则之值为 ( )
A．-10V B．10V C．-5V D．-53 V
4．如图所示，a、b是电场线上的两点，将一点电荷q从a移到b，电场力做功W，且知a、b间的距离为d，则以下说法正确的是 ( )
A．a、b两点间的电势差为
B．a处的电场强度为
C．b处的电场强度为
D．a点的电势为
5．某静电场沿x方向的电势分布如图所示，则 ( )
A．在0～x1之间不存在沿x方向的电场
B．在0～x1之间存在着沿x方向的匀强电场
C．在x1～x2之间存在着沿x方向的匀强电场
D．在x1～x2之间存在着沿x方向的非匀强电场
6．(2019·洛阳名校联考)如图所示，在平面直角坐标系中有一底角是60°的等腰梯形，坐标系中有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中O(0,0)点电势为6 V，A(1，)点电势为3 V，B(3，)点电势为0 V，则由此可判定( )
A．C点电势为3 V
B．C点电势为0 V
C．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m
D．该匀强电场的电场强度大小为
7．如图所示，圆O所在的平面内有匀强电场存在，电场方向与圆面平行，一个带正电荷的微粒(不计重力)从图中A点出发，以相同的初动能在圆内沿各个方向运动．图中AB是圆的一条直径，∠BAC＝30°，已知只有当该微粒从图中C点处离开圆面时的动能才能达到最大值，则平面内的电场线方向为( )
A．沿A→B方向 B．沿A→C方向 C．沿O→C方向 D．沿B→C方向
8．如图所示，一质量为m、带电荷量为q的粒子，以初速度v0从a点竖直向上射入水平匀强电场中，粒子通过电场中b点时速度为2v0，方向与电场方向一致．则a、b两点间电势差为( )
A． B． C． D．
二、计算题：
1．如图所示，A、B、C为一等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面．现将电荷量为的正点电荷从A点移到B点，电场力做功为J，将另一电荷量为C的负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功J．
(1)求电场线方向及UAB、UAC、UBC大小．
(2)若AB边长为cm，求电场强度．
2．(2019 南昌调研)如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，坐标系内有A、B两点，其中A点坐标为(6 cm，0)，B点坐标为(0，cm)，坐标原点O处的电势为0，A点的电势为8 V，B点的电势为4 V。现有一带电粒子从坐标原点O处沿电势为0的等势线方向以速度v＝4×105 m/s射入电场，粒子运动时恰好通过B点，不计粒子所受重力，求：
(1)图中C处(3 cm，0)的电势；
(2)匀强电场的场强大小；
(3)带电粒子的比荷。
【答案与解析】 一、选择题：
1．C
解析：公式只适用于匀强电场，其中d为沿场强方向上的距离．
2．C
解析：选项A、B的错误在于对错误d的理解，d应为沿场强方向的距离．选项D的错误在于忽视了电势降低的方向有很多，不同方向的电势降落快慢程度可能不同．
3．C
解析：根据电势差与场强的关系U＝E·d得：U＝E·LABcos60°＝100×0.1×cos60°V＝5V，且沿电场线电势降低，即，所以UBA＝-5V，所以C选项正确．
4．A
解析：由W＝qU知，，且a点的电势比b点的高，所以A项正确．由于不知是否是匀强电场，所以a、b两点的电场强度不能使用进行计算，所以B、C项错．如果取b点的电势为零，a点的电势才是，而题中并没有说明何处为零势点，所以D项错．正确的选项只有A．
5．AC
解析：由电场的基本性质可知，0～x1间为等势面(或等势体)，故A项正确，B项错．由电势呈线性减小可知x1～x2间存在沿x方向的匀强电场，故C项正确，D项错．
6．【答案】BD
【解析】由题意可知C点坐标为(4,0)，在匀强电场中，任意两条平行的线段，两点间电势差与其长度成正比，所以，代入数值得φC＝0 V，A错、B对；作BD∥AO，如图所示，则φD＝3 V，即AD是一等势线，电场强度方向OG⊥AD，由几何关系得OG＝cm，由得，C错，D对。
7．C
解析：微粒从C点离开时具有最大动能说明A，C两点间的电势差是A与圆周上各点间电势差中最大的，即在圆周上各点中C点的电势最低，C点单独在一个等势面上，又因为匀强电场的等势面是与电场线垂直的平面，所以经过C点圆的切线是一个等势线，因此OC是经过C点的电场线．
8．C
解析：粒子在竖直方向上做初速度为v0、加速度为g的匀减速运动，其末速度为零，因此它从a到b的运动时间为：．粒子从a到b在水平方向上做匀加速运动，其水平位移为．设匀强电场场强大小为E，在水平方向上根据牛顿第二定律得：，．ab两点之间的电势差为．或者直接对a、b两点应用动能定理，故
二、计算题：
1．(1)电场线垂直BC斜向下 UAB＝300V UAC＝300 V UBC＝0 (2)104 V/m
解析：本题要求利用匀强电场中电场力做功、电势差与电场强度的关系进行求解，特别是要求根据电势差的情况判断场强的方向．
(1)正点电荷从A点移到B点时，电场力做正功，故A点电势高于B点，可求得．
负点电荷从A点移到C点，电场力做负功，A点电势高于C点，可求得．因此B、C两点电势相等，UBC＝0．由于匀强电场中的等势线是一簇平行直线，因此，BC为一条等势线，故电场线方向垂直于BC，设D为直线BC的中点，则场强方向为由A指向D．
(2)直线AB在场强方向的距离d等于线段AD的长度，故由匀强电场中电势差与场强的关系式可得．
2．【答案】(1)4 V (2) (3)2.4×1011 C/kg
【解析】(1)设C处的电势为φC，因为OC＝CA所以φO－φC＝φC－φA
解得。
(2)B、C两点的连线为等势线，电场强度方向与等势线BC垂直，设∠OBC＝θ，则
因为，所以θ＝60°
又U＝Ed
可得。
(3)带电粒子做类平抛运动，则有
Lcos θ＝vt
解得
所以带电粒子的比荷为2.4×1011 C/kg。
【学习目标】
1、理解匀强电场中电势差跟电场强度的关系U=Ed
2、会用U=Ed或解决有关问题
【要点梳理】
要点一、电势差与电场强度的关系
1．关系式推导
如图所示，在匀强电场力作用下，电荷q从A点移动到B点．
静电力做功WAB与UAB的关系为WAB＝qUAB，因为匀强电场中电场强度处处相等．所以电荷q所受静电力F＝qE是一个恒力，它所做的功为WAB＝Fd＝qEd．
比较功的两个计算结果得：UAB＝Ed
2．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积．
(2)公式：UAB＝Ed．
要点诠释：
(1)此公式只适用于匀强电场．
(2)公式中d必须是沿场强方向的距离．当电场中的两点不在同一条电场线上时，d应为两点在场强方向上的投影的距离，亦为电场中的两点所在的等势面的垂直距离．
(3)对于非匀强电场，用公式可以定性分析某些问题．例如等差等势面E越大，d越小，因此可以断定等差等势面越密的地方电场强度越大．如图所示，在点电荷的电场中有A、B、C三点，，要求比较UAB与UBC的大小时，可以利用即U＝Ed定性说明．AB段平均电场强度比BC段平均电场强度大，故UAB＞UBC．
要点二、 电场强度的另一种表述
1．表述：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点间沿电场强度方向距离的比值．
2．公式：
3．数值：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势．
4．单位：伏特每米(V/m)，且1V/m＝1N/C．
要点诠释： (1)电场强度的方向就是电势降低最快的方向，只有沿场强方向，在单位长度上的电势差最大，也就是说电势降低最快的方向为电场强度的方向．但是，电势降落的方向不一定是电场强度的方向．
(2)电场线与等势面处处垂直，并且电场线由高等势面指向低等势面．
(3)在同一幅图中，等差等势面越密(即相邻等势面间距越小)的地方，场强越大．如图中左、右两端与上、下两部分比较就很明显．
(4)电场强度与电势无直接关系．因为电场中某点电势的值是相对选取的零电势点而言的，选取的零电势点不同，电势的值也不同，而场强不变，零电势可以人为选取，而场强是否为零则由电场本身决定．初学者容易犯的一个错误是把电势高低与电场强度大小联系起来，误认为电场中某点电势高，场强就大；某点电势低，场强就小．
要点三、 电场强度、电势和电势差的比较
电场强度E
电势
电势差U
区别
定义
放入电场中某一点的电荷受到的电场力跟它的电荷量的比值
电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值
在电场中两点间移动电荷时，电场力所做的功跟电荷量的比值
定义式
方向
规定为正电荷在该点所受电场力的方向
标量，无方向
标量，无方向
大小
数值上等于单位电荷受到的力
数值上等于单位正电荷具有的电势能
数值上等于单位正电荷从一点移到另一点时，电场力所做的功
物理意义
描述电场的力的性质
描述电场的能的性质
描述电场的能的性质
联系
①场强的方向是电势降落最快的方向，但电势降落的方向不一定是场强的方向
②电势与场强大小之间不存在任何关系，电势为零的点，场强不一定为零；电势高的地方，场强不一定大；场强为零的地方，电势不一定为零；场强大的地方，电势不一定高
③场强的大小等于沿场强方向每单位长度上的电势降落，即或U＝Ed(匀强电场)
④电势差等于电场中两点电势间的差，即
要点四、 电场强度的三个公式的区别
区别
公式
物理含义
引入过程
适用范围
是电场强度大小的定义式
，与F、q无关，是反映某点电场的性质
适用于一切电场
是真空中点电荷场强的决定式
由和库仑定律导出
在真空中，场源电荷Q是点电荷
是匀强电场中场强的决定式
由F＝qE和W＝qU导出
匀强电场
说明：在选取物理公式时一定要注意公式的适用条件，应用时还要理解公式中各量的物理意义．
要点五、用“等分法”计算匀强电场中的电势
在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距两点间的电势差相等．如果把某两点间的距离等分为n段，则每段线段两端点的电势差等于原电势差的1/n倍，像这样采用这种等分间距求电势的方法，叫做等分法．
要点诠释：
(1)在已知电场中几点的电势时，如果要求其他某点的电势，一般采用“等分法”在电场中找与待求点的电势相同的等势点．等分法也常用在画电场线的问题中．
(2)在匀强电场中，相互平行的相等的线段两端点电势差相等，用这一点可求解电势．
【典型例题】
类型一、匀强电场中电场强度与电势差的关系
例1、关于匀强电场中场强和电势差的关系，下列说法正确的是 ( )
A．任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积
B．沿电场线方向，任何相同距离上电势降落必定相等
C．电势降低的方向必是场强方向
D．在相同距离的两点上，电势差大的其场强也大
【思路点拨】正确理解匀强电场中场强与电势差的关系，注意场强的方向是电势降低“最快的”方向。
【答案】 B
【解析】本题的关键是理解匀强电场中场强与电势差的关系，公式中，d是沿场强方向上两点的距离，由此很容易判断出A错，D错，B项正确．场强的方向是电势降低“最快的”方向而不是指电势降低的方向，故C项错误．
【总结升华】正确理解公式U＝Ed或中各物理量的物理含义，特别是d的物理意义，是分析场强与电势差关系的关键．
举一反三 【电势差和电场强度的关系 第23页】
【变式】如图，在匀强电场中的M、N两点距离为2 cm，两点间的电势差为5 V,M、N连线与场强方向成60°角，则此电场的电场强度多大？
【答案】500V/m
类型二、用U＝Ed或定性分析非匀强电场中的场强与电势差的关系
例2、 如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，a、b两点的电势分别为，，则a、b连线的中点c的电势应为 ( )
A． B．
C． D．无法判断
【答案】 B
【解析】由图可知，这是一个非匀强电场，且．若此电场为匀强电场，则．而此电场中，即从b到c的过程中每单位距离上的电势降低要比从c到a的过程中每单位距离上的电势降低慢．故．因而正确答案为B．
【总结升华】此题是讨论电势的降低与电场强度的关系，而电场强度的大小是通过电场线的疏密表示的，由此判断bc间的电势降低比ca间的电势降低慢．因为电场中电势为负值，容易错选C项．
举一反三
【变式】如图所示，四种典型电场中分别有a、b、c三点
(1)试在甲乙丙丁四幅图中比较以下物理量(用等式或不等式表示三者关系)
①a、b、c三点场强大小的关系：甲________，乙________，丙________，丁________；
②a、b、c三点电势的关系：甲________，乙________，丙________，丁________。
(2)试在甲乙丙丁四幅图中判断以下过程中移动正电荷，电场做功的情况(填“正功”、“负功”或“不做功”)
①a→c过程中：甲________，乙________，丙________，丁________；
②a→b过程中：甲________，乙________，丙________，丁________。
(3)在以上分析的基础上，判断以下说法中正确的是 ( )
A．在静电场中沿电场线方向的各点的电势一定降低，场强大小一定不相等
B．在静电场中沿电场线方向的各点的电势一定降低，场强大小不一定相等
C．在静电场中同一等势面上各点电势一定相等，场强大小不一定相等
D．在静电场中，点电荷q沿任意路径从a点移至b点，只要a、b在同一等势面上，电场力做功就一定为零
【答案】（1）①，，，
②，，，
（2）①不做功，负功，正功，负功
②正功，不做功，正功，先负功后正功（总功为零）
(3)BCD
类型三、和U＝Ed的综合应用
例3、匀强电场中有A、B、C三点构成等边三角形，边长均为4cm，将一带电荷量的正电荷(不计重力)，从A点移到C点，电场力做功为，若把同一电荷从A点移到B点，电场力做功也为，那么该电场的场强是多大?
【思路点拨】利用题目所给对称性做出示意图，并关注电势差的标量性和电场强度的矢量性。
【答案】5×102 V/m
【解析】如图所示，把正电荷从电场中的A点分别移到C点或B点，电场力做的功相同，根据W＝qU可知，B、C两点电势相同，在同一等势面上，由于电场中的等势面与电场线垂直，可见A点与BC等势面在场强方向的距离
．
A、B两点的电势差．
该电场的电场强度．
【总结升华】 (1)是标量式，计算时各量的正、负号要代入式中．
(2)在中，E是矢量，U是标量，U可能是正值也可能是负值，计算场强时，电势差U取绝对值，不带符号．
(3)本题亦可用W＝qEd直接来求解．
举一反三 【电势差和电场强度的关系 第17页】
【变式】在某一点电荷Q产生的电场中有a、b两点，相距为d．a点的场强大小为Ea，方向与ab连线成1200角，b点的场强大小为Eb，方向与ab连线夹角成1500角，如图所示，则关于a、b两点场强大小及电势高低关系说法正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
类型四、用“等分法”求解匀强电场中的电势
【电势差和电场强度的关系】
例4、如图甲所示，ABCD是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别是V，3V，-3V，由此可以推断D点电势是多少伏?
【答案】9V
【解析】解法一：因为等势面跟电场线垂直，匀强电场的等势面和电场线都是等间距的平行的直线，所以可以先选取一条直线，在直线上找出与A、B、C、D四点对应电势相等的点，由此确定与D点等势的点，从而确定D点的电势．
根据A、B、C三点电势的特点，连接AC并在AC连线上取三分点M、N两点，使AM＝MN＝NC，如图乙所示，尽管AC不一定是场强方向，但可以肯定AM、MN、NC在场强方向上的投影长度相等．由U＝Ed可知，．
由此可知，，，B、N两点在同一等势线上，根据几何知识不难证明MD平行于BN，即MD也为等势线，所以．
解法二：在匀强电场中，任何一条直线上两点间(等势面除外)的电势差一定与这两点间的距离成正比．
如图丙所示，连接AC、BD交于O点则有，．
，
．
．
所以．
解法三：由匀强电场的特点知，在匀强电场中，相互平行的相等的线段的两端点电势差相等．故有，所以．
【总结升华】 本题是一道全国高考题，不失为灵活考查匀强电场中的场强与电势差关系的一道好题，据匀强电场的特点，用等分法又不失为快速而准确求解本题的好方法．
类型五、电场线与等势面的综合问题
例5、(2019 唐山模拟)如图所示，匀强电场中的A、B、C三点构成一边长为a的等边三角形。电场强度的方向与纸面平行。电子以某一初速度仅在静电力作用下从B移动到A的过程中动能减少E0，质子仅在静电力作用下从C移动到A的过程中动能增加E0，已知电子和质子电荷量的绝对值均为e，则匀强电场的电场强度为( )
【思路点拨】理清电场线、等势面、电场力做功、电势差、等概念，搞清楚电场线与等势面的关系、场强与电势差的关系、电场力做功与电势差的关系等．
【答案】C
【解析】对电子从B到A的过程，由动能定理可知，－eUBA＝－E0；对质子从C到A的过程，有eUCA＝E0，可见UBA＝UCA，故B、C两点电势相等，在同一等势面上，AB沿电场线方向上的距离，由场强与电势差的关系解得，选项C正确。
【总结升华】本题涉及较多的知识点，如电场线、等势面、电场力做功、电势差、场强与电势差的关系等等．解题时要把握其特点，如等势面的特点：在等势面上移动电荷不做功，匀强电场的等势面是一簇平面，电场线与等势面垂直等；搞清楚关系，如电场线与等势面的关系、场强与电势差的关系、电场力做功与电势差的关系等．这些知识及其内在联系的学习和理解，是解决复杂问题的基础．
举一反三
【变式】如图所示，虚线方框内为一匀强电场区域，电场线与纸面平行，A、B、C为电场中的三个点，三点电势分别为12V，6V，V．试在方框内作出该电场的示意图(即画出几条电场线)，保留作图时所用的辅助线．若将一个电子从A点移到B点，电场力做多少电子伏的功?
【答案】示意图见解析，电场力做的功为-6eV
【解析】本题主要考查利用等分法和电场线与等势面的关系画电场线．由于是匀强电场，根据U＝Ed可知沿AC方向上等距离的点之间，电势差相等．作图方法：
(1)分段将A、C连接，并将其三等分，可知靠近A点的等分点D点与B点等电势，即．
(2)用虚线连接BD，BD即为该电场中的等势面(如图所示)．
(3)沿AC方向电势降低，故电场线方向应垂直BD斜向下．
根据公式，所以．
【总结升华】场强的方向是电势降落最快的方向，在匀强电场中，利用任何一条直线上(等势面除外)两点间的电势差与这两点间距离成正比，而把电势差几等分并找出等势面．利用电场线与等势面垂直，从而确定画出电场的方向．
类型六、U＝Ed在力、电综合问题中的应用
例6、如图甲所示的电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各面电势已在图中标出，现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动。问：
(1)小球应带何种电荷?电荷量是多少?
(2)在入射方向上小球最大位移量是多少?(电场足够大)
【答案】 (1)正电 (2)
【解析】 (1)作电场线如图乙(a)所示．由题意知，只有小球受到向左的电场力，电场力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上，如图乙(b)所示，只有当与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速度运动．由图乙(b)知qE＝mg，相邻等势面间的电势差用U表示，所以，所以．
(2)由图乙(b)知，
（因为qE＝mg）．
由动能定理，
所以
【总结升华】判定小球做直线运动的受力条件，并搞清小球的运动状态是求解本题的关键，而最大位移对应着该匀减速运动的末速度为零是隐含条件．
【巩固练习】
一、选择题：
1．下列对关系式的理解，正确的是( )
A．式中的d是a、b两点的距离
B．a、b两点间距离越大，电势差越大
C．d是a、b两个等势面的距离
D．此式适用于任何电场
2．下列关于匀强电场中场强和电势差的关系，正确的说法是( )
A．在相同距离上的两点，电势差大的其场强也必定大
B．场强在数值上等于每单位距离上的电势降落
C．沿着电场方向，任何相同距离上的电势降落必定相等
D．电势降低的方向必定是电场强度的方向
3．如图所示，匀强电场场强E＝100 V/m，A、B点相距10cm，A、B连线与电场线夹角为60°，则之值为 ( )
A．-10V B．10V C．-5V D．-53 V
4．如图所示，a、b是电场线上的两点，将一点电荷q从a移到b，电场力做功W，且知a、b间的距离为d，则以下说法正确的是 ( )
A．a、b两点间的电势差为
B．a处的电场强度为
C．b处的电场强度为
D．a点的电势为
5．某静电场沿x方向的电势分布如图所示，则 ( )
A．在0～x1之间不存在沿x方向的电场
B．在0～x1之间存在着沿x方向的匀强电场
C．在x1～x2之间存在着沿x方向的匀强电场
D．在x1～x2之间存在着沿x方向的非匀强电场
6．(2019·洛阳名校联考)如图所示，在平面直角坐标系中有一底角是60°的等腰梯形，坐标系中有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中O(0,0)点电势为6 V，A(1，)点电势为3 V，B(3，)点电势为0 V，则由此可判定( )
A．C点电势为3 V
B．C点电势为0 V
C．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m
D．该匀强电场的电场强度大小为
7．如图所示，圆O所在的平面内有匀强电场存在，电场方向与圆面平行，一个带正电荷的微粒(不计重力)从图中A点出发，以相同的初动能在圆内沿各个方向运动．图中AB是圆的一条直径，∠BAC＝30°，已知只有当该微粒从图中C点处离开圆面时的动能才能达到最大值，则平面内的电场线方向为( )
A．沿A→B方向 B．沿A→C方向 C．沿O→C方向 D．沿B→C方向
8．如图所示，一质量为m、带电荷量为q的粒子，以初速度v0从a点竖直向上射入水平匀强电场中，粒子通过电场中b点时速度为2v0，方向与电场方向一致．则a、b两点间电势差为( )
A． B． C． D．
二、计算题：
1．如图所示，A、B、C为一等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面．现将电荷量为的正点电荷从A点移到B点，电场力做功为J，将另一电荷量为C的负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功J．
(1)求电场线方向及UAB、UAC、UBC大小．
(2)若AB边长为cm，求电场强度．
2．(2019 南昌调研)如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，坐标系内有A、B两点，其中A点坐标为(6 cm，0)，B点坐标为(0，cm)，坐标原点O处的电势为0，A点的电势为8 V，B点的电势为4 V。现有一带电粒子从坐标原点O处沿电势为0的等势线方向以速度v＝4×105 m/s射入电场，粒子运动时恰好通过B点，不计粒子所受重力，求：
(1)图中C处(3 cm，0)的电势；
(2)匀强电场的场强大小；
(3)带电粒子的比荷。
【答案与解析】 一、选择题：
1．C
解析：公式只适用于匀强电场，其中d为沿场强方向上的距离．
2．C
解析：选项A、B的错误在于对错误d的理解，d应为沿场强方向的距离．选项D的错误在于忽视了电势降低的方向有很多，不同方向的电势降落快慢程度可能不同．
3．C
解析：根据电势差与场强的关系U＝E·d得：U＝E·LABcos60°＝100×0.1×cos60°V＝5V，且沿电场线电势降低，即，所以UBA＝-5V，所以C选项正确．
4．A
解析：由W＝qU知，，且a点的电势比b点的高，所以A项正确．由于不知是否是匀强电场，所以a、b两点的电场强度不能使用进行计算，所以B、C项错．如果取b点的电势为零，a点的电势才是，而题中并没有说明何处为零势点，所以D项错．正确的选项只有A．
5．AC
解析：由电场的基本性质可知，0～x1间为等势面(或等势体)，故A项正确，B项错．由电势呈线性减小可知x1～x2间存在沿x方向的匀强电场，故C项正确，D项错．
6．【答案】BD
【解析】由题意可知C点坐标为(4,0)，在匀强电场中，任意两条平行的线段，两点间电势差与其长度成正比，所以，代入数值得φC＝0 V，A错、B对；作BD∥AO，如图所示，则φD＝3 V，即AD是一等势线，电场强度方向OG⊥AD，由几何关系得OG＝cm，由得，C错，D对。
7．C
解析：微粒从C点离开时具有最大动能说明A，C两点间的电势差是A与圆周上各点间电势差中最大的，即在圆周上各点中C点的电势最低，C点单独在一个等势面上，又因为匀强电场的等势面是与电场线垂直的平面，所以经过C点圆的切线是一个等势线，因此OC是经过C点的电场线．
8．C
解析：粒子在竖直方向上做初速度为v0、加速度为g的匀减速运动，其末速度为零，因此它从a到b的运动时间为：．粒子从a到b在水平方向上做匀加速运动，其水平位移为．设匀强电场场强大小为E，在水平方向上根据牛顿第二定律得：，．ab两点之间的电势差为．或者直接对a、b两点应用动能定理，故
二、计算题：
1．(1)电场线垂直BC斜向下 UAB＝300V UAC＝300 V UBC＝0 (2)104 V/m
解析：本题要求利用匀强电场中电场力做功、电势差与电场强度的关系进行求解，特别是要求根据电势差的情况判断场强的方向．
(1)正点电荷从A点移到B点时，电场力做正功，故A点电势高于B点，可求得．
负点电荷从A点移到C点，电场力做负功，A点电势高于C点，可求得．因此B、C两点电势相等，UBC＝0．由于匀强电场中的等势线是一簇平行直线，因此，BC为一条等势线，故电场线方向垂直于BC，设D为直线BC的中点，则场强方向为由A指向D．
(2)直线AB在场强方向的距离d等于线段AD的长度，故由匀强电场中电势差与场强的关系式可得．
2．【答案】(1)4 V (2) (3)2.4×1011 C/kg
【解析】(1)设C处的电势为φC，因为OC＝CA所以φO－φC＝φC－φA
解得。
(2)B、C两点的连线为等势线，电场强度方向与等势线BC垂直，设∠OBC＝θ，则
因为，所以θ＝60°
又U＝Ed
可得。
(3)带电粒子做类平抛运动，则有
Lcos θ＝vt
解得
所以带电粒子的比荷为2.4×1011 C/kg。