第十六章 二次根式
16.3 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
学习目标：1.了解二次根式的加、减运算法则；
2.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.
重点：了解二次根式的加、减运算法则.
难点：会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.
一、知识回顾
1.满足什么条件的二次根式是最简二次根式?
2.化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点?
要点探究
探究点1：在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式
类比探究 在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考：
(1)由左图，易得2a+3a= ；
(2)当a=时，分别代入左、右得；
(3)当a=时，分别代入左、右得；......
(4)根据右图，你能否直接得出当a=，b=时，2a+3b的值？结果能进行化简吗？
.
要点归纳：（1）判断几个二次根式是否可以合并（加减运算），一定都要化为最简二次根式再判断.（2）合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：
典例精析
例1 若最简根式与可以合并，求的值.
方法总结:确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，指数都为2列关于待定字母的方程求解即可.
【变式题】如果最简二次根式与可以合并，那么要使式子有意义，求x的取值范围.
针对训练
1.下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.与最简二次根式能合并，则m=_____.
3.下列二次根式，不能与合并的是________(填序号）.
探究点2：二次根式的加减及其应用
思考 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
问题1 怎样列式求两个正方形边长的和?
问题2 所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.
要点归纳：二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
加减法的运算步骤：(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；
(2)找——找出被开方数相同的二次根式；
(3)并——把被开方数相同的二次根式合并.
典例精析
例2 (教材P13例2变式题)计算：
例3 已知a,b,c满足.
(1)求a,b,c的值；
(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.
分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零；(2)根据三角形的三边关系来判断.
【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为，求其周长.
二次根式的加减与等腰三角形的综合运用，关键是要分类讨论及会比较两个二次根式的大小.
针对训练
1.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知一个矩形的长为，宽为，则其周长为________.
二、课堂小结
二次根式的加减
内容
法则
一般地，二次根式的加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
注意
(1)与实数的运算顺序一样；
(2)实数的运算律仍然适用；
(3)结果要化成最简形式.
1.二次根式：中，与能进行合并的是（ ） A. B. C. D.
2.下列运算中错误的是 （ ）
A. B. C. D.
3.三角形的三边长分别为则这个三角形的周长为________.
4.计算:
5.计算:
6.下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02m2和150.72m2，求圆环的宽度d（π取3.14）.
能力提升
7.已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b=，求(2*3)－(27*32)的值．
第十六章 二次根式
16.3 二次根式的加减
第2课时 二次根式的混合运算
学习目标：1.掌握二次根式的混合运算的运算法则；
2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.
重点：二次根式的混合运算的运算法则.
难点：运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.
一、知识回顾
1.二次根式的乘、除法则是什么？
2.怎样进行二次根式的加减运算？
3.填空：m(a+b+c)= ；(m+n)(a+b)= ；(ma+mb+mc)÷m= .
要点探究
探究点1：二次根式的混合运算及应用
算一算：若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？
要点归纳：二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
典例精析
例1(教材P14例3变式题)计算：
方法总结:有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.
例2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽，下底宽 ，高的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？
针对训练
计算：
探究点2：利用乘法公式进行二次根式的运算
问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些?
问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?
典例精析
例3(教材P14例4变式题)计算：
方法总结:进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.
【变式题】计算：
针对训练
计算：
探究点3：求代数式的值
例4 已知试求x2+2xy+y2的值.
【变式题】 已知，求x3y+xy3.
方法总结:用整体代入法求代数式值的方法：求关于x,y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求x+y,xy,x-y, 等的值，然后将所求代数式适当变形成知含x+y,xy,x-y,等式子，再代入求值.
例5 计算:
方法总结:分母形如的式子，分子、分母同乘以的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.
【变式题】 已知,求 .
二、课堂小结
二次根式的混合运算
内容
运算顺序
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.（注意乘法公式的运用）
化简求值
先将代数式化简，再代入求值，结果要是最简形式.
1.下列计算中正确的是（ ）
2.计算
3.设则a b(填“>”“ < ”或“= ”）.
4.计算：
在一个边长为cm的正方形内部，挖去一个边长为 cm的正方形，求剩余部分的面积.
6.(1) 已知，求的值；
(2) 已知，求的值.
能力提升
7.阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：
方法二：
(1)请用两种不同的方法化简：
(2)化简：
