人教版六年级下册数学-第五单元 数学广角—鸽巢问题 教案（2课时）
文档属性
| 名称 | 人教版六年级下册数学-第五单元 数学广角—鸽巢问题 教案（2课时） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 82.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-30 21:53:12 | ||
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文档简介
第五单元 数学广角——鸽巢问题
本单元教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”，使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“鸽巢问题”加以解决。
在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题。例如，任意13人中，至少有两人的出生月份相同。任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。在这类问题中，只需要确定某个物体(或某个人)的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体(或哪个人)，也不需要说明是通过什么方式把这个存在的物体(或人)找出来。这类问题依据的理论，我们称之为“鸽巢问题”。
本单元用直观的方式，介绍了“鸽巢问题”的两种形式。例1描述的是最简单的“鸽巢问题”：把m个物体任意分放进n个空抽屉里，那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。例2描述了“鸽巢问题”更为一般的形式：把多于kn个物体任意分放进n个空抽屉里，那么一定有一个抽屉中放进了至少(k＋1)个物体。例3是“鸽巢问题”的具体应用。“做一做”和练习十三中安排了关于“鸽巢问题”的变式练习，帮助学生加深对“鸽巢问题”的理解，并学会利用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。
1．经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”，会用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。
2．通过“鸽巢问题”的灵活应用感受数学的魅力。
重点：经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”。
难点：理解“鸽巢问题”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
1．应让学生初步经历“数学证明”的过程。
在数学上，一般是用反证法对“鸽巢问题”进行严格证明。在小学阶段，虽然并不需要学生对涉及到“鸽巢问题”的相关现象给出严格的、形式化的证明，但仍可引导学生用直观的方式对某一具体现象进行“就事论事”式的解释。本单元安排了一些需要学生解释原因的题目，可以鼓励学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。实际上，通过“说理”的方式来理解“鸽巢问题”的过程就是一种数学证明的雏形。通过这样的方式，有助于逐步提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。
2．应有意识的培养学生的“模型”思想。
“鸽巢问题”的形式很多，应用更具灵活性。当我们面对一个具体问题时，能否将这个具体问题和“鸽巢问题”联系起来，能否找到该问题中的具体情境和“鸽巢问题”的“一般化模型”之间的内在联系，能否找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“鸽巢”，是影响能否解决该问题的关键。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于用“鸽巢问题”可能解决的范畴，如果可以，再思考如何寻找隐藏在其背后的“鸽巢问题”的一般模型。这个过程实际上是学生经历将具体问题“数学化”的过程，能否从纷繁复杂的现实素材中找出最本质的数学模型，是体现学生数学思维和能力的重要方面。
3．要适当把握教学要求。
“鸽巢问题”本身或许并不复杂，但它的应用广泛灵活多变，因此，用“鸽巢问题”来解决实际问题时，经常会遇到一些困难。例如，有时要找到实际问题与”鸽巢问题”之间的联系并不容易，即使找到了，也很难确定用什么作为“抽屉”，要用几个“鸽巢”。因此，教学时，不必过于追求学生“说理”的严密性，只要能结合具体问题把大致意思说出来就可以了，更要允许学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。
第一课时 鸽巢问题(一)
鸽巢问题(一)(第68、69页，例1、例2)
1．经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”，会用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。
2. 通过动手操作，培养学生的推理能力，帮助学生从形象思维向抽象思维过渡。
3. 通过“鸽巢问题”的灵活应用，感受数学的魅力。
重点：经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”。
难点：理解“鸽巢问题”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
每组都有相应数量的盒子、笔、书。
一、情境启发，明确目标
魔术表演：
一副扑克牌，抽出大小王，还剩下52张。请5位学生，每人任意抽一张，老师猜：至少有2张牌是同花色的。
相信吗？
师：老师为什么能做出这样的判断呢？这其中蕴含着一个有趣的数学原理，(板书：鸽巢问题)这节课我们就一起来研究这个原理。
二、合作探究，达成目标
例1：
出示题目：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
1．审题，质疑：
“总有”是什么意思？(一定有)
“至少”是什么意思？(最少，还可以更多，不能更少。)
2．探究，验证：总有一个笔筒里至少有2支铅笔。真的吗？
(1)操作，记录。
同桌两人为一组，准备4支铅笔，3个笔筒(盒子或其他物品替代也可)，记录用的纸和笔。
一人操作，摆放，另一人记录摆放情况，教师巡视指导。
(2)汇报，验证。
学生汇报摆放情况，教师板书，如下：
(4，0，0)，(3，1，0)
(2，2，0)，(2，1，1)
验证：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。为什么？
(3)探究，初现规律。
可以这样想：先取3支笔，平均每个笔筒放1支。剩下的1支总要放进其中的一个笔筒。所以总有一个笔筒里至少有2支笔。
师：试试能用我们学过的数学算式表示吗？
4÷3＝1……1(商1加上余下的1，至少有2支。)
你有什么发现？ (商＋余数，得到至少数)
真是这样吗？我们的发现对不对？
(4)应用，初步验证规律。
“做一做”：5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？
学生选择自己喜欢的方法解释。可以动手摆放，也可以用除法算式：
5÷3＝1……2
验证：至少数不是用商加余数得到的。不管余数是几，都只能用商加1，而不是加余数。所以至少数是1＋1＝2。
至少数是怎样得到的？到底是商＋余数，还是商＋1？我们继续探究。
3．优化拓展，建构模型：
出示例2：
把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有3本书。为什么？
(1)学生选择自己喜欢的方法，动手摆放，操作验证；或写算式，说理由。
(2)汇报：7÷3＝2……1(至少数：2＋1＝3)
(3)拓展：
之前，我们通过一个一个的例子来解释，一次一次地摆放操作来验证。
如果有8本书呢？10本书呢？更多本书呢？当数目更大时，一一举例就不方便了。怎样更简便？
写算式：
8÷3＝2……2(至少数：2＋1＝3)
10÷3＝3……1(至少数：3＋1＝4)
你有什么发现？
——不管余数是几，至少数都等于商＋1，而不是商加余数。
4．小结，应用：
像这样的问题，告诉书的总数和抽屉数，求至少数，我们把它称为“抽屉原理”，也称为“鸽巢原理”。最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷(Dirichlet)运用于解决数学问题的，所以又称“狄里克雷原理”。
实际上，“鸽巢原理”相当于有余数的除法。鸽子的总数相当于被除数，鸽巢相当于除数。求至少数的绝招，就是商＋1，而不是加余数。
现在，能够解释“魔术”扑克的原理的吧？其实就是“鸽巢原理”。抽出的5张牌相当于5只鸽子，4个花色相当于4个鸽巢，5÷4＝1……1，至少数＝1＋1＝2，所以至少有2张同花色的。
明白“鸽巢原理”，可以帮助我们解决很多生活中奇妙的问题。
三、巩固练习，检测目标
1．完成69页“做一做”。
2．完成“做一做”第1题。
3．完成练习十三第1～3题。
四、总结评讲，升华目标
我们学习了鸽巢问题，可以用有余数的除法来解决问题，用商＋1来得到至少数。关键是，要找到对应的鸽子数和鸽巢数。
板书设计：
数学广角——鸽巢问题
(4，0，0)，(3，1，0)
(2，2，0)，(2，1，1)
4÷3＝1……1，(至少数：1＋1＝2)
7÷3＝2……1(至少数：2＋1＝3)
8÷3＝2……2(至少数：2＋1＝3)
10÷3＝3……1(至少数：3＋1＝4)
被除数÷ 除数 ＝商……余数
↓ ↓
鸽子总数 鸽巢数
至少数 ＝ 商＋1
第二课时 鸽巢问题(二)
鸽巢问题(二)(第70页，例3)
1．通过观察、猜测、实验、推理等活动，寻找隐藏在实际问题背后的”鸽巢问题”的一般模型。会用“鸽巢问题”解决实际问题。
2．在经历将具体问题“数学化”的过程中，发展抽象思维能力和解决问题的能力，
3．感受数学的魅力，体会数学与日常生活的联系，了解数学的价值，增强应用数学的意识。
重点：对一些简单的实际问题“模型化”，用“鸽巢问题”加以解决。
难点：将实际问题抽象为数学问题来解决。
一、创设情境，明确目标
师：上节课的“魔术扑克牌”被大家用“鸽巢原理”破解了。
这节课，老师又带来一个“魔术盒子”，(出示：不透明盒子，晃动几下)
里面装着同样大小的红球和蓝球各4个。请同学来摸一个，大家猜猜看：
生1：可能是红球。
生2：可能是蓝球。
师：可能性的知识学得不错。如果想保证摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？
二、合作探究，达成目标
1．独立思考，猜测：
猜测一：只摸出两个球，就能保证是同色的？
猜测二：摸出五个球，肯定有两个是同色的？
猜测三：摸出三个球，肯定有两个是同色的？
究竟至少要摸出几个呢？两个？三个？还是几个？
2．动手操作，验证。
(1)一次摸出2个球，有几种情况？
验证：球的颜色共有( )种，如果只摸出2个球，会出现三种情况：2个红球，1个红球1个蓝球、2个蓝球。因此如果摸出的2个球正好是一红一蓝时就(不符合)条件。
结论：最坏的情况，每种颜色各1个。最好的情况，2个球同色。但不能保证2个球同色。
(2)一次摸出5个球，有几种情况？
验证：把红、蓝两种颜色看成两个“抽屉”，因为 5 ÷ 2 ＝ ( )……( )，所以摸出5个球时，至少有( )个球是同色．
结果：摸出5个球时，不是最少的。
(3)一次摸3个球，有几种情况？
结论：一定能摸出2个同色球，并且数目最少。
3．讨论，发现规律
想一想：要保证至少2个同色，摸出的球的个数与颜色数有什么关系？
解题技巧：从最坏的情况考虑，如果摸出2个球的颜色各1，那么再任意摸出1个球，即摸出的球比它们的颜色数多1，就能保证有两个球同色。
三、变式练习，检测目标
1．完成做一做第2题：至少取5个球。(4＋1＝5)
2．完成练习十三第4题：
①第一个问题，最少拿4根。从最坏的情况考虑，每色筷子各1根，只需要再任意取1根筷子，就可保证有2根同色的筷子，即3＋1＝4。
②第二个问题，最少拿10根。
[方法一]从最坏的情况考虑，每色筷子各3根，只需要再任意取一色的筷子1根，就可保证有2双筷子，即3×3＋1＝10.
[方法二]至少数：2×2＝4，商：4－1＝3
根据被除数＝商×除数＋余数，可知3×3＋1＝10
3．完成练习十三第5题：可以举例说明，也因为奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数。
4．完成练习十三第6题：
①如果涂三列，存在以下8种排列情况：红红红，红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝。
把8种排列情况看作8个鸽巢；共有9列，看作鸽子总数。
9÷8＝1……1，至少数＝1＋1＝2，所以无论怎么涂，至少有两列的涂法相同。
②如果只涂两列的话，存在以下4种排列情况：红红，红蓝，蓝红，蓝蓝。
把4种排列情况看作4个鸽巢；共有9列，看作鸽子总数。
共有9列，9÷4＝2……1，至少数＝2＋1＝3，所以无论怎么涂，至少有三列的涂法相同。
四、总结评讲，升华目标
1．找联系，建模型
(1)把“摸球问题”与”鸽巢问题”联系起来：即把红、蓝两种颜色看作“抽屉”(同种颜色就是同1个抽屉)，要摸出数看作是分放的物体总数。
(2)根据“鸽巢问题”中“只要分放的物体个数比抽屉数多，就能保证一定有1个抽屉至少有2个球”，可以推断出“要保证有1个抽屉至少有2个球，分放的物体个数至少比抽屉数多( )。因此，要从两种颜色的球中保证摸出2个同色的，最少要摸出( )个球。
2．教师小结：在解决鸽巢问题实际题时找准“抽屉”和“物体”是关键，只要分的物体个数比抽屉数多，就能保证一定有一个抽屉至少有2个球。
附：鸽巢问题经典练习题及答案
一副扑克牌(除去大小王)52张中有四种花色，每种花色13张。如果要抽得1张红心，至少要抽几张牌呢？为什么？(可能与今天学习的知识有一点区别，要注意实验、思考)
1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？
解：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于3，故至少取出4个小球才能符合要求。
2.一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？
解：点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。
3.11名学生到老师家借书，老师是书房中有A、B、C、D四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。
证明：若学生只借一本书，则不同的类型有A、B、C、D四种，若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”。如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由鸽巢问题，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。
4.有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同。
证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽屉，现有50名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。
5.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？
解题关键：利用鸽巢问题2。
解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下9种：﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜。以这9种配组方式制造9个抽屉，将这50个同学看作苹果50÷9 ＝5……5
由鸽巢问题2k＝[m/n]＋1可得，至少有6人，他们所拿的球类是完全一致的。
6.某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人生为________人。
解：因为任意分成四组，必有一组的女生多于2人，所以女生至少有4×2＋1＝9(人)；因为任意10人中必有男生，所以女生人数至多有9人。所以女生有9人，男生有55－9＝46(人)
7. 证明：从1，3，5，……，99中任选26个数，其中必有两个数的和是100。
解析：将这50个奇数按照和为100，放进25个抽屉：(1，99)，(3，97)，(5，95)，……，(49 ，51)。根据鸽巢问题，从中选出26个数，则必定有两个数来自同一个抽屉，那么这两个数的和即为100。
8. 某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有________人带苹果。
解析：由题意，不带苹果的乘客不多于一名，但又确实有不带苹果的乘客，所以不带苹果的乘客恰有一名，所以带苹果的就有46人。
9．一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了________堆。
解析：要求把其中两堆合并在一起后，苹果和梨的个数一定是偶数，那么这两堆水果中，苹果和梨的奇偶性必须相同。对于每一堆苹果和梨，奇偶可能性有4种：(奇，奇)，(奇，偶)，(偶，奇)，(偶，偶)，所以根据鸽巢问题可知最少分了4＋1＝5筐。
10. 有黑色、白色、蓝色手套各5只(不分左右手)，至少要拿出________只(拿的时候不许看颜色)，才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
解析：考虑最坏情况，假设拿了3只黑色、1只白色和1只蓝色，则只有一双同颜色的，但是再多拿一只，不论什么颜色，则一定会有两双同颜色的，所以至少要那6只
本单元教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”，使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“鸽巢问题”加以解决。
在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题。例如，任意13人中，至少有两人的出生月份相同。任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。在这类问题中，只需要确定某个物体(或某个人)的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体(或哪个人)，也不需要说明是通过什么方式把这个存在的物体(或人)找出来。这类问题依据的理论，我们称之为“鸽巢问题”。
本单元用直观的方式，介绍了“鸽巢问题”的两种形式。例1描述的是最简单的“鸽巢问题”：把m个物体任意分放进n个空抽屉里，那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。例2描述了“鸽巢问题”更为一般的形式：把多于kn个物体任意分放进n个空抽屉里，那么一定有一个抽屉中放进了至少(k＋1)个物体。例3是“鸽巢问题”的具体应用。“做一做”和练习十三中安排了关于“鸽巢问题”的变式练习，帮助学生加深对“鸽巢问题”的理解，并学会利用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。
1．经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”，会用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。
2．通过“鸽巢问题”的灵活应用感受数学的魅力。
重点：经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”。
难点：理解“鸽巢问题”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
1．应让学生初步经历“数学证明”的过程。
在数学上，一般是用反证法对“鸽巢问题”进行严格证明。在小学阶段，虽然并不需要学生对涉及到“鸽巢问题”的相关现象给出严格的、形式化的证明，但仍可引导学生用直观的方式对某一具体现象进行“就事论事”式的解释。本单元安排了一些需要学生解释原因的题目，可以鼓励学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。实际上，通过“说理”的方式来理解“鸽巢问题”的过程就是一种数学证明的雏形。通过这样的方式，有助于逐步提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。
2．应有意识的培养学生的“模型”思想。
“鸽巢问题”的形式很多，应用更具灵活性。当我们面对一个具体问题时，能否将这个具体问题和“鸽巢问题”联系起来，能否找到该问题中的具体情境和“鸽巢问题”的“一般化模型”之间的内在联系，能否找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“鸽巢”，是影响能否解决该问题的关键。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于用“鸽巢问题”可能解决的范畴，如果可以，再思考如何寻找隐藏在其背后的“鸽巢问题”的一般模型。这个过程实际上是学生经历将具体问题“数学化”的过程，能否从纷繁复杂的现实素材中找出最本质的数学模型，是体现学生数学思维和能力的重要方面。
3．要适当把握教学要求。
“鸽巢问题”本身或许并不复杂，但它的应用广泛灵活多变，因此，用“鸽巢问题”来解决实际问题时，经常会遇到一些困难。例如，有时要找到实际问题与”鸽巢问题”之间的联系并不容易，即使找到了，也很难确定用什么作为“抽屉”，要用几个“鸽巢”。因此，教学时，不必过于追求学生“说理”的严密性，只要能结合具体问题把大致意思说出来就可以了，更要允许学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。
第一课时 鸽巢问题(一)
鸽巢问题(一)(第68、69页，例1、例2)
1．经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”，会用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。
2. 通过动手操作，培养学生的推理能力，帮助学生从形象思维向抽象思维过渡。
3. 通过“鸽巢问题”的灵活应用，感受数学的魅力。
重点：经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”。
难点：理解“鸽巢问题”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
每组都有相应数量的盒子、笔、书。
一、情境启发，明确目标
魔术表演：
一副扑克牌，抽出大小王，还剩下52张。请5位学生，每人任意抽一张，老师猜：至少有2张牌是同花色的。
相信吗？
师：老师为什么能做出这样的判断呢？这其中蕴含着一个有趣的数学原理，(板书：鸽巢问题)这节课我们就一起来研究这个原理。
二、合作探究，达成目标
例1：
出示题目：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
1．审题，质疑：
“总有”是什么意思？(一定有)
“至少”是什么意思？(最少，还可以更多，不能更少。)
2．探究，验证：总有一个笔筒里至少有2支铅笔。真的吗？
(1)操作，记录。
同桌两人为一组，准备4支铅笔，3个笔筒(盒子或其他物品替代也可)，记录用的纸和笔。
一人操作，摆放，另一人记录摆放情况，教师巡视指导。
(2)汇报，验证。
学生汇报摆放情况，教师板书，如下：
(4，0，0)，(3，1，0)
(2，2，0)，(2，1，1)
验证：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。为什么？
(3)探究，初现规律。
可以这样想：先取3支笔，平均每个笔筒放1支。剩下的1支总要放进其中的一个笔筒。所以总有一个笔筒里至少有2支笔。
师：试试能用我们学过的数学算式表示吗？
4÷3＝1……1(商1加上余下的1，至少有2支。)
你有什么发现？ (商＋余数，得到至少数)
真是这样吗？我们的发现对不对？
(4)应用，初步验证规律。
“做一做”：5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？
学生选择自己喜欢的方法解释。可以动手摆放，也可以用除法算式：
5÷3＝1……2
验证：至少数不是用商加余数得到的。不管余数是几，都只能用商加1，而不是加余数。所以至少数是1＋1＝2。
至少数是怎样得到的？到底是商＋余数，还是商＋1？我们继续探究。
3．优化拓展，建构模型：
出示例2：
把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有3本书。为什么？
(1)学生选择自己喜欢的方法，动手摆放，操作验证；或写算式，说理由。
(2)汇报：7÷3＝2……1(至少数：2＋1＝3)
(3)拓展：
之前，我们通过一个一个的例子来解释，一次一次地摆放操作来验证。
如果有8本书呢？10本书呢？更多本书呢？当数目更大时，一一举例就不方便了。怎样更简便？
写算式：
8÷3＝2……2(至少数：2＋1＝3)
10÷3＝3……1(至少数：3＋1＝4)
你有什么发现？
——不管余数是几，至少数都等于商＋1，而不是商加余数。
4．小结，应用：
像这样的问题，告诉书的总数和抽屉数，求至少数，我们把它称为“抽屉原理”，也称为“鸽巢原理”。最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷(Dirichlet)运用于解决数学问题的，所以又称“狄里克雷原理”。
实际上，“鸽巢原理”相当于有余数的除法。鸽子的总数相当于被除数，鸽巢相当于除数。求至少数的绝招，就是商＋1，而不是加余数。
现在，能够解释“魔术”扑克的原理的吧？其实就是“鸽巢原理”。抽出的5张牌相当于5只鸽子，4个花色相当于4个鸽巢，5÷4＝1……1，至少数＝1＋1＝2，所以至少有2张同花色的。
明白“鸽巢原理”，可以帮助我们解决很多生活中奇妙的问题。
三、巩固练习，检测目标
1．完成69页“做一做”。
2．完成“做一做”第1题。
3．完成练习十三第1～3题。
四、总结评讲，升华目标
我们学习了鸽巢问题，可以用有余数的除法来解决问题，用商＋1来得到至少数。关键是，要找到对应的鸽子数和鸽巢数。
板书设计：
数学广角——鸽巢问题
(4，0，0)，(3，1，0)
(2，2，0)，(2，1，1)
4÷3＝1……1，(至少数：1＋1＝2)
7÷3＝2……1(至少数：2＋1＝3)
8÷3＝2……2(至少数：2＋1＝3)
10÷3＝3……1(至少数：3＋1＝4)
被除数÷ 除数 ＝商……余数
↓ ↓
鸽子总数 鸽巢数
至少数 ＝ 商＋1
第二课时 鸽巢问题(二)
鸽巢问题(二)(第70页，例3)
1．通过观察、猜测、实验、推理等活动，寻找隐藏在实际问题背后的”鸽巢问题”的一般模型。会用“鸽巢问题”解决实际问题。
2．在经历将具体问题“数学化”的过程中，发展抽象思维能力和解决问题的能力，
3．感受数学的魅力，体会数学与日常生活的联系，了解数学的价值，增强应用数学的意识。
重点：对一些简单的实际问题“模型化”，用“鸽巢问题”加以解决。
难点：将实际问题抽象为数学问题来解决。
一、创设情境，明确目标
师：上节课的“魔术扑克牌”被大家用“鸽巢原理”破解了。
这节课，老师又带来一个“魔术盒子”，(出示：不透明盒子，晃动几下)
里面装着同样大小的红球和蓝球各4个。请同学来摸一个，大家猜猜看：
生1：可能是红球。
生2：可能是蓝球。
师：可能性的知识学得不错。如果想保证摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？
二、合作探究，达成目标
1．独立思考，猜测：
猜测一：只摸出两个球，就能保证是同色的？
猜测二：摸出五个球，肯定有两个是同色的？
猜测三：摸出三个球，肯定有两个是同色的？
究竟至少要摸出几个呢？两个？三个？还是几个？
2．动手操作，验证。
(1)一次摸出2个球，有几种情况？
验证：球的颜色共有( )种，如果只摸出2个球，会出现三种情况：2个红球，1个红球1个蓝球、2个蓝球。因此如果摸出的2个球正好是一红一蓝时就(不符合)条件。
结论：最坏的情况，每种颜色各1个。最好的情况，2个球同色。但不能保证2个球同色。
(2)一次摸出5个球，有几种情况？
验证：把红、蓝两种颜色看成两个“抽屉”，因为 5 ÷ 2 ＝ ( )……( )，所以摸出5个球时，至少有( )个球是同色．
结果：摸出5个球时，不是最少的。
(3)一次摸3个球，有几种情况？
结论：一定能摸出2个同色球，并且数目最少。
3．讨论，发现规律
想一想：要保证至少2个同色，摸出的球的个数与颜色数有什么关系？
解题技巧：从最坏的情况考虑，如果摸出2个球的颜色各1，那么再任意摸出1个球，即摸出的球比它们的颜色数多1，就能保证有两个球同色。
三、变式练习，检测目标
1．完成做一做第2题：至少取5个球。(4＋1＝5)
2．完成练习十三第4题：
①第一个问题，最少拿4根。从最坏的情况考虑，每色筷子各1根，只需要再任意取1根筷子，就可保证有2根同色的筷子，即3＋1＝4。
②第二个问题，最少拿10根。
[方法一]从最坏的情况考虑，每色筷子各3根，只需要再任意取一色的筷子1根，就可保证有2双筷子，即3×3＋1＝10.
[方法二]至少数：2×2＝4，商：4－1＝3
根据被除数＝商×除数＋余数，可知3×3＋1＝10
3．完成练习十三第5题：可以举例说明，也因为奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数。
4．完成练习十三第6题：
①如果涂三列，存在以下8种排列情况：红红红，红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝。
把8种排列情况看作8个鸽巢；共有9列，看作鸽子总数。
9÷8＝1……1，至少数＝1＋1＝2，所以无论怎么涂，至少有两列的涂法相同。
②如果只涂两列的话，存在以下4种排列情况：红红，红蓝，蓝红，蓝蓝。
把4种排列情况看作4个鸽巢；共有9列，看作鸽子总数。
共有9列，9÷4＝2……1，至少数＝2＋1＝3，所以无论怎么涂，至少有三列的涂法相同。
四、总结评讲，升华目标
1．找联系，建模型
(1)把“摸球问题”与”鸽巢问题”联系起来：即把红、蓝两种颜色看作“抽屉”(同种颜色就是同1个抽屉)，要摸出数看作是分放的物体总数。
(2)根据“鸽巢问题”中“只要分放的物体个数比抽屉数多，就能保证一定有1个抽屉至少有2个球”，可以推断出“要保证有1个抽屉至少有2个球，分放的物体个数至少比抽屉数多( )。因此，要从两种颜色的球中保证摸出2个同色的，最少要摸出( )个球。
2．教师小结：在解决鸽巢问题实际题时找准“抽屉”和“物体”是关键，只要分的物体个数比抽屉数多，就能保证一定有一个抽屉至少有2个球。
附：鸽巢问题经典练习题及答案
一副扑克牌(除去大小王)52张中有四种花色，每种花色13张。如果要抽得1张红心，至少要抽几张牌呢？为什么？(可能与今天学习的知识有一点区别，要注意实验、思考)
1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？
解：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于3，故至少取出4个小球才能符合要求。
2.一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？
解：点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。
3.11名学生到老师家借书，老师是书房中有A、B、C、D四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。
证明：若学生只借一本书，则不同的类型有A、B、C、D四种，若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”。如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由鸽巢问题，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。
4.有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同。
证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽屉，现有50名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。
5.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？
解题关键：利用鸽巢问题2。
解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下9种：﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜。以这9种配组方式制造9个抽屉，将这50个同学看作苹果50÷9 ＝5……5
由鸽巢问题2k＝[m/n]＋1可得，至少有6人，他们所拿的球类是完全一致的。
6.某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人生为________人。
解：因为任意分成四组，必有一组的女生多于2人，所以女生至少有4×2＋1＝9(人)；因为任意10人中必有男生，所以女生人数至多有9人。所以女生有9人，男生有55－9＝46(人)
7. 证明：从1，3，5，……，99中任选26个数，其中必有两个数的和是100。
解析：将这50个奇数按照和为100，放进25个抽屉：(1，99)，(3，97)，(5，95)，……，(49 ，51)。根据鸽巢问题，从中选出26个数，则必定有两个数来自同一个抽屉，那么这两个数的和即为100。
8. 某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有________人带苹果。
解析：由题意，不带苹果的乘客不多于一名，但又确实有不带苹果的乘客，所以不带苹果的乘客恰有一名，所以带苹果的就有46人。
9．一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了________堆。
解析：要求把其中两堆合并在一起后，苹果和梨的个数一定是偶数，那么这两堆水果中，苹果和梨的奇偶性必须相同。对于每一堆苹果和梨，奇偶可能性有4种：(奇，奇)，(奇，偶)，(偶，奇)，(偶，偶)，所以根据鸽巢问题可知最少分了4＋1＝5筐。
10. 有黑色、白色、蓝色手套各5只(不分左右手)，至少要拿出________只(拿的时候不许看颜色)，才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
解析：考虑最坏情况，假设拿了3只黑色、1只白色和1只蓝色，则只有一双同颜色的，但是再多拿一只，不论什么颜色，则一定会有两双同颜色的，所以至少要那6只