27.2.3 相似三角形应用举例 同步练习（解析版）
文档属性
| 名称 | 27.2.3 相似三角形应用举例 同步练习（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-29 09:27:16 | ||
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文档简介
初中数学人教版九年级下学期 第二十七章 27.2.3 相似三角形应用举例
一、单选题
1.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前。其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为（ ??） 21教育网
A.?五丈??????????????????????????????????B.?四丈五尺??????????????????????????????????C.?一丈??????????????????????????????????D.?五尺
2.如图，为了测量一池塘的宽DE ， 在岸边找到一点C ， 测得CD=30m ， 在DC的延长线上找一点A ， 测得AC=5m ， 过点A作AB∥DE交EC的延长线于B ， 测出AB=8m ， 则池塘的宽DE为（?? ） 21·cn·jy·com
A.?32m????????????????????????????????????B.?36m????????????????????????????????????C.?48m????????????????????????????????????D.?56m
3.如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为(?? )
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.?11m???????????????????????????????????D.?
4.现有一个测试距离为5m的视力表(如图)，根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m的视力表，则图中的 的值为（ ??） www.21-cn-jy.com
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
5.如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为________米. 21·世纪*教育网
6.如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，测得落在地面上的影长BD=9.6米，留在墙上的影长CD=2米，则旗杆的高度AB为________米. 21*cnjy*com
三、解答题
7.一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当在点A处放置标杆时，李明测得直立的标杆高AM与影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.2m，已知标杆直立时的高为1.8m，求路灯的高CD的长． 【来源：21cnj*y.co*m】
四、综合题
8.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，AP=FD【出处：21教育名师】
（1）求 的值
（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM=EB，连接MF，求证MF=PF;
（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ=AP，连接BQ，BN.将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上.请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上，并说明理由.
9.某数学兴趣小组为测量如图（①所示的一段古城墙的高度，设计用平面镜测量的示意图如图②所示，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处。
（1）已知AB⊥BD、CD⊥BD，且测得AB=1.2m，BP=1.8m.PD=12m，求该城墙的高度（平面镜的原度忽略不计）：
（2）请你设计一个测量这段古城墙高度的方案。
要求：①面出示意图（不要求写画法）；②写出方案，给出简要的计算过程：③给出的方案不能用到图②的方法。
10.有一块锐角三角形卡纸余料ABC，它的边BC＝120 cm，高AD＝80 cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2∶5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH上，其余顶点均分别在AB，AC上，具体裁剪方式如图所示．
（1）求矩形纸片较长边EH的长.
（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH中与边EH平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确． 【来源：21·世纪·教育·网】
答案解析部分
一、单选题
1. B
解：设竹竿长为x尺。由题意得： 解得x=45 即竹竿长为4丈5尺。
故答案为：B.
【分析】设竹竿长为x尺，根据相似三角形的对应边成比例列出方程，即可求解。
2. C
∵AB∥DE，
∴△ABC∽△DEC，
∴ ，
∴ ，
∴DE=48m，
故答案为：C．
【分析】先根据AB∥DE证得△ABC∽△DEC，然后利用相似三角形对应边成比例得， 即， 故可求出DE.【版权所有：21教育】
3. A
如图，作DE⊥FC于点E，
∴△ABC∽△CED，∴ .
设AB＝x米，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.∴ ，解得x＝5.5.故答案为：A.
【分析】如图，作DE⊥FC于点E，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.根据两角相等的两个三角形相似，可证△ABC∽△CED，利用相似三角形的对应边成比例，可得， 设AB＝x米,代入对应数据，求出x值即可.21世纪教育网版权所有
4. D
解：如图， ∵BC∥ED， ∴△ABC∽△AED， . 故答案为：D. 【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得出答案.21教育名师原创作品
二、填空题
5. 6.4
解：由题可知： ,
解得：树高=6.4米.
【分析】根据在同一时刻物高与影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子、物体、经过物体顶部的太阳光所构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的性质，可求出结果。
6. 10
解：如图，
过点C作CE⊥AB于点E，可得四边形BDCE为矩形， ∴CE=CE=9.6米，BE=CD=2米， 由题意可得：， ∴AE=8（米）， ∴AB=AE+BE=8+2=10（米）. 故答案为：10. 【分析】根据三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形BDCE为矩形，利用矩形的对边相等，可得CE=CE=9.6米，BE=CD=2米，利用“在同一时刻物高与影长的比相等”，可得， 从而求出AE的长，继而求出AB的长.2·1·c·n·j·y
三、解答题
7. 解：设CD长为x米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，
∴MA∥CD∥BN，
∴EC＝CD＝x米，
∴△ABN∽△ACD，
∴ ＝ ，即 ，
解得：x＝5.4．
经检验，x＝5.4是原方程的解，
∴路灯高CD为5.4米．
【分析】由题意可知△MEA、△DEC都是等腰直角三角形，设EC＝CD＝x米， 由CD∥BN 可得， △ABN∽△ACD， 根据相似三角形的对应边成比例即可求出路灯的高CD的长．
四、综合题
8. （1）解：设AP=x，则FD=x，AF=2-x
∵在正方形ABCD中，AB∥CD
∴
∴
∴.x2=4-2x
x2+2x-4=0
?? =20
∵x>0
∴x=
∴
（2）解：连接OP
∵PA=DF，AD=DC，∠PAD=∠ADC
∴?? PAD≌?? FDC
又∵EC= ?? BE=ME= AB=1
∴MC= =FD
又∵PE=AP+AE= +1= =EC
∴∠EPC=∠ECP
又∵AB∥CD
∴∠EPC=∠DCF
∴∠PDA=∠ECP
∴?? PFD∽?? FMC（SAS）
∴MF=PF
（3）解：如图，在AD上取一点Q'，使AQ'=AQ，在BN上取一点B'，AB'=AB，连接B'Q'，做B'G⊥AD交EN于点K，交AD于点Gwww-2-1-cnjy-com
∵tan∠NBE=2，AB=AB'=2
∴BB'=
∴B'N=BN=BB'= "ANB'KOANBE
∵?? NB'K~?? NBE
∴B'K= ；KN= ；
∴B'G= ；DG=
∴Q'G=3- - =
在Rt?? B'GQ'中，∠B'GQ'=90°，有B'Q=
而（ -1）2≠
∴B'Q'≠（ -1）2
∴B'Q'≠BQ，点B'不在BN上
【分析】（1）设AP=x，则FD=x，AF=2-x，由正方形性质得AB∥CD，再由平行线截线段成比例得 ，即 ，解之得x= -1，将x值代入 即可得 的值.（2）连结DP，根据全等三角形判定SAS得△PAD≌△FDC，由全等三角形性质得PA=FD= -1，在Rt△BEC中，由勾股定理求得EC长，从而可得MC=FD，由相似三角形判定得△PFD∽△FMC，根据相似三角形性质得 =1，由此可得PF=FM.（3）在AD上取一点Q′，使AQ′=AQ，在BN上取一点B′，AB′=AB，连结B′Q′，作B′G⊥AD交EN于点K，交AD于点G，根据锐角三角函数正切定义求得BB′=BN=B′N长，由相似三角形的性质求得B′K，KN,从而可得B′G，DG，Q′G长，在Rt△B′GQ′中,根据勾股定理求得B′Q′= ，而（ -1）2≠ ，即B′Q′≠（ -1）2 ， 从而可得点B′不在BN上.21cnjy.com
9. （1）解：由题意，得∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP=90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴ ，∴CD= =8. 2-1-c-n-j-y
D= 1.8答；该古城墙的高度为8m
（2）解：答案不唯一，如：如圈，
在距这段古城墙底部am的E处，用高h（m）的测角仪DE测得这段古城墙顶端A的仰角为α.即可测量这段古城墙AB的高度，过点D作DCLAB于点C.在Rt△ACD中，∠ACD=90°，tanα= ，∴AC=α tanα，∴AB=AC+BC=αtanα+h21*cnjy*com
【分析】（1）根据入射角等于反射角可得 ∠APB=∠CPD ，由 AB⊥BD、CD⊥BD 可得到 ∠ABP=∠CDP=90°，从而可证得三角形相似，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求出CD的长。（2）设计成视角问题求古城墙的高度。
10. （1）解：∵ 矩形纸片EFGH 邻边之比为2∶5 ， ∴ ∴AR=AD-RD=80-2x， ∵EH∥BC, ∴△AEH∽△ABC， ∴ , ∴ ， ∴EH=5x=75cm; （2）解：设PQ=y,则PM=y， ∴AK=AR-KR=AD-RD-KR=50-y ∵PQ∥EH, ∴△APQ∽△AEH, ∴ , ∴ , 即PQ=30, 由题意知：PQ是△AEH的中位线， ∴PQ=EH=37.5 , ∵30≠37.5 ∴ 小聪的剪法不正确．
【分析】(1）AR=AD-RD=80-2x，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△AEH∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出， 由比例式建立方程，即可求出x的值，从而得出答案； （2）设PQ=y,则PM=y，AK=AR-KR=AD-RD-KR=50-y，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△APQ∽△AEH,，根据相似三角形对应边成比例得出， 由比例式建立方程，即可求出y的值，从而得出PQ的长，再根据三角形中位线定理算出PQ的长，进行比较即可得出答案。
一、单选题
1.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前。其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为（ ??） 21教育网
A.?五丈??????????????????????????????????B.?四丈五尺??????????????????????????????????C.?一丈??????????????????????????????????D.?五尺
2.如图，为了测量一池塘的宽DE ， 在岸边找到一点C ， 测得CD=30m ， 在DC的延长线上找一点A ， 测得AC=5m ， 过点A作AB∥DE交EC的延长线于B ， 测出AB=8m ， 则池塘的宽DE为（?? ） 21·cn·jy·com
A.?32m????????????????????????????????????B.?36m????????????????????????????????????C.?48m????????????????????????????????????D.?56m
3.如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为(?? )
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.?11m???????????????????????????????????D.?
4.现有一个测试距离为5m的视力表(如图)，根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m的视力表，则图中的 的值为（ ??） www.21-cn-jy.com
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
5.如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为________米. 21·世纪*教育网
6.如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，测得落在地面上的影长BD=9.6米，留在墙上的影长CD=2米，则旗杆的高度AB为________米. 21*cnjy*com
三、解答题
7.一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当在点A处放置标杆时，李明测得直立的标杆高AM与影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.2m，已知标杆直立时的高为1.8m，求路灯的高CD的长． 【来源：21cnj*y.co*m】
四、综合题
8.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，AP=FD【出处：21教育名师】
（1）求 的值
（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM=EB，连接MF，求证MF=PF;
（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ=AP，连接BQ，BN.将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上.请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上，并说明理由.
9.某数学兴趣小组为测量如图（①所示的一段古城墙的高度，设计用平面镜测量的示意图如图②所示，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处。
（1）已知AB⊥BD、CD⊥BD，且测得AB=1.2m，BP=1.8m.PD=12m，求该城墙的高度（平面镜的原度忽略不计）：
（2）请你设计一个测量这段古城墙高度的方案。
要求：①面出示意图（不要求写画法）；②写出方案，给出简要的计算过程：③给出的方案不能用到图②的方法。
10.有一块锐角三角形卡纸余料ABC，它的边BC＝120 cm，高AD＝80 cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2∶5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH上，其余顶点均分别在AB，AC上，具体裁剪方式如图所示．
（1）求矩形纸片较长边EH的长.
（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH中与边EH平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确． 【来源：21·世纪·教育·网】
答案解析部分
一、单选题
1. B
解：设竹竿长为x尺。由题意得： 解得x=45 即竹竿长为4丈5尺。
故答案为：B.
【分析】设竹竿长为x尺，根据相似三角形的对应边成比例列出方程，即可求解。
2. C
∵AB∥DE，
∴△ABC∽△DEC，
∴ ，
∴ ，
∴DE=48m，
故答案为：C．
【分析】先根据AB∥DE证得△ABC∽△DEC，然后利用相似三角形对应边成比例得， 即， 故可求出DE.【版权所有：21教育】
3. A
如图，作DE⊥FC于点E，
∴△ABC∽△CED，∴ .
设AB＝x米，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.∴ ，解得x＝5.5.故答案为：A.
【分析】如图，作DE⊥FC于点E，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.根据两角相等的两个三角形相似，可证△ABC∽△CED，利用相似三角形的对应边成比例，可得， 设AB＝x米,代入对应数据，求出x值即可.21世纪教育网版权所有
4. D
解：如图， ∵BC∥ED， ∴△ABC∽△AED， . 故答案为：D. 【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得出答案.21教育名师原创作品
二、填空题
5. 6.4
解：由题可知： ,
解得：树高=6.4米.
【分析】根据在同一时刻物高与影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子、物体、经过物体顶部的太阳光所构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的性质，可求出结果。
6. 10
解：如图，
过点C作CE⊥AB于点E，可得四边形BDCE为矩形， ∴CE=CE=9.6米，BE=CD=2米， 由题意可得：， ∴AE=8（米）， ∴AB=AE+BE=8+2=10（米）. 故答案为：10. 【分析】根据三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形BDCE为矩形，利用矩形的对边相等，可得CE=CE=9.6米，BE=CD=2米，利用“在同一时刻物高与影长的比相等”，可得， 从而求出AE的长，继而求出AB的长.2·1·c·n·j·y
三、解答题
7. 解：设CD长为x米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，
∴MA∥CD∥BN，
∴EC＝CD＝x米，
∴△ABN∽△ACD，
∴ ＝ ，即 ，
解得：x＝5.4．
经检验，x＝5.4是原方程的解，
∴路灯高CD为5.4米．
【分析】由题意可知△MEA、△DEC都是等腰直角三角形，设EC＝CD＝x米， 由CD∥BN 可得， △ABN∽△ACD， 根据相似三角形的对应边成比例即可求出路灯的高CD的长．
四、综合题
8. （1）解：设AP=x，则FD=x，AF=2-x
∵在正方形ABCD中，AB∥CD
∴
∴
∴.x2=4-2x
x2+2x-4=0
?? =20
∵x>0
∴x=
∴
（2）解：连接OP
∵PA=DF，AD=DC，∠PAD=∠ADC
∴?? PAD≌?? FDC
又∵EC= ?? BE=ME= AB=1
∴MC= =FD
又∵PE=AP+AE= +1= =EC
∴∠EPC=∠ECP
又∵AB∥CD
∴∠EPC=∠DCF
∴∠PDA=∠ECP
∴?? PFD∽?? FMC（SAS）
∴MF=PF
（3）解：如图，在AD上取一点Q'，使AQ'=AQ，在BN上取一点B'，AB'=AB，连接B'Q'，做B'G⊥AD交EN于点K，交AD于点Gwww-2-1-cnjy-com
∵tan∠NBE=2，AB=AB'=2
∴BB'=
∴B'N=BN=BB'= "ANB'KOANBE
∵?? NB'K~?? NBE
∴B'K= ；KN= ；
∴B'G= ；DG=
∴Q'G=3- - =
在Rt?? B'GQ'中，∠B'GQ'=90°，有B'Q=
而（ -1）2≠
∴B'Q'≠（ -1）2
∴B'Q'≠BQ，点B'不在BN上
【分析】（1）设AP=x，则FD=x，AF=2-x，由正方形性质得AB∥CD，再由平行线截线段成比例得 ，即 ，解之得x= -1，将x值代入 即可得 的值.（2）连结DP，根据全等三角形判定SAS得△PAD≌△FDC，由全等三角形性质得PA=FD= -1，在Rt△BEC中，由勾股定理求得EC长，从而可得MC=FD，由相似三角形判定得△PFD∽△FMC，根据相似三角形性质得 =1，由此可得PF=FM.（3）在AD上取一点Q′，使AQ′=AQ，在BN上取一点B′，AB′=AB，连结B′Q′，作B′G⊥AD交EN于点K，交AD于点G，根据锐角三角函数正切定义求得BB′=BN=B′N长，由相似三角形的性质求得B′K，KN,从而可得B′G，DG，Q′G长，在Rt△B′GQ′中,根据勾股定理求得B′Q′= ，而（ -1）2≠ ，即B′Q′≠（ -1）2 ， 从而可得点B′不在BN上.21cnjy.com
9. （1）解：由题意，得∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP=90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴ ，∴CD= =8. 2-1-c-n-j-y
D= 1.8答；该古城墙的高度为8m
（2）解：答案不唯一，如：如圈，
在距这段古城墙底部am的E处，用高h（m）的测角仪DE测得这段古城墙顶端A的仰角为α.即可测量这段古城墙AB的高度，过点D作DCLAB于点C.在Rt△ACD中，∠ACD=90°，tanα= ，∴AC=α tanα，∴AB=AC+BC=αtanα+h21*cnjy*com
【分析】（1）根据入射角等于反射角可得 ∠APB=∠CPD ，由 AB⊥BD、CD⊥BD 可得到 ∠ABP=∠CDP=90°，从而可证得三角形相似，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求出CD的长。（2）设计成视角问题求古城墙的高度。
10. （1）解：∵ 矩形纸片EFGH 邻边之比为2∶5 ， ∴ ∴AR=AD-RD=80-2x， ∵EH∥BC, ∴△AEH∽△ABC， ∴ , ∴ ， ∴EH=5x=75cm; （2）解：设PQ=y,则PM=y， ∴AK=AR-KR=AD-RD-KR=50-y ∵PQ∥EH, ∴△APQ∽△AEH, ∴ , ∴ , 即PQ=30, 由题意知：PQ是△AEH的中位线， ∴PQ=EH=37.5 , ∵30≠37.5 ∴ 小聪的剪法不正确．
【分析】(1）AR=AD-RD=80-2x，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△AEH∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出， 由比例式建立方程，即可求出x的值，从而得出答案； （2）设PQ=y,则PM=y，AK=AR-KR=AD-RD-KR=50-y，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△APQ∽△AEH,，根据相似三角形对应边成比例得出， 由比例式建立方程，即可求出y的值，从而得出PQ的长，再根据三角形中位线定理算出PQ的长，进行比较即可得出答案。