冀教版七年级数学下册第十一章 因式分解全章热门考点整合应用（含答案）

全章热门考点整合应用
名师点金：本章的主要内容是利用提公因式法和公式法分解因式，在各类考试中，既有单独考查因式分解的，也有利用因式分解的知识进行化简求值的，题型有选择题和填空题，也有探索与创新题，命题难易度以基础题和中档题为主．本章主要考点可概括为：一个概念、两个方法、三个应用、三个技巧、一种思想.
一个概念——因式分解
1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是(　　)
A．(a＋5)(a－5)＝a2－25
B．mx＋my＋2＝m(x＋y)＋2
C．x2－9＝(x＋3)(x－3)
D．2x2＋1＝2x2
两个方法
提公因式法
2．求下列代数式的值：
(1)x2y－xy2，其中x－y＝1，xy＝2 018；
(2)8x3(x－3)＋12x2(3－x)，其中x＝；
(3)a2b＋2a2b2＋ab2，其中a＋b＝3，ab＝2.
公式法
3．把下列各式因式分解：
(1)16x2－25y2；
(2)x2－4xy＋4y2；
(3)(a＋2b)2－(2a－b)2；
(4)(m2＋4m)2＋8(m2＋4m)＋16；
(5)81x4－y4.
三个应用
应用因式分解计算
4．计算：
(1)2.1×31.4＋62×3.14＋0.17×314；
(2)×××…×；
(3)－101×190＋1012＋952.
应用因式分解解整除问题
5．对于任意自然数n，(n＋7)2－(n－5)2是否能被24整除？
应用因式分解解几何问题
6．已知△ABC的三边长a，b，c满足a2－b2＝ac－bc，试判断△ABC的形状．
7．若一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，试判断该三角形的形状，并说明理由．
三个技巧
分组后用提公因式法
8．因式分解：
(1)a2－ab＋ac－bc；
(2)x3＋6x2－x－6.
拆、添项后用公式法
9．因式分解：
(1)x2－y2－2x－4y－3；
(2)x4＋4.
换元法
10．因式分解：(m2－2m－1)(m2－2m＋3)＋4.
一种思想——整体思想
11．已知a＋b＝1，ab＝，求代数式a3b－2a2b2＋ab3的值．
答案
1．C
2．解：(1)x2y－xy2＝xy(x－y)．
把x－y＝1，xy＝2 018代入上式，原式＝xy(x－y)＝2 018.
(2)8x3(x－3)＋12x2(3－x)＝8x3(x－3)－12x2(x－3)＝4x2(x－3)(2x－3)．
当x＝时，原式＝4×××＝0.
(3)a2b＋2a2b2＋ab2＝ab(a＋2ab＋b)＝ab[(a＋b)＋2ab]．
把a＋b＝3，ab＝2代入上式，原式＝2×(3＋2×2)＝14.
3．解：(1)原式＝(4x＋5y)(4x－5y)．
(2)原式＝(x－2y)2.
(3)原式＝[(a＋2b)＋(2a－b)]·[(a＋2b)－(2a－b)]＝(3a＋b)(3b－a)．
(4)原式＝[(m2＋4m)＋4]2
＝[(m＋2)2]2
＝(m＋2)4.
(5)原式＝(9x2－y2)(9x2＋y2)＝(3x＋y)(3x－y)(9x2＋y2)．
4．解：(1)原式＝2.1×31.4＋6.2×31.4＋1.7×31.4
＝31.4×(2.1＋6.2＋1.7)
＝31.4×10
＝314.
(2)原式＝××××××…××
＝××××××…××
＝×
＝.
(3)原式＝1012－2×101×95＋952
＝(101－95)2
＝36.
5．解：(n＋7)2－(n－5)2＝[(n＋7)＋(n－5)][(n＋7)－(n－5)]＝(n＋7＋n－5)(n＋7－n＋5)＝(2n＋2)×12＝24(n＋1)．
因为24(n＋1)中含有24这个因数，
所以(n＋7)2－(n－5)2能被24整除．
6．解：因为a2－b2＝ac－bc，所以(a－b)(a＋b)＝c(a－b)．
所以(a－b)(a＋b)－c(a－b)＝0.所以(a－b)(a＋b－c)＝0.
因为a，b，c是△ABC的三边长，所以a＋b－c≠0.
所以a－b＝0.所以a＝b.所以△ABC为等腰三角形．
7．解：此三角形是等边三角形．理由如下：
∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，
∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＝0.∴a－b＝0且b－c＝0.
∴a＝b且b＝c.∴a＝b＝c.∴此三角形是等边三角形．
8．思路导引：(1)按公因式分组，第一、二项有公因式a，第三、四项有公因式c，各自提取公因式后均剩下(a－b)；
(2)按系数特点分组，由系数特点知第一、三项为一组，第二、四项为一组．
解：(1)原式＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a－b)(a＋c)．
(2)原式＝(x3－x)＋(6x2－6)＝x(x2－1)＋6(x2－1)＝(x2－1)(x＋6)＝(x＋1)(x－1)(x＋6)．
9．解：(1)原式＝x2－y2－2x－4y－4＋1＝(x2－2x＋1)－(y2＋4y＋4)＝(x－1)2－(y＋2)2＝[(x－1)＋(y＋2)]·[(x－1)－(y＋2)]＝(x＋y＋1)(x－y－3)．
(2)原式＝x4＋4x2－4x2＋4＝(x4＋4x2＋4)－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2)．
点拨：拆项和添项是在因式分解难以进行的情况下的一种辅助方法，通过适当的“拆项”或“添项”后再分组，以达到最终因式分解的目的．
10．解：令m2－2m＝y，则原式＝(y－1)(y＋3)＋4＝y2＋2y－3＋4＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2.将y＝m2－2m代入上式，
则原式＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4.
11．解：a3b－2a2b2＋ab3＝ab(a2－2ab＋b2)＝ab(a－b)2＝ab[(a＋b)2－4ab]．
因为a＋b＝1，ab＝，所以原式＝×＝.
点拨：恒等变形的最后一步应用(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝a2＋2ab＋b2－4ab＝(a＋b)2－4ab，这一变形的目的是使所求的式子里含a＋b这样的项．