第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标：1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用
面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想；
2.会用勾股定理进行简单的计算.
重点：用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.
难点：会用勾股定理进行简单的计算.
一、知识回顾
1.网格中每个小正方形的面积为单位1,你能数出图中的正方形A、B 的面积吗？你又能想到什么方法算出正方形C的面积呢？
000
要点探究
探究点1：勾股定理的认识及验证
想一想 1.2500年前，毕达哥拉斯去老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面，联想到了正方形A，B和C面积之间的关系，你能想到是什么关系吗？
2.右图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？
3.在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)
4.正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
思考 你发现了直角三角形三条边之间的什么规律？你能结合字母表示出来吗？
猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么________.
活动2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想.
证法 利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”
要点归纳：
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
公式变形：
探究点2：利用勾股定理进行计算
典例精析
例1如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
若a=b=5,求c;
若a=1,c=2,求b.
变式题1 在Rt△ABC中， ∠C=90°.
若a：b=1：2 ，c=5,求a;
若b=15，∠A=30°,求a,c.
方法总结:已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
变式题2 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
针对训练
求下列图中未知数x、y的值：
二、课堂小结
内 容
勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
注 意
1.在直角三角形中
2.看清哪个角是直角
3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
右图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_____________.
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c=_______.
（2）若c=13，b=12，则a=_______.
4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.
5.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的面积.
6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．
能力提升：
7.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积.
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
学习目标：1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题；
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.
重点：运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.
难点：能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.
一、知识回顾
1. 你能补全以下勾股定理的内容吗？
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么____________.
勾股定理公式的变形：a=_________,b=_________,c=_________.
在Rt△ABC中，∠C=90°.
(1)若a=3,b=4,则c=_________;(2)若a=5,c=13,则b=_________.
要点探究
探究点1：勾股定理的简单实际应用
典例精析
例1在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
方法总结:利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.
针对训练
湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点
C测得CA=130米,CB=120米,则 AB为 ( )
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.
（1）求这条“径路”的长；
（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？
探究点2：利用勾股定理求两点距离及验证“HL”
思考:在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
证明:如图,在Rt△ABC 和Rt△A’ B’ C’中,∠C=∠C’=90°, AB=A’ B’,AC=A’ C’．
求证：△ABC≌△A’ B’ C’ ．
证明：在Rt△ABC 和Rt△A’ B’ C’中，∠C=∠C’=90°，
根据勾股定理得BC=_______________,B’ C’=_________________.
∵AB=A’ B’，AC=A’ C’，∴_______=________.
∴____________≌____________ (________)．
典例精析
例2 如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离.
方法总结:两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点
探究点3：利用勾股定理求最短距离
想一想:1.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近(在以下四条路线中选择一条)？
2.若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3，请求出最短路线的长度.
要点归纳:立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
典例精析
例3 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3）?
变式题 小明拿出牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？
例4 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
方法总结:求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.
针对训练
1.如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少
二、课堂小结
1.从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是（ ）
A.24m B.12m C.m D. cm
2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（ ）
A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm
3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_______.
4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
能力提升
6.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
