人教版高中物理必修3-1讲义资料，复习补习资料：09【基础】带电粒子在电场中的综合计算

带电物体在电场中的综合计算
【学习目标】
1、进一步强化对静电场的认识，理解静电场力的性质和能的性质；
2、能够熟练地解决带电粒子在恒定的电场以及一些变化的电场中的加速和偏转问题；
3、能够熟练地解决带电物体在静电场和重力场所构成的复合场中的运动问题。
【要点梳理】
知识点一：带电粒子在电场中的加速运动
要点诠释：
（1）带电粒子在任何静电场中的加速问题，都可以运用动能定理解决，即带电粒子在电场中通过电势差为UAB 的两点时动能的变化是，则
（2）带电粒子在静电场和重力场的复合场中的加速，同样可以运用动能定理解决，即（W为重力和电场力以外的其它力的功）
（3）带电粒子在恒定场中运动的计算方法
带电粒子在恒力场中受到恒力的作用，除了可以用动能定理解决外还可以由牛顿第二定律以及匀变速直线运动的公式进行计算。
知识点二：带电粒子在偏转电场中的运动问题
（定量计算通常是在匀强电场中，并且大多数情况是初速度方向与电场线方向垂直）
要点诠释：
（1）运动性质：受到恒力的作用，初速度与电场力垂直，做类平抛运动。
（2）常用的关系：
（U为偏转电压，d为两平行金属板间的距离或沿着电场线方向运动的距离，L为偏转电场的宽度（或者是平行板的长度），v0为经加速电场后粒子进入偏转电场时的初速度。）
带电粒子离开电场时：
沿电场线方向的速度是；
垂直电场线方向的速度
合速度大小是： 方向是：
离开电场时沿电场线方向发生的位移
知识点三：带电微粒或者带电物体在静电场和重力场的复合场中运动时的能量守恒
要点诠释：
（1）带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总能量守恒，即
（2）带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重力势能以及动能之和发生变化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来解决。
【典型例题】
类型一：带电粒子在匀强电场中的加速
例1、如图所示,平行板电容器两极板间有场强为E的匀强电场,且带正电的极板接地.一质量为m?电荷量为+q的带电粒子(不计算重力)从x轴上坐标为x0处静止释放.
(1)求该粒子在x0处的电势能Epx0;
(2)试从牛顿第二定律出发,证明该带电粒子在极板间运动过程中,其动能与电势能之和保持不变.
【解析】:(1)带电粒子从O点移到x0点电场力所做的功为:①
电场力所做的功等于电势能增加量的负值,故有:②
联立①②得:③
(2)方法一:在带电粒子的运动方向上任取一点,设坐标为x,由牛顿第二定律可得④ 粒子在任意点的电势能为,所以粒子在任意一点的动能与电势能的和为 Epx0为一常数,故粒子在运动过程中动能与电势能之和保持不变
【点评】讨论带电粒子在电场中的直线运动问题(加速或减速)经常用到的方法是:
(1)能量方法——能量守恒定律,注意题目中有哪些形式的能量出现.
(2)功能关系——动能定理,注意过程分析要全面,准确求出过程中的所有功,判断选用分阶段还是全程使用动能定理.
(3)动力学方法——牛顿运动定律和匀变速直线运动公式的结合,注意受力分析要全面,特别是重力是否需要考查的问题;其次是注意运动学公式的矢量性.
举一反三
【变式】（2019 巴蜀中学期末考）如图所示，从F处释放一个无初速度的电子向B板方向运动，指出下列对电子运动的描述中哪项是错误的 (　　)
A．电子到达B板时的动能是Ee
B．电子从B板到达C板动能变化量为零
C．电子到达D板时动能是3Ee
D．电子在A板和D板之间做往复运动
【答案】C
类型二：带电粒子在匀强电场中的偏转
例2、 （2019 湛江一模）如图所示，平行板电容器充电后形成一个匀强电场，大小保持不变。让不计重力的相同带电粒子a、b以不同初速度，先、后两次垂直电场射入，a、b分别落到负极板的中央和边缘，则（ ）
A.b粒子加速度较大
B. b粒子的电势能变化量较大
C. 若仅使a粒子初动能增大到原来的2倍，则恰能打在负极板的边缘
D. 若仅使a粒子初速度增大到原来的2倍，则恰能打在负极板的边缘
【答案】ABC
【解析】加速度，a、b两个粒子相同，电场强度E相同，则加速度相同，故A错误；电场力做功，可见，电场力做功相同，由能量守恒可知，两次的电势能增量相同，故B错误；若粒子a的初动能增大到原来的2倍，由动能的定义式知a粒子的初速度增大到原来的倍，粒子在电场中做类平抛运动，a粒子到达下极板的时间不变，水平位移变为原来的倍，a粒子没有打到负极板的边缘，故C错误；若仅使a粒子初速度增大到原来的2倍，粒子到达下极板的时间不变，水平位移变为原来的2倍，则恰能打在负极板的边缘，故D正确。
【点评】本题是类平抛运动的类型，运用牛顿第二定律、运动学公式和动能定理结合分析，即可求解。
举一反三
【带电物体在电场中的综合计算】
【变式】如图，有三个质量相等分别带正电、负电和不带电小球，从平行板电场中P 点以相同初速垂直于E 进入电场，它们分别落到A 、B 、C点，则：
A．落到A 点的小球带正电，落到B 点的小球不带电；
B．三小球在电场中运动时间相等；C．三小球到达正极板时的动能关系是：
D．三小球在电场中运动的加速度关系是：
【答案】A
类型三：带电物体在匀强电场与重力场的复合场中的运动情况分析
例3、 质量为m的带电小球用绝缘丝线悬挂于O点，并处于水平向左的大小为E的匀强电场中，小球静止时丝线与铅垂线间的夹角为，如图所示，求：
（1）小球带何种电荷？电荷量是多少？
（2）若将丝线烧断，则小球将做什么运动？（设电场区域足够大）

【答案】（1）负， （2）初速度为零的匀加速直线运动
【解析】（1）小球受到的电场力一定是水平向右，与场强的方向相反，所以小球带负电。
小球受力如图所示：
由共点力平衡条件得，
所以带电小球所带的电荷量
（2）小球受到重力和电场力的合力F合与小球静止时线的拉力大小相等方向相反，是一个恒力。当烧断丝线时，小球在恒力作用下由静止开始运动，做初速度为零的匀加速直线运动。
【点评】带电物体在匀强电场和重力场的复合场中运动时，将两个恒力归并成为一个恒力，对分析运动情况特别方便，要注意运用这个方法。
举一反三
【带电物体在电场中的综合计算】例7
【变式1】真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场中，若将一个质量为m、带正电的小球由静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为370(取sin37 0=0.6，cos37 0=0.8)。现将该小球从电场中某点以初速度v0竖直向上抛出。求运动过程中：
小球受到的电场力的大小及方向；
小球从抛出点至最高点的电势能变化量
【答案】（1） 水平向右 （2）
类型四：在重力场和静电场中的能量转化和守恒
例4、如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，且相邻两等势面的电势差相等，一个正电荷在等势面U3上时具有动能，它运动到等势面U1时，速度为零，令U2=0，那么该点电荷的电势能为J时，其动能大小是多少？（设整个运动过程中只有电场力做功）
【答案】
【解析】电荷在U3等势面时具有动能J ，而在U1等势面时v=0，所以动能为零，由动能定理得
即
设电荷在电场中P点时具有的电势能为J，在电荷由等势面U3运动到P点的过程中应用能量守恒定律得所以电荷在P点的动能为：

【点评】在静电场中运动的电荷它的机械能和电势能之和保持不变，即能量守恒，由此出发分析问题时比较方便。
举一反三
【变式】如图所示，一个绝缘光滑半圆轨道放在竖直向下的匀强电场中，场强为E，在其上端，一个质量为m，带电量为的小球由静止下滑，则（ ）
A. 小球运动过程中机械能守恒
B. 小球经过最低点时速度最大
C. 小球在最低点对球的压力为
D. 小球在最低点对球的压力为
【答案】BD
类型五：带电小球在电场和重力场中的圆周运动
例5、（2019 宁德市期末考）如图所示，水平向右的匀强电场中，用一根长为l的细线吊着一质量为m，电荷量为－q的小球。现将小球拉到与竖直方向成30°角后静止释放，已知电场强度E=，重力加速度为g，求：
(1) 小球经过最低点时速度的大小；
(2) 小球经过最低点时对细线拉力的大小；
(3) 小球向左运动到最高点时细线与竖直方向的夹角θ为多大？
【答案】v= T′= θ=90°
【解析】(1) 小球开始摆动做圆周运动，重力、电场力对小球做正功．由动能定理有：
mgl(1－cos30°)+qElsin30° =mv2
解得：v=
(2) 由圆周运动知识，在最低点时，根据牛顿第二定律有：
T－mg＝m　
T＝
由牛顿第三定律，小球经对细线拉力T′=
(3) 小球向左运动到最高点时，由动能定理有：
qEl(sin30°+sinθ)－mgl(cos30°－cosθ)=0
解得：θ=90°
【点评】分清物体受力情况及运动状态，然后运用动能定理求速度，根据牛顿定律就拉力是此类问题常用的思路。
类型六：运用力的独立作用原理解决带电物体在复合场中的运动问题
例6、如图所示，一个带正电的微粒，电荷量为q，质量为m，以竖直向上的初速度在平行板电容器两板正中间的A点进入场强为E的匀强电场中，正好垂直打到B点，且AC＝BC，则（ ）
A. 粒子在B点的速度等于 B. 粒子在B点的速度等于
C. 两极板间的电势差 ` D. 两极板间的电势差
【答案】ACD
【解析】带电微粒在竖直方向和水平方向上皆做匀变速直线运动，设微粒达到B点经历的时间是t，AC＝BC=h，则:在水平方向上；在竖直方向上：，比较可见：；又在水平方向上，在竖直方向上：，比较得到水平方向上电场力产生的加速度，即，选项AC正确；
又将h代入得到，所以选项D正确。
【点评】根据物体的受力情况，将其所做的运动分解为两个或几个熟悉的、简单的运动求解，是解决问题的技术和技巧。
类型七：静电场场力做功与路径无关
例7、 一个质量为m、带电量为－q的物体，可以在水平轨道Ox上运动，轨道O端有一与轨道垂直的固定墙。轨道处于匀强电场中，电场强度大小为E，方向沿Ox轴正方向。当物体m以初速度从点沿x轴正方向运动时，受到轨道大小不变的摩擦力的作用，且，设物体与墙面碰撞时机械能无损失，且电量不变，求：
(1)小物体m从位置运动至与墙面碰撞时电场力做了多少功？
(2)物体m停止运动前，它所通过的总路程为多少？
【答案】
【解析】小物体受到的电场力，大小不变，方向指向墙壁；摩擦力的方向总是与小物体运动的方向相反。不管开始时小物体是沿x轴的正方向还是负方向运动，因为，经多次碰撞后，如果小球处在Ox轴的某点，总会向O点加速运动的，所以小物体最终会静止在O点。在这一过程中，摩擦力所做负功使物体的机械能和电势能变为零。据此可求得总路程s。
(1)滑块从到O点电场力做功为
(2)滑块运动过程中摩擦力总与其运动方向相反，对m做负功，而电场力在滑块停在O点时做功仅为。设滑块通过的总路程为x，则根据动能定理得：

【点评】（1）本题是电势能与机械功能结合的综合题，属难题，疑难点有二：其一，小物体最后停在何处；其二，小物体碰多少次无法确定。用动力学、运动学求解好像无从下手。
（2）要认识物体的运动过程必须进行受力分析：如小物体运动时所受合力为，而方向总是指向O点来确定，不论碰墙次数多少，最后总是停于O点。
（3）用动能定理来列方程求路程s特别方便，其关键是理解并能灵活运用静电场力功和滑动摩擦力功的特点。
【巩固练习】
一、选择题：
1、（2019 河南模拟）电子只在电场力作用下从a点运动到b点的轨迹如图中虚线所示，图中一组平行且距离相等的实线可能是电场线，也可能是等势面，以下判断正确的是（ ）
A．无论图中的实线是电场线还是等势面，a点的电势都比b点低
B．无论图中的实线是电场线还是等势面，a点的电场强度都比b点小
C．如果图中的实线是等势面，电子在a点的动能较在b点小
D．如果图中的实线是电场线，电子在a点的动能较在b点小
2、如图所示，实线为电场线，虚线为等势面.一个正电荷在等势面L3时，动能为J；运动到L1时，动能为J.若以L2为零势面，且不计空气阻力和重力，则当电荷的电势能J时，其动能为( )
A、J B、J C、J D、J
3、如图所示，带正电的点电荷固定于Q点，电子在库仑力的作用下，做以Q为焦点的椭圆运动.M、P、N为椭圆上的三个点，P点是椭圆上距离Q点最近的点.电子在从M经P到达N点的过程中( )
A、速率先增大后减小
B、速率先减小后增大
C、电势能先减小后增大
D、电势能先增大后减小
4、一带电粒子射入一固定在O点的点电荷的电场中，粒子运动轨迹如图中虚线abc所示，图中实线是同心圆弧，表示电场的等势面.不计重力.可以判断( )
A、此粒子一直受到静电排斥力作用
B、粒子在b点的电势能一定大于在a点的电势能
C、粒子在b点的速度一定大于在a点的速度
D、粒子在a点和c点的速度大小一定相等
5、（2019 资阳市期末考）有一静电场，其电势随x坐标的改变而改变，变化的图线如图所示。若将一带负电的粒子（重力不计）从坐标原点O由静止释放，粒子沿x轴运动，电场中P、Q两点的坐标分别为1 mm、4mm。下列说法正确的是
A．粒子经过P点和Q点时，加速度大小相等、方向相反
B．粒子经过P点与Q点时，电场力做功的功率相等
C．粒子经过P点与Q点时，动能相等
D．粒子在P点的电势能为正值
二、解答题：
1、（2019 宁德市期末考）如图所示的匀强电场中，有a、b、c三点，ab距离为d1=5cm，bc距离为d2=12cm，其中ab沿电场方向，bc与电场方向成60°角。一个电荷量为q=4×10－8 C的正电荷从a点移到b点，电场力做功为Wab=1.6×10－7 J，求：
(1) a、b两点的电势差Uab；
(2) 匀强电场的场强E；
(3) 电荷从b点移到c点，电场力做功Wbc。
2、 如图所示，一个电子以的速度沿与等势面平行的方向从M点进入一个有界的匀强电场，从N点射出电场时与电场强度方向成150°角，试求M、N两点间的电势差.(电子质量为)
3、两块平行金属A、B彼此平行放置，板间距离为d，两板分别带有等量异种电荷，且A板带正电，B板带负电，两板正中间有一带负电的油滴P，当两板水平放置时，油滴恰好平衡，若把两板倾斜，如图所示，把油滴从P点静止释放，油滴可以打在金属板上，问：
（1）两板倾斜后，油滴将怎样运动？打在哪个金属板上？
（2）油滴打在金属板上时的速率是多少？

4、（2019 唐山校级期末）如图所示，在E = 103V/m的水平向左匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直放置，轨道与一水平绝缘轨道MN连接，半圆轨道所在竖直平面与电场线平行，其半径R = 40cm，一带正电荷q = 10－4C的小滑块质量为m = 40g，与水平轨道间的动摩擦因数( = 0.2，取g = 10m/s2，求：
（1）要小滑块能运动到圆轨道的最高点L，滑块应在水平轨道上离N点多远处释放？
（2）这样释放的滑块通过P点时对轨道压力是多大？（P为半圆轨道中点）
5、如图所示的装置中，平行板电场中有一质量为m，带电量为q的小球，用长L的细线拴住后在电场中处于平衡位置，此时线与竖直方向的夹角为，两板间的距离为d，求：
（1）小球带何种电荷？
（2）两板间的电势差是多少？
（3）把线拉成竖直向下的位置，放平后小球到达平衡位置时的速度为多大？
6、在方向水平的匀强电场中，一不可伸长的不导电线细的一端系着一个质量为m的带电小球，另一端固定于O点，把小球拉起直至细线与场强平行，然后无初速释放.已知小球能摆到最低点的另一侧，线与竖直方向的最大夹角为 （如图所示），求小球经过最低点时细线对小球的拉力.
7、在电场强度为E的匀强电场中，有一条与电场线平行的直线，如图X11－8中虚线所示．直线上有两个静止的小球A和B(均可视为质点)，两小球的质量均为m，A球带电量为＋q，B球不带电．开始时两球相距L，在电场力的作用下，A球开始沿直线运动，并与B球发生正对碰撞，碰撞中A、B两球的总动能无损失．设每次碰撞后A、B两球速度互换，碰撞时，A、B两球间无电荷转移，且不考虑重力及两球间的万有引力，不计碰撞时间，问： 　　(1)A球经过多长时间与B球发生第一次碰撞？ 　　(2)再经过多长时间A球与B球发生第二次碰撞？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　
【答案与解析】
一、选择题：
1、【答案】D
【解析】如果图中的实线是电场线，电子所受的电场力水平向右，电场方向水平向左，则a点的电势比b点低，从a点运动到b点电场力做正功，动能增大，电子在a点的动能较在b点小，故D正确；电场线的疏密程度可以表示电场强度的大小，故两点的电场强度相同，故B错误；如果图中的实线是等势面，由于电场线与等势面垂直，电子所受电场力方向向下，电场方向向上，则a点的电势都比b点高，从a点运动到b点电场力做负功，动能减小，电子在a点的动能较在b点大，故A、C错误。
2、D
解析：设两相邻等势面的电势差为，电荷的电量为q.根据仅在电场力作用下，电荷的电势能与动能之和保持不变，有，
从而可得.所以正确选项为D.
3、AC
解析：电子从M到P点的过程受到静电引力的作用，电场力做正功，电势能减少动能增加，从P到N点的过程引力做负功，电势能增加动能减少.所以电势能先减少后增加，选项C正确；电子的动能先增大而后减小，即速率先增加后减小，选项A正确.
4、ABD
解析：（1）粒子运动的轨迹说明，粒子进入电场后，由a至b速度减小，由b至c反向速度增加，说明带电粒子受到电荷电场斥力作用，A选项是正确的.
（2）粒子由a至b受斥力作用，一定是克服电场力做功，或说电场力做负功.根据电场力做功特点，粒子的动能转化为势能，一定大于.所以B选项也是正确的.
（3）根据上面所分析的粒子由a至b动能转化为势能的结论，一定小于，C选项是错误的.
（4）根据能量守恒定律，a和c同处一等势面， ，所以 .D选项也是正确的.
5、AC
解析：沿着电场线方向电势降低，由图知：0-2mm内，电场线沿x轴负方向，粒子所受电场力方向沿x轴正方向；0-6mm内电场线沿x轴正方向，粒子所受电场力方向沿x轴负方向做减速运动，加速度沿x轴负方向；图像斜率大小等于场强E，则可知P点场强大于Q点场强，粒子在P点的加速度大于在Q点的加速度，加速度方向相反，故A错误，粒子经过P点与Q点时，电势相等，则其电势能相等。由能量守恒知动能相等，故C正确。粒子经过P点与Q点时，速率相等，但电场力不同，根据功率公式P=Fv知，电场力做功功率不等，故B错。在P点，由电势能公式，因，故，D错。
二、解答题：
1、
解析：（1）设a、b两点的电势差为Uab，有：
Wab =qUab

（2）
（3）
Wbc=qUbc
解得：Wbc =1.92×10-7J 2、 ＝－136.5V
解析：对电子运动过程运用动能定理有，将电子在N的速度v分解为垂直于电场方向和平行于电场方向的两个分量，可得，代入数据解得，M、N两点间的电势差的大小为136.5V，由于可知＝－136.5V.
3、 （1）匀加速直线运动 （2）
解析，（1）两板水平时，油滴恰好平衡，；倾斜600后，带电油滴受力如图所示，
油滴受到恒定的合力F,其大小等于mg，从静止做匀加速直线运动，加速度大小为g,方向与A板成300角.
（2）由图可见，油滴到达A板的距离是，由得到油滴达到金属板上的速度是
4、【答案】（1）20m （2）1.5N
【解析】（1）滑块刚能通过轨道最高点条件是
由能量守恒定律得
解之得
（2）滑块过P点时，由能量守恒定律得
由牛顿第二定律得

5、（1）负电 （2） （3）
解析：（1）由小球的受力可知，小球带负电.
（2）
则.
（3）小球从竖直向下的位置到达平衡位置的过程中，根据动能定理有：
将代入解得：
6、
解析：设带电小球带有正电荷电量为q，如果小球能沿圆孤运动到B点而速度再度变为零，则电场方向应向右，设场强为E，则在A、B两点间应用动能定理得：
设细线长为则有：
（1）
再在A、C两点间应用动能定理得：
（2）
在C点对带电小球进行受力分析，并由牛顿第二定律得：

把（1）（2）两式代入得：
7、　（1） （2）
解析：（1）由牛顿第二定律：Eq=ma
所以，
（2）设再经t2时间A、B第二次相碰，则xA=xB
而
所以