27.2.2 相似三角形的性质 同步练习（解析版）

初中数学人教版九年级下学期 第二十七章 27.2.2 相似三角形的性质
一、单选题
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为（?? ） www-2-1-cnjy-com
A.?3.6??????????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????????C.?4.8??????????????????????????????????????????D.?5
2.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（?? ） 2-1-c-n-j-y
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
3.若 ，相似比为 ，则 与 的周长的比为（??? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
4.如图?ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使 ，连结EF交DC于点G，则 ＝（??? ） 21世纪教育网版权所有
A.?2：3????????????????????????????????????B.?3：2????????????????????????????????????C.?9：4????????????????????????????????????D.?4：9
5.如图，在 ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是(?? ）． 21*cnjy*com
A.???????????????B.???????????????C.?? ??????????????D.?
二、填空题
6.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连结AC、BC，在AC上取点E，使AE=3EC，作EF∥AB交BC于点F，量得EF=6m，则AB的长为________. 21·世纪*教育网
7.如图，直线l1∥l2∥l3 ， A，B，C分别为直线l1 ， l2 ， l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D.设直线l1 ， l2之间的距离为m，直线l1 ， l2之间的距离为m，若∠ABC=90°，BD=4，且 则m+n的最大值为________. 【来源：21cnj*y.co*m】

8.在某一时刻，测得一根高为 的竹竿的影长为 ，同时同地测得一栋楼的影长为 ，则这栋楼的高度为________ ． 【出处：21教育名师】
三、综合题
9.如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC.
（1）求证ΔADE∽ΔABC；
（2）若AD=3，AB=5，求 的值.
10.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD：DE＝3：5，AE＝16，BD＝8，
（1）求证：△ACD∽△BED；
（2）求DC的长．
答案解析部分
一、单选题
1. B
解：过点D作DH⊥BC交AB于点H，
∵EF⊥AC，∴EF∥BC，
∴△AFE∽△ACD，∴ ，
∵DH⊥BC，EG⊥EF，∴DH∥EG，
∴△AEG∽△ADH，∴ ，
∴
∵EF=EG，
∴DC=DH，
设DH=DC=x，则BD=12-x，
又∵△BDH∽△BCA，
∴ ，即 ，
解得：x=4，即CD=4，
故答案为：B. 【分析】过点D作DH⊥BC交AB于点H，根据题意即可证明三角形相似，由三角形相似的性质，得到对应边相等，即可得到答案。www.21-cn-jy.com
2. B
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：BC＝6。
故答案为：B。
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ，根据比例式即可算出BC的长。
3. B
，相似比为 ，
与 的周长的比为 .
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比。就可得出结果。
4. D
解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∵点F是BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D． 【分析】设 ，仔细审题再结合平行四边形的性质可将CF表示出来，再根据相似三角形的判定易证 ， 由相似三角形的性质中相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求出结论
5. D
解：∵ EM∥AD ， EN∥AB ∴△DNE∽△DAB∽△EMB ∴ ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=BC ∴ 故答案为：D 【分析】利用已知条件易证△DNE∽△DAB∽△EMB，利用相似三角形的性质，可证得， 再根据平行四边形的性质，可证得一定正确的结论。21cnjy.com
二、填空题
6. 24m
解：∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴ ，
∴AB＝4EF＝24m
故答案为：24m.
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△CEF∽△CAB，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式就可算出AB的长.
7.
解：过B作BE⊥l1交于点E，作BF⊥l3交于点F，过点A作AN⊥l2交点点N，过点C作CM⊥l2交于点M，BE=m，BF=n，如图， 21·cn·jy·com
设AE=x，CF=y，则BN=x，BM=y，
∵BD=4，BE=m，BF=n，
∴DM=y-4，DN=4-x，CM=n，AN=m，
∵∠ABC=90°，且∠AEB=∠BFC=90°，∠CMD=∠AND=90°，
∴△AEB∽△BFC，△CMD∽△AND，
∴ ， ，
即 ， ，
∴mn=xy，y=10- x，
又∵ ,
∴n= m，
∴m+n=m+ m= m，
要使m+n最大，则只要m最大，
∵mn= m2=xy=x（10- x）=- x2+10x，
∴对称轴x= 时，（- x2+10x）最大= ，
∴ m2= ，
∴m最大= ，
∴（m+n）最大= × = .
故答案为： .
【分析】过B作BE⊥l1交于点E，作BF⊥l3交于点F，过点A作AN⊥l2交点点N，过点C作CM⊥l2交于点M，BE=m，BF=n，设AE=x，CF=y，则BN=x，BM=y，根据题意得DM=y-4，DN=4-x，CM=n，AN=m，再由相似三角形的判定和性质得 ， ，即mn=xy，y=10- x，由 得n= m，从而可得m+n= m，要使m+n最大，则只要m最大，由mn= m2=xy=x（10- x）=- x2+10x，从而可转化成二次函数的最值来做，根据二次函数的性质求得其最大值，即 m2= ，从而可得到m最大= ，从而可得m+n的最大值.【来源：21·世纪·教育·网】
8. 54
解：设这栋楼的高度为hm，
∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，
∴ ，
解得h=54（m）．
故答案为：54． 【分析】设这栋楼的高度为hm，根据对应线段成比例即可得到答案。
三、综合题
9. （1）证明：在ΔABC中，
∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F
∴∠AFE=∠AGC=90°
∵∠EAF=∠GAC
∴∠AED=∠C
在ΔADE和ΔABC中，
∵∠AED=∠C，∠EAD=∠CAB
∴ΔADE∽ΔABC
（2）解：在ΔAEF和ΔACG中，
∵∠AFE=∠AGC，∠EAF=∠GAC
∴ΔAEF∽ΔAGC
由（1）知ΔADE∽ΔABC
∴
又ΔAEF∽ΔAGC
∴
【分析】（1）根据垂直的定义得出 ∠AFE=∠AGC=90° ，根据三角形的内角和得出 ∠AED=∠C ，从而利用有两个角对应相等的三角形相似得出 ΔADE∽ΔABC ； （2）由（1）知 ΔADE∽ΔABC ，根据相似三角形对应边成比例得出 ，然后判断出 ΔAEF∽ΔAGC ，根据相似三角形对应边成比例得出 .2·1·c·n·j·y
10. （1）证明：∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE，
∴△ACD∽△BED
（2）解：∵△ACD∽△BED，
∴ ＝ ，
又∵AD：DE＝3：5，AE＝16，
∴AD＝6，DE＝10，
∵BD＝8，
∴ ＝ ．
∴DC＝ ．
【分析】（1）已知∠C＝∠E，加上对顶角∠ADC＝∠BDE，易证△ACD∽△BED； （2）由AD：DE＝3：5，AE＝16，可得AD＝6，DE＝10；又根据△ACD∽△BED可得， 故可求得DC的长。21教育网