第十八章 平行四边形
18.2.2 菱 形
第1课时 菱形的性质
学习目标：1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；
探索并证明菱形的性质定理；
应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
重点：探索并证明菱形的性质定理.
难点：应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
一、知识回顾
1.平行四边形是什么？它有哪些性质？
2.矩形有哪些不同于平行四边形的性质？
新知预习
1.我们知道矩形是由平行四边形角的变化得到，如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?
2.自主学习：
(1)菱形的定义：有一组邻边_________的平行四边形.
(2)菱形是特殊的平行四边形，平行四边形_________是菱形.
三、自学自测
1.菱形是常见的图形，你能举出一些生活中的实例吗？
2.菱形是特殊的平行四边形，你能根据平行四边形的性质，说出菱形的3条性质吗？
四、我的疑惑
____________________________________________________________
要点探究
探究点1：菱形的性质
活动1 如何利用折纸、剪切的方法,既快又准确地剪出一个菱形纸片？观看下面讲解：
第一步：从下往上对折纸片；
第二步：从左往右对折纸片；第三步：画斜线，剪下直角三角形.
活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图）.
想一想 1.菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴.
2.根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系?菱形的两对角线有什么关系?
猜想1：菱形的四条边都__________.
猜想2：菱形的两条对角线互相_______，并且每一条对角线________一组对角.
证一证 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB = BC = CD =AD；
(2)AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB___CD，AD___BC.
又∵AB=AD,
∴AB___BC___CD___AD.
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是______三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB___OD.
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO___BD，AO平分∠BAD，
即AC___BD，∠DAC____∠BAC.
同理可证∠DCA___∠BCA，∠ADB___∠CDB，∠ABD___∠CBD.
要点归纳：菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
1.对称性：是轴对称图形.
2.边：四条边都相等.
3.对角线：互相垂直，且每条对角线平
分一组对角.
1.角：对角相等.
2.边：对边平行且相等.
3.对角线：相互平分.
例1如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
例2 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
方法总结:菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
例3 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
针对训练
1.如图，在菱形ABCD中,已知∠A＝60°,AB＝5,则△ABD的周长是 （ ）
A.10 B.12 C.15 D.20
2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.
探究点2：菱形的面积
想一想: 1.菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗?
2.前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?
3.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
=________+________
=____AC(_____+_____)
=_____________.
要点归纳：菱形的面积 = 底×高 = ___________乘积的一半.
典例精析
例4 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
方法总结:菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．
例5(教材P56例3变式)如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：
两条对角线的长度；
菱形的面积．
方法总结:菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是60°时，菱形被分为以60°为顶角的两个等边三角形.
针对训练
如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（ ）
A.2.4cm B.4.8cm
C.5cm D.9.6cm
二、课堂小结
菱形的性质
菱形的性质
边：1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
角：两组对角分别相等，邻角互补邻角互补
对角线：1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
有关计算
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（ ）
A.18 B.16
C.15 D.14
3.根据下图填一填：
（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长是 ______.
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝_______.
（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是_______.
（4）菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11cm，菱形的周长为______.
（5）菱形的面积为64cm2，两条对角线的比为1∶2,则菱形最短的那条对角线长为______.
4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
求:(1)对角线AC的长度;(2)菱形ABCD的面积.
5. 如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE．
如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过
B点作作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱 形
第2课时 菱形的判定
学习目标：1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理；
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
重点：经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理.
难点：会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
一、知识回顾
1.菱形的定义是什么？性质有哪些？
2.根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定方法是什么？用数学语言如何表示？
有一组邻边_____的______________是菱形.
数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
要点探究
探究点1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
想一想 前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？
猜想：对角线互相_________的平行四边形是菱形.
证一证 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA____OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA______BC.
∴四边形ABCD是________.
要点归纳：菱形的判定定理：对角线互相_______的____________
是菱形.
几何语言描述：∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
典例精析
例1如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
针对训练
在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ ）
A．∠ABC=90°
B．AC⊥BD
C．AB=CD
D．AB∥CD
探究点2：四条边相等的四边形是菱形
活动1 已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？
小刚：分别以A、C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两条 弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点.
想一想 根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？
猜想：四条边__________的四边形是菱形.
证一证 已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是___________.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是__________.
要点归纳：菱形的判定定理：四条边都______的四边形是菱形.
几何语言描述：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是________.
典例精析
例2 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E,F分别在AB,AD上,且AE=AC,EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
例3 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
方法总结:四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．
例4 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
针对训练
1.如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
2.如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
3.如上图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
4.在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗？
探究点3：菱形的性质与判定的综合运用
典例精析
例4 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
方法总结:判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
针对训练
如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.
二、课堂小结
内 容
菱形的判定
定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
判定定理：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
1.判断下列说法是否正确
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为24cm和26cm，那么平行四边形的面积是_____________.
3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC
C．∠B=60° D．∠ACB=60°
4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥BD.求证：四边形OCED是菱形.
5. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.
6.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
