第十八章 平行四边形
18.2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
学习目标：1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题；
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.
重点：理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.
难点：会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
一、知识回顾
1.平行四边形是什么？它有哪些性质？
你还记得长方形是什么吗？
新知预习
1.如图，现有一个活动的平行四边形，使它的一个内角变化，当内角变化为90°时，这是我们学过的哪个图形？
2.自主学习：
(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做_________，也就是长方形.
(2)矩形是特殊的平行四边形，平行四边形_________是矩形.
三、自学自测
1.矩形是常见的图形，你能举出一些生活中的实例吗？
2.矩形是特殊的平行四边形，你能根据平行四边形的性质，说出3条矩形的性质吗？
四、我的疑惑
____________________________________________________________
要点探究
探究点1：矩形的性质
思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
活动 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四个角度数和对角线的长度,并记录测量结果.
AC
BD
∠BAD
∠ADC
∠ABC
∠BCD
橡皮擦
课本
桌子
根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1 矩形的四个角都是_________.
猜想2 矩形的对角线__________.
证一证 如图,四边形ABCD是矩形,∠B=90°.
求证： ∠B=∠C=∠D=∠A=90°.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B____∠D,∠C____∠A, AB____DC.
∴∠B+∠C=_____°.
又∵∠B = 90°,
∴∠C =____°.
∴∠B=∠C=∠D=∠A =_____°.
如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相较于点O.
求证：AC=DB.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB____DC,∠ABC=∠DCB=_____°,
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,
∴△ABC____△DCB.
∴AC____DB.
思考 请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.??矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
要点归纳：矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
1.矩形的四个角都是_______.矩形的对角线________.
2.矩形是_________图形,它有_____条对称轴.
几何语言描述：
在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB.
典例精析
例1如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
例2如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
针对训练
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （ ）
A．AB∥DC B．AC=BD
C．AC⊥BD D．OA=OB
2.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.
3.如图，在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,∠DAE：∠BAE＝3：1,求∠BAE和∠EAO的度数．
探究点2：直角三角形斜边上的中线的性质
活动 如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.
问题 Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？
猜想 直角三角形斜边上的中线等于斜边的________.
证一证 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.
证明：延长BO至D, 使OD=BO,连接AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD，
∴四边形ABCD是____________.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是________，
∴AC_______BD，
∴BO=_____BD=_____AC.
要点归纳：直角三角形的性质：直角三角形斜边上的_______等于斜边的________.
典例精析
例3 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
(2)求证：EF垂直平分AD.
方法总结:当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
例4 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
方法总结:在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
针对训练
如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3cm,则AC =_____cm;
(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD =_____cm.
二、课堂小结
内 容
矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形的性质
具有平行四边形的一切性质；
四个内角都是直角，两条对角线互相平分且相等
具有2条对称轴的轴对称图形
直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A.对角线相等 B.对边相等
C.对角相等 D.对角线互相平分
2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( )
A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定
3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是 ( )
A.20 ° B.40° C.80 ° D.10°
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=______cm．
5.如图,△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______．
6.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
（1）求证：BD=BE;
（2）若∠DBC=30° , BO=4 ,求四边形ABED的面积.
能力提升
7.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.
第十八章 平行四边形
18.2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
学习目标：1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理；
2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.
重点：经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理.
难点：能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.
一、知识回顾
1.矩形的定义是什么？
2.矩形有哪些性质？
要点探究
探究点1：二次根式的乘法
想一想 1.类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
2.上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？如果不对，你的猜想是什么？
对角线_______的__________________是矩形.
证一证 已知：如图,在□ABCD中,AC,DB是它的两条对角线, AC=DB.
求证：□ABCD是矩形.
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC______△DCB ,
∴∠ABC______∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB =______°,
∴ ∠ABC = _______°,
∴ □ ABCD是__________.
思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
要点归纳：矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
典例精析
例1如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
针对训练
1.如图，在?ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定?ABCD是矩形的是 （ ）
A．AC=BD
B．AC=BC
C．AD=BC
D．AB=AD
2.如图，在平行四边形ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？
探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形
想一想 1.上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立 吗？
2.至少有几个角是直角的四边形是矩形？
猜测：有_____个角是直角的四边形是矩形.
证一证 已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=_______°,∠B+∠C=_______°，
∴AD_____BC,AB_____CD.
∴四边形ABCD是______________，
∴四边形ABCD是________.
思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
要点归纳：矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
典例精析
例3 如图， □?ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
例4 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
针对训练
在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （ ）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
二、课堂小结
内 容
矩形的判定
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
1.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是 （ ）
A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定
2.下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形.
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
4.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．
能力提升
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从A
出发沿A方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
