沪科版数学八年级上册同步课时训练
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2 命题与证明
13.2.3 三角形内角和定理的证明及推论1、2
自主预习 基础达标
要点1 三角形内角和定理的证明
1. 三角形内角和定理：三角形的内角和等于 .
2. 在证明命题时，要分清命题的条件和结论.如果问题与图形有关，证明命题的一般步骤：
(1)根据条件画出图形，并在图形上标出有关 与 ；
(2)结合图形，写出 ；
(3)分析因果关系，找出证明途径；
(4)有条理地写出 ，有时为了证明的需要，可以在原来的图形上添画辅助线.
要点2 三角形内角和定理的推论1、2
1. 三角形内角和定理的推论1：直角三角形的两锐角 .
2. 三角形内角和定理的推论2：有两个角互余的三角形是 三角形.
课后集训 巩固提升
1. 关于三角形内角的叙述错误的是( )
A. 三角形三个内角的和是180°
B. 三角形两个内角的和一定大于60°
C. 三角形中至少有一个角不小于60°
D. 一个三角形中最大的角所对的边最长
2. 直角三角形的一个锐角是23°，则另一个锐角等于( )
A. 23° B. 63° C. 67° D. 77°
3. 如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A＝56°，∠DEC＝90°，则∠D的度数为( )
A. 17° B. 34° C. 56° D. 124°
4. 在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
5. 在△ABC中，满足下两条件：①∠A＝60°，∠C＝30°；②∠A－∠B＝∠C；③∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5；④∠A＝90°－∠C，能确定△ABC是直角三角形的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 在直角三角形中，两个锐角的度数比为2∶3，则较小锐角的度数为( )
A. 20° B. 32° C. 36° D. 72°
7. 如图所示，在锐角△ABC中，CD和BE分别是AB，AC边上的高，且CD和BE交于点P，若∠A＝50°，则∠BPC的度数为( )
A. 150° B. 130° C. 120° D. 100°
8. 如图所示，把图①中的∠1撕下来，拼成如图②所示的图形，请你仔细观察思考后填空：根据 ，可得a∥b，再根据 ，得到： ，从而得到“三角形三内角的和等于180°”的结论.
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，如果∠A＝40°，则∠1＝ 度.
10. 在△ABC中，若∠A＝36°，∠B＝54°，则三角形是 三角形.
11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AD是角平分线，则∠ADC的度数为 .
12. 在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15°，则两个锐角分别为 .
13. 如图，OB平分∠CBA，OA平分∠CAB，且有∠OBA＋∠OAB＝45°，则△ABC是 三角形.
14. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠1＝∠B.
求证：△ABC是直角三角形.
15. 已知△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.
16. 将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.
(1)求证：CF∥AB.
(2)求∠DFC的度数.
17. 将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D.已知∠A＝∠EDF＝90°，∠ACB＝∠B，∠E＝30°，∠BCE＝40°，求∠CDF的度数.
18. 如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，CE是AB边上的高.
(1)若∠A＝40°，∠B＝72°，求∠DCE的度数；
(2)试直接写出∠DCE与∠A，∠B之间的数量关系.(不必证明)
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 1. 180° 2. (1)字母 符号 (2)已知、求证 (4)证明过程
要点2 1. 互余 2. 直角
课后集训 巩固提升
1. B 2. C 3. B 4. B 5. C 6. C 7. B
8. 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 ∠3＋∠2＋∠1＝180°
9. 40
10. 直角
11. 65°
12. 75°，15°
13. 直角
14. 证明：∵AD⊥BC，∴∠BAD＋∠B＝90°.∵∠1＝∠B，∴∠1＋∠BAD＝∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形.
15. 解：设∠A＝x°，则∠C＝∠ABC＝2x°，∴x＋2x＋2x＝180.解得x＝36.∴∠C＝72°.在△BDC中，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC＝90°－72°＝18°.
16. 解：(1)证明：∵CF平分∠DCE，∴∠1＝∠2＝∠DCE.∵∠DCE＝90°，∴∠1＝45°.∵∠3＝45°，∴∠1＝∠3，∴AB∥CF.
(2)∵∠D＝30°，∠1＝45°，∴∠DFC＝180°－30°－45°＝105°.
17. 解：∵在△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝∠B，∴∠ACB＝∠B＝45°，∴∠ECD＝∠BCE＋∠ACB＝40°＋45°＝85°，∴∠ACF＝180°－85°＝95°.∵∠EDF＝90°，∠E＝30°，∴∠F＝90°－∠E＝60°.∵∠DCF＋∠CDF＋∠F＝180°，∴∠CDF＝180°－95°－60°＝25°.
18. 解：(1)∵∠A＝40°，∠B＝72°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝68°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACB＝34°.又∵CE⊥AB，∠B＝72°，∴∠BCE＝18°.∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝16°.
(2)∠DCE＝(∠B－∠A).
