第十八章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定（1）
学习目标：1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路；
2.掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.
重点：经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路.
难点：掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.
一、知识回顾
1.平行四边形的定义是什么？有什么作用？
2.除了两组对边分别平行，平行四边形还有哪些性质？
3.平行四边形上面的三条性质的逆命题各是什么？
要点探究
探究点1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
猜一猜 将两长两短的四根细木条用小钉固定在一起,任意拉动，所得的四边形是平行四边形吗?
证一证
已知： 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC，
在△ABC和△CDA中,
AB=CD ，
AC=CA， ∴△ABC_____△CDA(________).
BC=DA，
∴ ∠1____∠4 , ∠ 2_____∠3，
∴AB_____CD , AD_____BC，
∴四边形ABCD是________________.
要点归纳：平行四边形的判定定理：两组对边分别_________的四边形是平行四边形.
几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是_________________.
典例精析
例1如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：四边形PONM是平行四边形．
例2如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边
△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
针对训练
如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形.
探究点2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
猜一猜 对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么?
证一证
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵∠A+∠C+∠B+∠D=_______°，
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴___∠A+___∠B=_______°，
即∠A+∠B=______°，
∴ AD_____BC.同理得 AB_____CD，
∴四边形ABCD是________________.
要点归纳：平行四边形的判定定理：两组对角分别________的四边形是平行四边形.
几何语言描述：在四边形ABCD中，∵∠A=______，∠B=______,
∴四边形ABCD是_______________.
典例精析
例3 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
针对训练
1.判断下列四边形是否为平行四边形：
2.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件： ∠A:∠B:∠C:∠D的值为 （ ）
A. 1:2:3:4 B. 1:4:2:3 C. 1:2:2:1 D. 3:2:3:2
探究点3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
猜一猜 如图,将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？
证一证
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边 形ABCD是平行四边形.
证明：在△AOB和△COD中,
OA=OC，
∠AOB=∠COD， ∴△AOB______△COD(________).
OB=OD，
∴ ∠BAO_____∠OCD , ∠ ABO_____∠CDO,
∴AB_____CD , AD_____BC，
∴四边形ABCD是________________.
要点归纳：平行四边形的判定定理：对角线互相________的四边形是平行四边形.
几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AO_____CO,DO_____BO,
∴四边形ABCD是______________.
典例精析
例4(教材P46例3变式题)如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四边形BMDN是平行四边形吗？说说你的理由.
例5昨天李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来?然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢(A,B,C为三顶点,即找出第四个顶点D)？(请用多种方法)
针对训练
1.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是 （ ）
A.两组对边分别相等 B.两条对角线互相平分
C.两条对角线相等 D.两组对边分别平行
如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O.如果AC=8cm,BD=10cm,那么当AO=_____cm,BO=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形.
二、课堂小结
内 容
平行四边形的判定（1）
定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
1.判断对错:
(1)有一组对边平行的四边形是平行四边形. ( )(2)有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形 ( )
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形 （ ） (4)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 ( )
(5)有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形 ( ）2.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA=OC，OB=OD B．AB=CD，AO=CO
C．AB=CD，AD=BC D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
如图，在四边形ABCD中，
(1)如果AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是 __________.
(2)如果∠A：∠B：∠ C：∠D=a：b：a：b(a,b为正数),那么四边形ABCD是__________.
(3)如果AD=6cm,AB=4cm,那么当BC=_______cm,CD=_____cm时,四边形ABCD为平行四边形.
4.如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD、CE，交于点P． 求证：四边形ABPE是平行四边形．
如图，已知E，F，G，H分别是平行四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
6.如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能
组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？
第十八章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定（2）
学习目标：1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.
2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.
重点：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.
难点：平行四边形的性质与判定的综合运用.
一、知识回顾
1.上节课我们学习了判定一个四边形为平行四边形的方法有哪几种？
要点探究
探究点1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
想一想 我们知道，两组对分别平行或相等的是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？对于这个问题，有以下两种猜想：
猜想1：一组对边相等的四边形是平行四边形；
猜想2：一组对边平行的四边形是平行四边形.这两种猜想对吗？如果不对，你能举出反例吗？
活动 如图，将线段AB向右平移BC长度后得到线段CD，连接AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD的形状吗？
猜一猜 经历了上面的活动，你现在能猜出，一组对边满足什么条件的四边形是平行四边形吗？
一组对边平__________________的四边形是平行四边形.
证一证
如图，在四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC.
∵AB∥CD， ∴∠1=∠2.
在△ABC和△CDA中,
AB=CD，
∠1=∠2， ∴△ABC_____△CDA(________).
AC=CA，
∴ BC=DA.
又∵AB= CD,
∴四边形ABCD是________________.
要点归纳：平行四边形的判定定理：一组对边________________的四边形是平行四边形.
几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
典例精析
例1如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形．
变式题 如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）求证：四边形CBED是平行四边形.
针对训练
1.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是 （ ）
A．AB∥CD，AB=CD
B．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC=AD
D．AB=CD，BC=AD
2.四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形.
探究点2：平行四边形的性质与判定的综合运用
典例精析
例2 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？
例3 如图，将?ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形.
方法总结:此题利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=
∠D′EA，再结合平行四边形的判定及性质进行解题.
针对训练
1.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
2.如图，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，写出图中除?ABCD以外的所有的平行四边形.
二、课堂小结
1.在?ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是 （ ） A．AF=CE B．AE=CF
C．∠BAE=∠FCD D．∠BEA=∠FCE
2.已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，周长为40cm，两邻边的比是3：2，则较大边的长度是（ ）
A．8cm B．10cm
C．12cm D．14cm
3.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形的个数共有____个.
4.如图，点E，C在线段BF上，BE=CF，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，求证：四边形ABED为平行四边形．
如图，△ABC中，AB=AC=10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE+DF的值．
能力提升
6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)．
（1）用含t的代数式表示：
AP=_____； DP=________；
BQ=________；CQ=________；
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
第十八章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
第3课时 三角形的中位线
学习目标：1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理；
2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.
重点：理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.
难点：能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.
一、知识回顾
1.平行四边形的性质和判定有哪些？
边：①AB∥CD,AD____BC
②AB=CD,AD____BC
平行四边形ABCD ③AB∥CD,AB_____CD
角：∠BAD____∠BCD，∠ABC____∠ADC
对角线：AO____CO,DO____BO
要点探究
探究点1：三角形的中位线定理
概念学习 三角形中位线：连接三角形两边中点的线段.
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE. 则线段DE就称为△ABC的中位线.
想一想 1.一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
2.三角形的中位线与中线有什么区别？
猜一猜 如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的位置关系，又有怎样的数量关系？
猜想：三角形的中位线________三角形的第三边且
________第三边的________．
量一量 度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？
证一证 如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点.
分析：
证法1：证明：延长DE到F，使EF=DE．连接AF、CF、DC．
∵AE=EC，DE=EF ，
∴四边形ADCF是_______________．
∴CF∥AD ,CF=AD，
∴CF_____BD ,CF_____BD，
∴四边形BCFD是________________，
∴DF_____BC ,DF_______BC，
∴DE_____BC ,DE=______BC.
证法2：证明：延长DE到F，使EF=DE．连接FC．
∵∠AED=∠CEF，AE=CE，
∴△ADE_____△CFE．
∴∠ADE=∠_____,AD=_______,
∴CF______AD,∴BD______CF.
∴四边形BCFD是___________________.
∴DF_______BC.
∴DE_____BC ,DE=______BC.
要点归纳：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
符号语言：△ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，
重要结论：①中位线DE、EF、DF把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE和BDEF，四边形BFED和CFDE，四边形ADFE和DFCE.
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.
典例精析
例1如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长.
例2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
方法总结：恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．
针对训练
如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点．
（1） 若DE=5，则BC=________．
（2） 若∠B=65°，则∠ADE=_________°.
（3） 若DE+BC=12，则BC=_________.
如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离为______m．
探究点2：三角形的中位线的与平行四边形的综合运用
典例精析
例4 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
方法总结:顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.
变式题 如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．求证：四边形EFGH为平行四边形.
例5 如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．
求证：DE=CF；
求EF的长．
针对训练
如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为 ( )
A.8 B.10 C.12 D.16
2.如图，?ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长．
二、课堂小结
1.如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为 （ ）
A.1 B.2 C.4 D.8
2.如图，在?ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边AB、BC、AC的中点.
（1）若∠ADF=50°，则∠B=____________°；
（2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，则△ DEF的周长为_____________.
4.在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是______________.
5. 如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，BD的延长线交AC于点F，E为BC的中点，求DE的长．
如图，E为?ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、
G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
7.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
