专训1 判定平行四边形的五种常用方法
名师点金：
判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程．
利用两组对边分别平行判定平行四边形
1．如图，在?ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．求证：四边形FMEN为平行四边形．
(第1题)
利用一组对边平行且相等判定平行四边形
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE.求证：四边形ACEF是平行四边形．
(第2题)
利用两组对角分别相等判定平行四边形
3．如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由．
(第3题)
利用两组对边分别相等判定平行四边形
4．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．
求证：四边形ADEF是平行四边形．
(第4题)
利用对角线互相平分判定平行四边形
5．【中考·哈尔滨】如图①，?ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．
(第5题)
答案
1．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，DE＝BF，∴DEBF.
∴四边形BFDE为平行四边形．
∴BE∥DF.
同理，AF∥CE.
∴四边形FMEN为平行四边形．
2．证明：过A作AM⊥DF于M.
∵∠ACB＝90°，ED⊥BC，
∴DF∥AC.
∴AM＝DC.
在Rt△AMF和Rt△CDE中，
∴Rt△AMF≌Rt△CDE.
∴∠F＝∠CED.
∴AF∥CE.
又∵AF＝CE，
∴四边形ACEF是平行四边形．
3．解：四边形BFDE是平行四边形．
理由：在?ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠A＝∠C.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠CDF＝∠ADF＝∠ADC.∴∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF.∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，∴∠DFB＝∠BED.∴四边形BFDE是平行四边形．
4．证明：∵△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形，
∴BA＝BD＝AD，BC＝BE，AF＝AC，∠DBA＝∠EBC＝60°.
∴∠EBC－∠EBA＝∠DBA－∠EBA，
即∠ABC＝∠DBE.
∴△ABC≌△DBE.
∴AF＝AC＝DE.
同理，可证△ABC≌△FEC，
∴AD＝AB＝EF.
∴四边形ADEF是平行四边形．
5．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∵O是对角线AC的中点，
∴OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO.
在△OAE与△OCF中，
∴△OAE≌△OCF，∴OE＝OF.
同理OG＝OH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
(2)解：与四边形AGHD面积相等的平行四边形有?GBCH，?ABFE，?EFCD，?EGFH.
专训2 常用构造中位线的五种方法
名师点金：
三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线．
连接两点构造三角形的中位线
1．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．
(1)求证：PM＝PN；
(2)求∠MPN的度数．
(第1题)
已知角平分线和垂直构造中位线
2．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长．
(第2题)
3．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE的长．
(第3题)
倍长法构造三角形的中位线
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，求证：ME＝CF.【导学号：54274020】
(第4题)
已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE＝MN.
(第5题)
已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，求证：AN＝AC.
(第6题)
答案
1．(1)证明：如图，连接CD，AE.
由三角形中位线定理可得
PMCD，PNAE.
∵△ABD和△BCE是等边三角形，
∴AB＝DB，BE＝BC，
∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC.
∴△ABE≌△DBC，
∴AE＝DC.∴PM＝PN.
(2)解：如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H，AE交BD于Q.由(1)知△ABE≌△DBC，
∴∠BAE＝∠BDC.
又∵∠DQH＝∠BQA，
∴∠AHD＝∠ABD＝60°，
∴∠FHG＝120°.
易证四边形PFHG为平行四边形，
∴∠MPN＝120°.
(第1题)
2．解：如图，延长BD，CA交于N.
(第2题)
由题易知∠NAD＝∠BAD，∠ADN＝∠ADB＝90°.
又∵AD＝AD，
∴△AND≌△ABD.
∴DN＝DB，AN＝AB.
又∵M为BC的中点，
∴DM为△BNC的中位线，
∴DM＝NC＝(AN＋AC)＝(AB＋AC)＝15.
3．解：如图，延长BD交AC于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF，
又∵AD＝AD，
∴△ADB≌△ADF(ASA)．
∴AF＝AB＝6，BD＝FD.
∵AC＝10，
∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.
∵E为BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线．
∴DE＝CF＝×4＝2.
(第3题)
4．证明：如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.易得ME＝AN.
(第4题)
∵EF＝EN，∠BEF＝90°，
∴BE垂直平分FN.
∴BF＝BN.∴∠BNF＝∠BFN.
∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，
∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，
∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.
又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠ABN.
在△BCF和△BAN中，
∴△BCF≌△BAN.
∴CF＝AN.∴ME＝AN＝CF.
5．证明：如图，取AB的中点H，连接MH，NH，则MH＝BF，NH＝AE.
∵CE＝CF，CA＝CB，∴AE＝BF.
∴MH＝NH.
∵点M，H，N分别为AF，AB，BE的中点，
∴MH∥BF，NH∥AE.
∴∠AHM＝∠ABC，∠BHN＝∠BAC.
∴∠MHN＝180°－(∠AHM＋∠BHN)＝180°－(∠ABC＋∠BAC)＝90°.
∴NH＝MN.
∴AE＝2NH＝2×MN＝MN.
(第5题)
(第6题)
6．证明：如图，取NC的中点H，连接DH，过点H作HE∥AD，交BN的延长线于E.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点．
又∵H为NC的中点，
∴DH∥BN.
又∵PD∥EH，
∴四边形PDHE是平行四边形．
∴HE＝PD.
∵P为AD的中点，∴AP＝PD.
∴AP＝EH，
易证△APN≌△HEN，∴AN＝HN.
∴AN＝HN＝HC，∴AN＝AC.
