第十九章 函数
19.2 一次函数
19.2.2 一次函数
第1课时 一次函数的概念
学习目标：1.理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系；
2.能利用一次函数解决简单的实际问题.
重点：掌握一次函数的概念.
难点：能利用一次函数解决简单的实际问题.
一、知识链接
1.一般地，形如 （k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数.
2.下列哪些函数是正比例函数？如果是，请说出比例系数.
（1）y=3x；（2）y=；（3）y=；（4）y=3x2；（5）.
二、新知预习
1.下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
（1）有人发现，在20 ℃～25 ℃时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度 t（单位：℃）有关，且 c 的值约是 t 的7 倍与35的差；
（2）一种计算成年人标准体重G（单位：kg）的方法是，以cm为单位量出身高值 h ，再减常数105，所得差是G 的值；
（3）某城市的市内电话的月收费额 y（单位：元）包括月租费22元和拨打电话 x min 的计时费（按0.1元/min收取）；
（4）把一个长10 cm，宽5 cm的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩形面积 y（单位：cm2）随x的值而变化．
（5）观察以上出现的四个函数解析式，很显然它们不是正比例函数，那么它们有什么共同特征呢？
2.自主归纳：
一般地，形如 （k， b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.
三、自学自测
1.下列哪些函数是一次函数？如果是，请分别说出k，b是多少.
（1）y=3x+2；（2）y=4（x+1）；（3）y=；（4）y=x（3x+2）；（5）y=.
2.当m ,n 时，函数y=(m-3)xn+m+2是一次函数.
四、我的疑惑
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要点探究
探究点1：一次函数的概念
问题1：一次函数的定义是什么？它与正比例函数又有何联系？
典例精析
例1 已知函数y=(m-1)x+1-m2
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数?
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?
要点归纳：
1.一次函数y=kx+b的特点如下：
（1）解析式中自变量x的次数是 次;
（2）比例系数k ；
（3）常数项：通常不为0，但也可以等于0.
2.（1）当b 时，y=kx+b 即y= (k≠0)，此时该一次函数是正比例函数.
（2）正比例函数是一种特殊的一次函数.
例2 已知一次函数 y=kx+b，当 x=1时，y=5；当x=-1时，y=1．求 k 和 b 的值．
方法总结：将两组自变量及对应的函数值代入函数解析式中，得到关于k，b的方程组，
解方程即可.
针对训练
1.已知函数y=2x|m|+(m+1).
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是正比例函数，求m的值.
2.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
(2)求x＝2.5时，y的值．
探究点2：一次函数的简单应用
例3 汽车油箱中原有油50升，如果汽车每行驶50千米耗油9升, 求油箱的油量y（单位：升）随行驶时间x（单位：时）变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围，y是x 的一次函数吗？
针对训练
1.我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为：（3860-3500）×3%=10.8元.
(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的函数解析式；
(2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？
(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？
2.如图，△ABC是边长为x的等边三角形.
（1）求BC边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的一次函数吗？如果是，请指出相应的k与b的值.
（2）当h=时，求x的值.
（3）求△ABC的面积S与x的函数解析式.S是x的一次函数吗？
二、课堂小结
一次函数
形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.
一次函数与正比例函数的关系
正比例函数是一次函数的特殊情形，但一次函数不一定是正比例函数.只有当b=0时，一次函数才是正比例函数.
一次函数关系式的确定
根据实际问题抽象出一次函数解析式，同时要注意自变量的取值范围使实际问题有意义.
1.下列说法正确的是（ ）
A.一次函数是正比例函数 B.正比例函数不是一次函数
C.不是正比例函数就不是一次函数 D.正比例函数是一次函数
2.在函数①y=2-x；②y=8+0.03t；③y=1+x+；④y=中，是一次函数的有________.
3.要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,n,m应满足_________,_________.
4.如果长方形的周长是30cm，长是xcm，宽是ycm.
(1)写出y与x之间的函数解析式，它是一次函数吗？
(2)若长是宽的2倍，求长方形的面积.
5.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2 m/s．
（1）求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数解析式；
（2）求第2.5 s 时小球的速度；
（3）时间每增加1 s，速度增加多少，速度增加量是否随着时间的变化而变化？
第十九章 函数
19.2 一次函数
19.2.2 一次函数
第2课时 一次函数的图象与性质
学习目标：1.会画一次函数的图象，能根据一次函数的图象理解一次函数的增减性；
2.能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题.
重点：一次函数的图象与性质.
难点：运用一次函数的图象与性质解题.
一、知识链接
1.形如 的函数，叫做一次函数.
2.画函数图象的步骤有 、 、 .
3.正比例函数的图象是一条经过 点的 .
二、新知预习
1.在如图所示的平面直角坐标系中画出一次函数y =2x-3
及正比例函数y =2x的图象.
2.观察画出的函数图象回答问题：
（1）这两个函数的图象形状都是 ，并且倾斜
程度 .
函数y1=2x的图象经过 点，函数y2= 2x-3
的图像与y轴交于点 ，即它可以看作由直线y1=2x
向 平移 个单位长度而得到.
函数y=2x-3的图象经过第 象限，且y随x的增大而 .
3.自主归纳：
对于函数y =kx+b:
（1）其图象与x轴的交点坐标为 ,与y轴的交点坐标为 .
（2）当k>0时，y随x的增大而 ,当k<0时，y随x的增大而 .
三、自学自测
1.与一次函数y=2x-3的图象平行的是下列哪个函数的图象（ ）
A.y=-x-3 B.y=2x+1 C.y=-2x D.y=3x+3
2.下列一次函数中，y随x值的增大而减小的是（ ）
A. y=2x+1 B. y=3－4x C.y=x+2 D. y=(5－2)x
3.函数y=3－4x的图象与坐标轴的交点坐标分别为 , .
四、我的疑惑
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要点探究
探究点1：一次函数的图象
问题1：画一次函数y =kx+b的图象最少需要描几个点，为什么？
问题2：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如何由正比例函数y=kx的图象得到？
问题3：若直线y =k1x+b1与 y =k2x+b2平行，则k1，k2需要满足什么条件？
典例精析
例1 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1） ；（2） y=0.5x+1.
x
y=x-1
y=0.5x+1
方法总结:
1.由于两点确定一条直线，画一次函数图象时我们只需描点(0， )和点( ，0）或 (1， )，连线即可.
2.一次函数y=kx+b的图象可以由正比例函数y=kx的图象平移 个单位长度得到（当b＞0时，向 平移；当b＜0时，向 平移）.
探究点2：一次函数的性质
问题4：画出下列一次函数的图象，看看k，b的正负对一次函数的图象有什么影响?
（1）y =x+1； （2）y =3x+1；
（3）； （4）．
要点归纳：
当k>0时，y随x的增大而 ,① b>0时，直线经过第 象限；② b<0时，直线经过第 象限.
当k<0时，y随x的增大而 .① b>0时，直线经过第 象限；② b<0时，直线经过第 象限.
例2 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y=-0.5x+3图象上的两点，下列判断中，正确的是( )
A.y1＞y2 C.当x1＜x2时，y1＜y2
B.y1＜y2 D.当x1＜x2时，y1＞y2
方法总结:比较函数值的大小，先要确定函数的增减性，再根据自变量的大小关系，得到函数值的大小关系.
例3 已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值：
（1）函数值y 随x的增大而增大；
（2）函数图象与y 轴的负半轴相交；
（3）函数的图象过第二、三、四象限；
针对训练
已知函数 y = kx的图象在二、四象限，那么函数y = kx-k的图象可能是（ ）
二、课堂小结
一次函数y=kx+b(k≠0)
图象
画一次函数图象时我们只需描点(0，b)和点( ，0)连线即可.
k>0
k<0
b>0
b=0
b<0
b>0
b=0
b<0
图象是自左向右上升的
图象是自左向右下降的
经过第
象限
经过第
象限
经过第
象限
经过第
象限
经过第
象限
经过第
象限
|k|越大，图象越陡（即越靠近y轴）
性质
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
图象平移
一次函数y=kx+b的图象可以由正比例函数y=kx的图象平移 个单位长度得到（当b＞0时，向 平移；当b＜0时，向 平移）
1. 一次函数y=x-2的大致图象为（ ）
2.下列函数中，y的值随x值的增大而增大的函数是( ) A.y=-2x B.y=-2x+1 C.y=x-2 D.y=-x-2
3.直线y =2x-3 与x 轴交点的坐标为________；与y 轴交点的坐标为_______；图象经过第_________象限， y 随x 的增大而________．
4.若直线y=kx+2与y=3x-1平行，则k=________.
5.点A(-1,y1),B(3,y2)是直线y=kx+b(k<0)上的两点，则y1-y2_______0(填“>”或“<”).
6.已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m图象与 y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数，求m的值 .
第十九章 函数
19.2 一次函数
19.2.2 一次函数
第3课时 用待定系数法求一次函数的解析式
学习目标：1.理解待定系数法的意义.
2.会用待定系数法求一次函数的解析式.
重点：会用待定系数法求一次函数的解析式.
难点：从各种问题情境中寻找条件，确定一次函数的解析式.
一、知识链接
1.一次函数的定义：一般地，形如 的函数，叫做一次函数,其中x是自变量；当 时，一次函数就成为正比例函数，所以说正比例函数是一种 的一次函数.
2.直线中，k ，b的取值决定直线的位置：k确定函数的 性，
b确定图象与 的交点.
二、新知预习
1.已知：正比例函数的图像过点（3，5），求这个正比例函数的解析式.
解： 设正比例函数的解析式为y=kx
∵图像过点（ ）
∴5=3k
∴k=
∴y= x
2.已知一次函数y=kx+b中，当x＝3时，y＝5；当x＝-4时，y＝-9.
解：由已知条件x＝3时，y＝5，得 ，
由已知条件x＝-4时，y＝-9，得 ，
两个条件都要满足，即解关于x的二元一次方程组： ，
解得 .
所以，一次函数解析式为
自主归纳：
（1）求一次函数的解析式时需要 个条件，求正比例函数需要 个条件.
（2）像上例这样先设出 ，再根据条件确定解析式中 ，从而具体写出这个式子的方法，叫做 .
三、自学自测
根据下列条件求出直线的解析式．
直线y＝kx＋5经过点(-2,-1)；
(2)直线坐标轴的交点分别是(0，2)，(3，0).
四、我的疑惑
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要点探究
探究点：用待定系数法求一次函数的解析式
问题1：用待定系数法求一次函数的解析式求一次函数需要哪些步骤？
问题2：如何求下图中直线的函数解析式？
要点归纳：
用待定系数法求一次函数的解析式的步骤：
（1）设——设出函数解析式的一般形式；
（2）代——把已知条件代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解——解方程或方程组求出待定系数的值；
（4）写——把求出的k，b值代回到解析式中，写出函数解析式.
典例精析
例1. 若一次函数的图象经过点 A(2,0)且与直线y=-x+3平行，求其解析式.
例2 已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式.
提示：画图，此题有两种情况，需分类讨论.
针对训练
1.若y+3与x成正比例，且x=2时，y=5，则x=5时，y= ．
2.写出经过点（1，2）的直线的解析式 (写出一个即可)．
3.正比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象如图所示，它们的交点A的坐标为(3，4)，并且OB=5.
(1)你能求出这两个函数的解析式吗？
(2)△AOB的面积是多少呢？
4.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量的取值范围是－ 3≤x≤ 6，相应函数值的范围是－ 5≤y≤ － 2 ，求这个函数的解析式.
二、课堂小结
用待定系数法求一次函数的解析式
步骤
（1）设——设出函数解析式的一般形式
（2）代——把已知条件代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组
（3）解——解方程或方程组求出待定系数的值
（4）写——把求出的k，b值代回到解析式中，写出函数解析式.
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图，则下列结论正确的是 （ ）
A．k=2 B．k=3 C．b=2 D．b=3
第1题图 第2题图
2. 如图，直线是一次函数y=kx+b的图象，填空:
(1)b=______，k=______;
(2)当x=30时，y=______;
(3)当y=30时，x=______.
已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的解析式.
4.若一直线与另一直线y=-3x+2交于y轴同一点，且过（2，-6），你能求出这条直线的解析式吗？
第十九章 函数
19.2 一次函数
19.2.2 一次函数
第4课时 一次函数与实际问题
学习目标：1.巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题；
2.有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力；
3.认识数学在现实生活中的意义，提高运用数学知识解决实际问题的能力.
重点：学会用一次函数解决实际问题。
难点：根据实际问题建立一次函数模型。
一、知识链接
1.一次函数的解析式的一般形式为 .
2.画一次函数图象的一般步骤是 、 、 .
3.说一说用待定系数法求一次函数解析式的步骤.
二、新知预习
1.已知
（1）分别求出当x=1，x=5时y的值；
（2）y是x的函数吗？它与一次函数有何区别？
（3）若y是x的函数，你能画出它的函数图象吗？
2.自主归纳：
与T1中形式相同的函数叫做分段函数.
注意：（1）它是一个函数，不要误以为是两个函数；
（2）对于不同取值范围的自变量，它所对应的函数解析式不同；
（3）它的函数图象也是由两部分组成.
三、自学自测
某市出租车计费标准为：起步价8元（3千米及以内），超过3千米的部分按每千米2.6元计算，设行驶的路程为x千米，应交的车费为y元.
若小明乘出租车行驶了2千米，应收费 _____元；若行驶5千米，应收费 ____ 元；
请写出当 0 ＜x≤3和x ＞ 3 时y与x之间的函数解析式；
（3）若某顾客走了30千米，你能马上算出他应付多少元钱吗？
四、我的疑惑
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要点探究
探究点：一次函数与实际问题
典例精析
例1 温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度.
水的沸点温度是100℃，用华氏温度度量为212℉；水的冰点温度是0℃，用华氏温度度量为32 ℉.已知摄氏温度与华氏温度的关近似地为一次函数关系，你能不能想出一个办法方便地把华氏温度换算成摄氏温度？
方法总结:已知两个变量是一次函数关系，直接设其解析式，然后根据题目两个已知条件，用待定系数法求解即可.
例2 为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元.
（1）求出y关于x的函数解析式；
（2）该市一户某月若用水x=10立方米时，求应缴水费；
（3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量.
方法总结:不同取值范围的自变量所对应的函数解析式不同是分段函数.利用分段函数解决实际问题时，注意自变量要与解析式对应.
例3 某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（时）的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后.
（1）服药后______时，血液中含药量最高，达到每毫升_______毫克，接着逐步衰弱.
（2）服药5时，血液中含药量为每毫升____毫克.
（3）当x≤2时y与x之间的函数解析式是___________.
（4）当x≥2时y与x之间的函数解析式是___________.
（5）如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间是______时.
针对训练
1.某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y（L）与工作时间x（h） 之间为一次函数关系，函数图象如图所示.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）一箱油可供拖拉机工作几小时？
二、课堂小结
一次函数与实际问题
1.根据实际问题直接列解析式
2.设解析式，再利用待定系数法求解析式
3.分段函数的应用
小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内钱数y（元）与存钱月数 x（月）之间的关系如图所示，根据下图回答下列问题：
求出y关于x的函数解析式.
根据关系式计算，小明经过几个月才能存够200元？
一个试验室在0：00—2：00保持20℃的恒温，在2：00—4：00匀速升温，每小时升高5℃.写出试验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数解析式，并画出函数图象.
3.近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来越多.为缓解用电紧张，某电力公
司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示.
⑴请你根据图象所描述的信息，分别求出当0≤x≤50 和x>50时，y与x的函数解析式；
⑵根据你的分析：当每月用电量不超过50度时，收费标准是多少？当每月用电量超过
50度时，收费标准是多少？
