2019-2020学年人教版选修3-4 11.4单摆 课时对点练（解析版）

课时对点练
一、选择题
考点一　单摆及单摆的回复力
1．(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是(　　)
A．摆线质量不计
B．摆线不可伸缩
C．摆球的直径比摆线长度小得多
D．只要是单摆的运动就一定是简谐运动
答案　ABC
解析　只有在偏角很小的情况下才能视单摆运动为简谐运动．
2．关于单摆，下列说法中正确的是(　　)
A．摆球运动的回复力是它受到的合力
B．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点时，加速度是不变的
C．摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置
D．摆球经过平衡位置时，加速度为零
答案　B
解析　摆球的回复力为重力沿轨迹切线方向的分力，A错误；摆球经过最低点时，回复力为0，但合力提供向心力，C、D错误；由简谐运动特点知B正确．
考点二　单摆的周期公式
3．(多选)如图1所示为单摆的振动图象，取g＝10 m/s2，π2＝10，根据此振动图象能确定的物理量是(　　)
图1
A．摆长 B．回复力
C．频率 D．振幅
答案　ACD
解析　由题图知，振幅为A＝3 cm，单摆的周期为T＝2 s，由单摆的周期公式T＝2π，得摆长l＝1 m，频率f＝＝0.5 Hz，摆球的回复力F＝－mg，由于摆球的质量未知，无法确定回复力，A、C、D正确．
4.如图2所示，单摆的周期为T，则下列说法正确的是(　　)
图2
A．把摆球质量增加一倍，其他条件不变，则单摆的周期变小
B．把摆角α变小，其他条件不变，则单摆的周期变小
C．将此摆从地球移到月球上，其他条件不变，则单摆的周期将变长
D．将单摆摆长增加为原来的2倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T
答案　C
解析　根据单摆的周期公式T＝2π知，周期与摆球的质量和摆角无关，摆长增加为原来的2倍，周期变为原来的倍，故A、B、D错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，由周期公式T＝2π知将此摆从地球移到月球上，单摆的周期将变长，C正确．
5．做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的，则单摆振动的(　　)
A．周期不变，振幅不变
B．周期不变，振幅变小
C．周期改变，振幅不变
D．周期改变，振幅变大
答案　B
解析　由单摆的周期公式T＝2π可知，当摆长l不变时，周期不变，故C、D错误；由能量守恒定律可知mv2＝mgh，其摆动的高度与质量无关，因摆球经过平衡位置时的速度减小，则最大高度减小，知振幅减小，选项B正确，A错误．
6.(多选)(2018·屯溪一中高二第二学期期中)如图3所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点正下方的O′点钉一个光滑钉子，使OO′＝，将单摆拉至A处释放，小球将在A、B、C间来回振动，若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°，则以下说法正确的是(　　)
图3
A．由于机械能守恒，可得摆角大小不变
B．A和C两点在同一水平面上
C．周期T＝2π(＋)
D．周期T＝π(＋)
答案　BD
7．(多选)(2018·西城区高二检测)如图4甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图象如图乙所示．不计空气阻力，g取10 m/s2.对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是(　　)
图4
A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin (πt) cm
B．单摆的摆长约为1 m
C．从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
D．从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小
答案　AB
解析　由振动图象可读出周期T＝2 s，振幅A＝8 cm，由ω＝得到圆频率ω＝π rad/s，则单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝Asin ωt＝8sin (πt) cm，故A正确．由公式T＝2π，解得l≈1 m，故B正确．从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，摆球的位移减小，回复力减小，速度增大，所需向心力增大，绳子的拉力增大，故C、D错误．
二、非选择题
8．正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图5所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时30 s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1 m，当地重力加速度g取π2(m/s2)；根据以上数据可得小球运动的周期T＝________ s；房顶到窗上沿的高度h＝________ m.
图5
答案　3　3
解析　n＝×(21－1)＝10，T＝＝3 s，
T＝＋＝(2π＋2π)，
解得h＝3 m.
9．(2018·北京101中学高二下学期期中)根据单摆周期公式可以通过实验测量当地的重力加速度，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球，就做成了单摆．
(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图6所示，读数为________mm.
图6
(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________．
a．摆线要选择细些、伸缩性小些的，并且尽可能长一些
b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的
c.为了使摆的周期大一些，以方便测量,开始时拉开摆球,使摆线相距平衡位置有较大的角度
d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时时间间隔Δt即为单摆周期T
e．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝
答案　(1)18.6　(2)abe
解析　(1)由题图游标卡尺可知，其示数为18 mm＋6×0.1 mm＝18.6 mm.
(2)为减小实验误差，摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽量长一些，故a正确；为减小空气阻力对实验的影响，减小实验误差，摆球尽量选择质量大些、体积小些的，故b正确；摆长一定的情况下，摆的振幅尽量小些，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置不能有太大的角度，故c错误；为准确测量单摆周期，应从摆球经过平衡位置时开始计时，测出多个周期的时间，然后求出平均值作为周期，故d错误；拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝，可减小实验误差，故e正确．
10．(2018·东北育才学校高二下学期期中)在用单摆测重力加速度的实验中：
(1)为了比较准确地测量出当地的重力加速度值，应选用下列所给器材中的哪些？将所选用的器材的字母填在题后的横线上．
A．长1 m左右的细绳； B．长30 m左右的细绳；
C．直径2 cm的铅球； D．直径2 cm的铁球；
E．秒表； F．时钟；
G．最小刻度是厘米的直尺； H．最小刻度是毫米的直尺．
所选择的器材是________．
(2)实验时摆线偏离竖直线的要求是_____________，理由是____________．
(3)某同学测出不同摆长时对应的周期T，作出T2－L图线，如图7所示，再利用图线上任两点A、B的坐标(x1，y1)、(x2，y2)，可求得g＝________________.若该同学测摆长时漏加了小球半径，而其他测量、计算均无误，也不考虑实验误差，则用上述方法算得的g值和真实值相比是________的(选填“偏大”、“偏小”或“不变”)．
图7
答案　(1)ACEH
(2)摆线与竖直方向的夹角不超过5°　只有在偏角不超过5°的情况下，单摆的周期公式T＝2π才成立
(3)4π2·　不变
11．(2018·临漳一中高二下学期期中)实验小组的同学们用如图8所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验．
图8
(1)用L表示单摆的摆长，用T表示单摆的周期，重力加速度g＝________.
(2)实验时除用到秒表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的________(选填选项前的字母)．
A．长约1 m的细线
B．长约1 m的橡皮绳
C．直径约1 cm的均匀铁球
D．直径约10 cm的均匀木球
(3)选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，应采用图________中所示的固定方式(选填“甲”或“乙”)．
(4)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是________(选填选项前的字母)．
A．测出摆线长作为单摆的摆长
B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动
C．在摆球经过平衡位置时开始计时
D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期
(5)乙同学测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是____________(选填选项前的字母)．
A．开始摆动时振幅较小
B．开始计时时，过早按下秒表
C．测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间．
(6)丙同学画出了单摆做简谐运动时的振动图象如图9所示，则摆线偏离竖直方向的最大摆角的正弦值约为________(结果保留一位有效数字)．
图9
答案　见解析
解析　(1)由周期公式T＝2π得g＝
(2)为减小误差应保持摆线的长度不变，则A正确，B错误；为减小误差，摆球密度要大，体积要小，则C正确，D错误．
(3)悬点要固定，则为题图乙．
(4)摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，A错误；应把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动，故B正确；应在摆球经过平衡位置时开始计时，C正确；把秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期，误差较大，应采用累积法测量周期，D错误．
(5)由T＝2π得g＝.振幅大小与g无关，故A错误；开始计时时，过早按下秒表，所测周期偏大，则g偏小，B错误；测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间，则所测周期偏小，则g偏大，C正确．
(6)由题图可知周期为2 s，由T＝2π得L＝＝ m≈1 m，振幅为4 cm＝0.04 m，则sin θ≈＝0.04.
12.如图10所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心O′的正下方，一小球甲(可视为质点)由距O点很近的A点由静止释放，R?.
图10
(1)若小球甲释放的同时，另一小球乙(可视为质点)从球心O′处自由落下，问两球第一次到达O点的时间比；
(2)若小球甲释放的同时，另一小球丙(可视为质点)在O点正上方某处自由落下，为使两球在O点相碰，小球应由多高处自由落下？
答案　(1)π∶4　(2)(n＝1,2,3，…)
解析　(1)甲球沿圆弧做简谐运动，它第一次到达O点的时间为t1＝T＝×2π＝.
乙球做自由落体运动，到达O点的时间为t2
R＝gt22，所以t2＝，t1∶t2＝π∶4.
(2)小球甲从A点由静止释放运动到O点的时间为t＝(2n－1)，n＝1,2,3，…，由O点正上方自由落下的小球丙到达O点的时间也为t时两球才能在O点相碰，所以h＝gt2＝(n＝1,2,3，…).