5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学八年级上册同步学案
第五章　二元一次方程组
5　应用二元一次方程组——里程碑上的数
要 点 讲 解
要点一　数字问题
1. 解决数字问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关的概念、特征及其表示方法.如：当n为整数时，奇数可表示为2n＋1(或2n－1)，偶数可表示为2n等，其次要弄清一个数的不同数位上的数字之间的排列关系，一般地，两位数的表示方法是：十位数字乘10加个位数字，如：78＝7×10＋8；三位数的表示方法是：百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字.如：231＝2×100＋3×10＋1.
2. 不要错误地认为将各位上的数字排列起来就可以表示数.
经典例题1　小丽和小华给大家出了道难题：小丽让个位上的数字比十位上的数字大5，小华把这个数的个位数字和十位数字位置对换，那么所得的新数与原数的和是143.这个两位数是多少？
解析：本题可采用间接设元法，设个位数字为x，十位数字为y.两位数的表示方法为(10y＋x)，交换后为(10x＋y).
解：设个位数字为x，十位数字为y，由题意，可得方程组
解这个方程组，得
10y＋x＝49.
答：这个两位数是49.
要点二　行程问题
1. 路程＝速度×时间.
2. 航行问题
顺水速度＝静水速度＋水速；逆水速度＝静水速度－水速.
经典例题2　小明从家骑自行车去海边，先下山后走平路，他以每小时12千米的速度下山，又以每小时9千米的速度通过平路，到达海边共用55分钟；他回来时以每小时8千米的速度通过平路，然后以每小时4千米的速度上山，回到家共用1.5小时.则他家到海边有多远？
解析：设出山路和平路的路程，从家到海边走山路和平路共用了55分钟，从海边到家走平路和山路共用了1.5小时，利用这两个相等关系列出方程组解答即可.
解：设山路有x千米，平路有y千米，
根据题意，得
解这个方程组，得
3＋6＝9(千米).
答：他家到海边共有9千米.
易错易混警示　不能根据已知条件正确地用代数式表示两位数或三位数
解答数字问题时，要注意数字与数位的关系，如a在个位为a，在十位则为10a，而在百位则为100a，即三位数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字.
经典例题3　有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又已知百位数字的9倍比由十位和个位数字组成的两位数小3，试求原来的三位数.
解析：此题中有三位数字，根据两个条件可知，不必设三个未知数，只需把它看成一个百位数字x和一个由十位和个位数字组成的两位数y，则这个三位数可以看成100x＋y.若将最左边百位数字移到最右边，就变成了个位数字，新的三位数可表示成为10y＋x.
题中的等量关系如下：
(1)百位数字的9倍＝由十位和个位数字组成的两位数减去3；
(2)新三位数：原三位数减去45.
解：设原来的三位数的百位数字为x，由十位和个位数字组成的两位数为y，则原三位数为100x＋y，对调后的新三位数为10y＋x.根据题意，得
 解得所以原来
的三位数是439.
点拨：通过灵活选择设未知数的方法，将一个复杂的数字问题转化为简单的数字问题，这种题型还可延伸为一个四位数、五位数等.
当 堂 检 测
1. 已知两数x，y之和是10，x比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是(　　)
A.  B.  C.  D. 
2. 一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是(　　)
A. 16 B. 25 C. 52 D. 61
3. 学校到县城有28千米，全程需1小时，除乘汽车外，还需要步行一段路，已知汽车的速度为36千米/时，人步行的速度为4千米/时，则步行用了(　　)
A. 13分钟 B. 14分钟 C. 15分钟 D. 16分钟
4. 已知某桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过轿共有1分钟，整列火车在桥上的时间为40秒.设火车的速度为每秒x米，车长为y米，所列方程正确的是(　　)
A.  B. 
C.  D. 
5. 甲、乙二人练习跑步，如果甲让乙先跑10米，甲跑5秒就追上乙，如果甲让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙，若设甲、乙每秒钟分别跑x米和y米，列出的方程应是(　　)
A.  B. 
C.  D. 
6. 某船顺流航行48km用4h，逆流航行32km用4h，则水流的速度与船在静水中的速度分别为(　　)
A. 2km/h，10km/h B. 5km/h，9km/h
C. 5km/h，12 km/h D. 8km/h，11km/h
7. 小华4年后的年龄与小丽4年前的相等，3年后她们两人的年龄和等于她们今年年龄差的3倍.则小华和小丽今年的年龄分别为 .
8. 已知两数之和是26，两数之差是2，则这两个数从小到大分别是 .
9. 一个两位数，个位上数字是十位上数字的2倍，且这两个数字之和等于12，则这个两位数是 .
10. 甲、乙两人分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动，甲的速度较快，当两人反向运动时，每15秒相遇一次；当两人同向运动时，每1分钟相遇一次，求两人的速度.
11. 甲、乙两人做加法，甲在其中一个加数后面多写了一个0，得和为2342，乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为65，求原来的两个加数.
当堂检测参考答案
1. C 2. A 3. C 4. B 5. C 6. A
7. 5岁，13岁
8. 12，14
9. 48
10. 解：设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒，根据题意得解得答：甲、乙两人的速度分别为25米/秒、15米/秒.
11. 解：设原来的两个加数分别为x，y，根据题意，得解得答：原来的两个加数为230，42.