专训1 乘法公式的应用
名师点金：在乘法公式中添括号的“两种技巧”：
(1)当两个三项式相乘，且它们只含相同项和相反项时，常常需通过添括号把相同项、相反项分别结合，一个化为“和”的形式，一个化为“差”的形式，然后利用平方差公式计算．
(2)当一个三项式进行平方时，常常需通过添括号把其中两项看成一个整体，然后利用完全平方公式计算．
直接活用公式
1．计算：
(1)(x2＋1)2－4x2；
(2)(2x＋1)2－(2x＋5)(2x－5)；
(3)(x＋y)2－4(x＋y)(x－y)＋4(x－y)2.
交换位置应用公式
2．计算：
(1)(－2x－y)(2x－y)；
(2)；
(3)(－2a＋3b)2.
添括号后整体应用公式
3．灵活运用乘法公式进行计算：
(1)；
(2)(a＋2b－c)(a－2b－c)．
连续应用公式
4．计算：
(1)(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)；
(2)(3m－4n)(3m＋4n)(9m2＋16n2)．
逆向应用公式
5．(1)计算：(a2－b2)2－(a2＋b2)2；
(2)已知(6x－3y)2＝(4x－3y)2，xy≠0，求的值．
变形后应用公式
6．(1)计算：①1992； ②982－101×99.
(2)已知x＋y＝3，xy＝－7，求：
①x2＋y2的值；
②x2－xy＋y2的值；
③(x－y)2的值．
(3)已知a＋＝3，求的值．
答案
1．解：(1)原式＝x4＋2x2＋1－4x2
＝x4－2x2＋1.
(2)原式＝4x2＋4x＋1－(4x2－25)
＝4x2＋4x＋1－4x2＋25
＝4x＋26.
(3)原式＝(x2＋2xy＋y2)－4(x2－y2)＋4(x2－2xy＋y2)
＝x2＋2xy＋y2－4x2＋4y2＋4x2－8xy＋4y2
＝x2－6xy＋9y2.
2．解：(1)原式＝(－y－2x)(－y＋2x)
＝y2－4x2.
(2)原式＝
＝4x4－.
(3)原式＝(3b－2a)2
＝9b2－12ab＋4a2.
3．解：(1)原式＝
＝－4＋4
＝m2－mn＋n2－2m＋4n＋4.
(2)原式＝[(a－c)＋2b][(a－c)－2b]
＝(a－c)2－4b2
＝a2－2ac＋c2－4b2.
4．解：(1)原式＝(a2－b2)(a2＋b2)(a4＋b4)
＝(a4－b4)(a4＋b4)
＝a8－b8.
(2)原式＝(9m2－16n2)(9m2＋16n2)
＝81m4－256n4.
5．解：(1)原式＝[(a2－b2)＋(a2＋b2)][(a2－b2)－(a2＋b2)]
＝2a2·(－2b2)
＝－4a2b2.
(2)由题意得 (6x－3y)2－(4x－3y)2＝0，
[(6x－3y)＋(4x－3y)][(6x－3y)－(4x－3y)]＝ 0，
(10x－6y)·2x＝ 0，
20x2－12xy＝ 0，
20x2＝ 12xy，
因为xy≠0，所以x≠0，所以＝.
6．解：(1)①原式＝(200－1)2
＝2002－400＋12
＝40 000－400＋1
＝39 601.
②原式＝(100－2)2－(100＋1)×(100－1)
＝1002－400＋22－1002＋12
＝－395.
(2)①x2＋y2＝(x＋y)2－2xy
＝32－2×(－7)
＝23.
②x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy
＝32－3×(－7)
＝30.
③(x－y)2＝(x＋y)2－4xy
＝32－4×(－7)
＝37.
(3)因为a＋＝3，所以＝9，即a2＋2＋＝9，
所以a2＋＝9－2＝7，所以＝a2－2＋＝7－2＝5.
专训2 活用乘法公式进行计算的六种技巧
名师点金：乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可以正用，也可以逆用．在使用公式时，要注意以下几点：(1)公式中的字母a，b可以是任意一个式子；(2)公式可以连续使用；(3)要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点；(4)在运用公式时要学会运用一些变形技巧．
巧用乘法公式的变形求式子的值
1．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4.求a2＋b2和ab的值．
2．已知x＋＝3，求x4＋的值．
巧用乘法公式进行简便运算
3．计算：
(1)1982； (2)2 0042；
(3)2 0172－2 016×2 018；
(4)1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12.
巧用乘法公式解决整除问题
4．试说明：(n＋4)2－(n－3)2(n为正整数)能被7整除．
应用乘法公式巧定个位数字
5．试求(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1的个位数字．
巧用乘法公式解决复杂问题(换元法)
6．计算的值．
巧用乘法公式解决实际问题(分类讨论思想)
7．王老师在一次团体操队列队形设计中，先让全体队员排成一方阵(行与列的人数一样多的队形，且总人数不少于25人)，人数正好够用，然后再进行各种队形变化，其中一个队形需分为5人一组，手执彩带变换队形，在讨论分组方案时，有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人，你说这可能吗？
答案
1．解：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝7，(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝4，
所以a2＋b2＝×(7＋4)＝×11＝，
ab＝×(7－4)＝×3＝.
2．解：因为x＋＝3，所以＝x2＋＋2＝9，
所以x2＋＝7，所以＝x4＋＋2＝49，
所以x4＋＝47.
3．解：(1)原式＝(200－2)2＝2002－800＋4＝39 204.
(2)原式＝(2 000＋4)2＝2 0002＋16 000＋16＝4 016 016.
(3)原式＝2 0172－(2 017－1)×(2 017＋1)
＝2 0172－(2 0172－12)
＝2 0172－2 0172＋1
＝1.
(4)原式＝＋(982－972)＋…＋(42－32)＋(22－12)
＝(100＋99)×(100－99)＋(98＋97)×(98－97)＋…＋(4＋3)×(4－3)＋(2＋1)×(2－1)
＝100＋99＋98＋97＋…＋4＋3＋2＋1
＝
＝5 050.
4．解：(n＋4)2－(n－3)2
＝n2＋8n＋16－(n2－6n＋9)
＝14n＋7
＝7(2n＋1)．
因为n为正整数，所以2n＋1为正整数，
所以(n＋4)2－(n－3)2能被7整除．
5．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1
＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1
＝…
＝(264－1)＋1＝264＝(24)16＝1616.
因此个位数字是6.
6．解：设20 182 017＝m，则原式＝
＝
＝
＝.
7．解：人数可能为(5n)2，(5n＋1)2，(5n＋2)2，(5n＋3)2，(5n＋4)2(n为正整数)．
(5n)2＝5×5n2；
(5n＋1)2＝25n2＋10n＋1＝5(5n2＋2n)＋1；
(5n＋2)2＝25n2＋20n＋4＝5(5n2＋4n)＋4；
(5n＋3)2＝25n2＋30n＋9＝5(5n2＋6n＋1)＋4；
(5n＋4)2＝25n2＋40n＋16＝5(5n2＋8n＋3)＋1.
由此可见，无论哪一种情况，总人数按每组5人分，要么不多出人数，要么多出的人数是1或4，不可能是3.
专训3 整体思想在整式乘法运算中的应用
名师点金：解决某些数学问题时，把一组数或一个式子看作一个整体进行处理，不仅可以简化解题过程，而且还能拓宽思路，培养创新意识，体现了数学中的一种重要思想——整体思想．这一思想在整式的乘法运算中体现明显，在解题中应用较多，要引起重视．
幂的运算中的整体思想
1．已知2x＋3y－3＝0，求3·9x·27y的值．
乘法公式运算中的整体思想
化繁为简整体代入
2．已知a＝x－20，b＝x－18，c＝x－16，
求式子a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值．
变形后整体代入
3．已知x＋y＝4，xy＝1，求式子(x2＋1)(y2＋1)的值．
4．已知a－b＝b－c＝，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值．
5．已知a2＋a－1＝0，求a3＋2a2＋2 018的值．
6．已知(2 016－a)(2 018－a)＝2 017，求(2 016－a)2＋(2 018－a)2的值．
多项式乘法运算中的整体思想
数字中的换元
7．若M＝123 456 789×123 456 786，N＝123 456 788×123 456 787，试比较M与N的大小．
多项式中的换元
8．计算：(a1＋a2＋…＋an－1)(a2＋a3＋…＋an－1＋an)－(a2＋a3＋…＋an－1)(a1＋a2＋…＋an)(n≥3，且n为正整数)．
答案
1．解：3·9x·27y＝3·(32)x·(33)y＝3·32x·33y＝31＋2x＋3y.
因为2x＋3y－3＝0，所以2x＋3y＝3，
所以原式＝31＋3＝34＝81.
点拨：本题运用了整体思想和转化思想．
2．解：由a＝x－20，b＝x－18，c＝x－16，可得a－b＝－2，b－c＝－2，c－a＝4.从而a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]＝×[(－2)2＋(－2)2＋42]＝×24＝12.
3．解：(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋x2＋y2＋1＝(xy)2＋(x＋y)2－2xy＋1.把x＋y＝4，xy＝1整体代入得12＋42－2×1＋1＝16，即(x2＋1)(y2＋1)＝16.
4．解：由a－b＝b－c＝，可以得到a－c＝.由(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ac)，得到ab＋bc＋ca＝(a2＋b2＋c2)－[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]．将a2＋b2＋c2，a－b，b－c及a－c的值整体代入，可得ab＋bc＋ca＝1－×[()2＋＋]＝1－×＝－.
5．解：因为a2＋a－1＝0，①
所以将等式两边都乘a，可得a3＋a2－a＝0.②
将①②相加得a3＋2a2－1＝0，即a3＋2a2＝1.
所以a3＋2a2＋2 018＝1＋2 018＝2 019.
6．解：(2 016－a)2＋(2 018－a)2＝[(2 016－a)－(2 018－a)]2＋2(2 016－a)(2 018－a)＝(－2)2＋2×2 017＝4＋4 034＝4 038.
点拨：本题运用乘法公式的变形x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，结合整体思想求解，使计算简便．
7. 解：设123 456 788＝a，则123 456 789＝a＋1，123 456 786＝a－2，123 456 787＝a－1.从而M＝(a＋1)(a－2)＝a2－a－2，N＝a(a－1)＝a2－a.所以M－N＝(a2－a－2)－(a2－a)＝－2＜0，所以M＜N.
8．解：设a2＋a3＋…＋an－1＝M，则原式＝(a1＋M)(M＋an)－M(a1＋M＋an)＝a1M＋a1an＋M2＋anM－a1M－M2－anM＝a1an.
点拨：本题如果按正常展开的方式来运算显然是很复杂的．这一类带“…”的题中，往往蕴藏着重要的技巧，而发现技巧的关键是观察．因此在解决这类问题时，不要忙于解答，而要冷静观察，寻找解决问题的突破口．比如这一题，在观察时能发现a2＋a3＋…＋an－1这个式子在每一个因式中都存在．因此，可以考虑将这个式子作为一个整体，设为M，问题就简化了，体现了整体思想的运用．
