第十八章 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角特征
学习目标：1.掌握平行四边形的对边相等、对角相等的两条性质；
根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明；
经历“实验—猜想—验证—证明”的过程,发展学生的思维水平.
重点：掌握平行四边形的对边相等、对角相等的两条性质.
难点：根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明.
一、知识回顾
1.平行四边形的定义是什么？如何表示一个平行四边形？
2.如图，DC∥GH ∥AB，DA∥EF∥CB，图中的平行四边形有多少个？将它们表示出来.
要点探究
探究点1：平行四边形的边、角的特征
量一量1.画一个平行四边形ABCD，用尺子等工具度量它的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗?
2.再用量角器等工具度量它的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与 ∠D之间的数量关系吗?
思考 你发现了什么规律？
证一证 已知：四边形ABCD是平行四边形.
求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.
证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD___BC，AB___CD,
∴∠1___∠2，∠3___∠4.
又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴ △ABC____△CDA,
∴AD___BC，AB___CD，∠ABC___∠ADC.
∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，
∴∠BAD___∠BCD.
思考 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？
要点归纳：平行四边形的对边____________；平行四边形的对角___________．
典例精析
例1如图，在平行四边形ABCD中.
若∠A =32°,求其余三个角的度数.
连接AC，已知平行四边形ABCD的周长等于20 cm，AC=7cm，求△ABC的周长.
变式题 (1)在平行四边形ABCD中,∠A:∠B=2:3,求各角的度数.
(2)若平行四边形ABCD的周长为28cm,AB:BC=3:4,求各边的长度.
方法总结:已知平行四边形的边角的比例关系求其他边角时，常会用到方程思想，结合平行四边形的性质列方程.
例2如图，在平行四边形ABCD中,E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF，求证： BE=DF.
针对训练
1.如图，在平行四边形ABCD中.
(1)若∠A=130°，则∠B=______ ，∠C=______ ，∠D=______.
(2)若AB=3,BC=5,则它的周长= ______.
(3)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=_____，∠B=______.
2.如图，在平行四边形ABCD中，若AE平分∠DAB，AB=5cm,AD＝9cm,则EC＝_________.
3.剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？
探究点2：平行线间的距离
想一想:如图,若m // n,作 AB // CD // EF，分别交 m于A、C、E，交 n于B、D、F.
由________________________易知四边形ABCD，CDEF均为__________________.
由平行四边形的性质得AB______CD_______EF.
填一填:
如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E，F．求证：DE=BF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A_____∠C，AD______CB.
又∠AED= ∠CFB=90°，
∴ △ADE____△CBF（_____）,
∴AE_____CF.
要点归纳：1.两条平行线之间的任何平行线段都__________.
2.两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的_________.
3.两条平行线间的距离__________.
典例精析
例3 如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC=12cm2，求△ABD中AB边上的高．
二、课堂小结
平行四边形
内 容
定 义
两组对边分别平行的四边形
性 质
两组对边分别平行，相等
两组对角分别相等，邻角互补
其它结论
1.两条平行线间的距离相等
2.两条平行线间的平行线段也相等
1.判断题(对的在括号内填“√”，错的填“×”)：
(1)四平行四边形两组对边分别平行且相等 ( )
(2)平行四边形的四个内角都相等 ( )
(3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180° ( )
(4)如果平行四边形相邻两边长分别是2cm和3cm，那么周长是10cm ( )
(5)在平行四边形ABCD中，如果∠A=42°，那么∠B=48° ( )
(6)在平行四边形ABCD中，如果∠A=35°，那么∠C=145° ( )
2.在平行四边形ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（ ）
A .45° B. 55° C. 65° D. 75°
3.如图，D、 E、F 分别在△ABC的边AB、BC、AC上，且DE∥AC,DF∥BC,EF∥AB，则图中有_____个平行四边形.
4.如图，直线AE//BD,点C在BD上,若AE=5，BD=8,△ABD的面积为16,则△ACE的面积为____________.
5.已知在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC,BF平分∠ABC.求证:AE=CF.
6.有一块形状如图所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？
7.如图，在△ABC中,AD平分∠BAC,点M,E,F分别是AB,AD,AC上的点,四边形BEFM是平行四边形.
求证：AF=BM.
第十八章 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的对角线的特征
学习目标：1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；
2.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想， 体会图形性质探究的一般思路.
重点：掌握平行四边形对角线互相平分的性质.
难点：经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想， 体会图形性质探究的一般思路.
一、知识回顾
1.你能说出平行四边形边、角的特征吗？
平行四边形对边互相___________;
平行四边形对边__________;
平行四边形对角__________.
要点探究
探究点1：平行四边形的对角线的性质
猜一猜 如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O. OA与OC,OB与OD有什么关系?
证一证
已知：如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD___BC，AD___BC,
∴ ∠1___∠2，∠3___∠4,
∴ △AOD___△COB（______）,
∴ OA____OC，OB____OD.
要点归纳：平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相_________.
应用格式：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD.
典例精析
例1如图，已知平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．
方法总结:平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
变式题如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，平行四边形ABCD的周长是100cm，△AOB与△BOC的周长的和是122cm，且AC:DB= 2:1，求AC和BD的长．
例2如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF.
变式题请判断下列图中，OE=OF还成立么？
方法总结:过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.
针对训练
1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD=16，AC=24，BD=12，则△OBC的周长为 （ ）
A.26 B.34 C.40 D.52
2.如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，则对角线AC、BD的长度的和是 （ ）
A.9 B.18 C.27 D.36
3.如图,平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
探究点2：平行四边形的面积
典例精析
例3 如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积.
方法总结:已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形性质列方程求解.
例4平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？
方法总结：平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
例5如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
变式题如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
方法总结：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
针对训练
1.把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是9cm2和12cm2，求平行四边形的面积．
2.如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井，为了浇水的方便，欢欢建议我们经过水井修小路，一样可以把草地分成面积相等的两部分，同学们，你知道聪明的欢欢是怎么分的吗？
二、课堂小结
1.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且 AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是
（ ）
A. 10 B. 14 C. 20 D. 22
2.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 （ ）
A．∠ABO=∠CDO B．∠BAD=∠BCD
C．AO=CO D．AC⊥BD
在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m, 则m的取值范围是 ( )
A. 24C.74.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（ ）
A.16 B.14
C.12 D.10
如图，平行四边形ABCD的面积为20，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，CD上的点，且AE=DF，则图中阴影部分的面积为_______．
如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，则BD
的长是_______.
7.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长是多少？
能力提升
8.如图，已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，AC=24，BD=18，AB=16,求△OCD的周长及AD边的取值范围．
