第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
学习目标：1.理解二次根式的概念；
掌握二次根式有意义的条件；
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.
重点：理解二次根式的概念及有意义的条件.
难点：利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.
一、知识链接
1.什么叫作平方根？
2.什么叫作算术平方根？什么数有算术平方根？
二、新知预习
1. 用带根号的式子填空:
(1)如图①的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为 m；若面积为S m2，则边长为______ m．
如图②的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．
一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____．
2.自主归纳：
（1）二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式. “____”称为二次根号.
（2）二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为________数,二次根式的值为_________数.
三、自学自测
1.下列各式中是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.二次根式有意义的条件是_____________.
四、我的疑惑
____________________________________________________________
要点探究
探究点1：二次根式的意义及有意义的条件
问题1 分别表示什么意义？
问题2 这些式子有什么共同特征？
要点归纳：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式. “”称为_______.
典例精析
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
方法总结:判断二次根式是，抓住二次根式两个必备特征：①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数a≥0.
例2 (教材P2例1变式题)当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
方法总结:要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
方法总结:被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
针对训练
下列各式:一定是二次根式的个数有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________;
(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.
探究点2：二次根式的双重非负性
问题1：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？
问题2：二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a____0；
（2）表示一个数或式的算术平方根，可知_____0.
典例精析
例3 若，求a-b+c的值.
方法总结:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
例4 已知y=,求3x+2y的算术平方根.
【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．
方法总结:若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
针对训练
已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．
二、课堂小结
二次根式的概念
一般地，我们把形如的式子叫作___________. “”称为二次根号，根指数为_____,可省略.
二次根式有意义的条件
被开方数（式）为_________,即有意义 a≥0.
二次根式的非负性
双重非负性：
下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
式子有意义的条件是 （ ）
x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3.当x=____时，二次根式取最小值，其最小值为______．
4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)若二次根式有意义，求m的取值范围．
无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围．
6.若x，y是实数，且y＜ ,求的值.
拓展提升
7.先阅读，后回答问题：
当x为何值时，有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0，由乘法法则得
解得x≥1 或x≤0.即当x≥1 或x≤0时，有意义.
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
学习目标：1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；
2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
重点：掌握二次根式的两个性质：.
难点：会利用二次根式的性质解题.
一、知识回顾
1.二次根式的概念是什么？我们上节课学了它的哪些性质？
2.使式子有意义的条件是_______________.
要点探究
探究点1：的性质
活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？
活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
a(a≥0) 算术平方根 平方运算
观察两者有什么关系？
要点归纳：一般地，(a____0),即一个非负数的算术平方根的平方等于_________.
典例精析
例1(教材P3例2变式题)计算：
例2 在实数范围内分解因式：
方法总结:本题逆用了在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.
针对训练
计算：
探究点2：的性质
议一议:
下面根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？
1.计算： ; ; ; .
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当 .
2.计算： ; ; ; .
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当 .
3.计算： ;当 .
要点归纳：将上面得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
典例精析
例3 (教材P4例3变式题)化简：
方法总结:利用化简求值时，先应确定a的正负，再化简.
例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:
【变式题】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：.
方法总结:利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.
例5 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：
分析：
针对训练
计算：
2.请同学们快速分辨下列各题的对错：
探究点3：代数式的定义
用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把_______或____________连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
典例精析
例6 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；
（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.
方法总结:列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．
针对训练
1.在下列各式中，不是代数式的是（ ）
A.7 B.3＞2 C. D.
如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为__________.
二、课堂小结
二次根式的性质
内容
性质1
一个非负数的算术平方根的平方等于它_______.即
性质2
一个数的平方的算术平方根等于它的______.即
1.化简得（ ）
A. ±4 B. ±2 C. 4 D.-4
2.当1A.3 B.-3 C.1 D.-1
3.下列式子是代数式的有 ( )
①a2+b2 ; ②; ③13; ④x=2; ⑤3×（4－5）;⑥x－1≤0; ⑦10x+5y=15 ; ⑧
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
4.化简：
（1）＝_______ ; （2）＝_______;
（3）; （4）.
5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是_________.
6.利用a ＝（a≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
(1) 9；(2)5；(3)2.5；(4)0.25；(5)；(6)0 .
能力提升
7.(1)已知a为实数，求代数式的值.
(2)已知a为实数，求代数式的值.
