2019-2020学年江西省赣州市南康中学高二（上）期中数学试卷（文科）（PDF版 含答案）

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2019-2020学年江西省赣州市南康中学高二（上）
期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.
1．某中学高一年级 560人，高二年级 540人，高三年级 520人，用分层抽样的方法抽取部
分样本，若从高一年级抽取 28人，则从高二、高三年级分别抽取的人数是 ( )
A．27 26 B．26 27 C．26 28 D．27 28
2．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于 70 /m h视为“超速”，同时汽车将受到处罚，如
图是某路段的一个检测点对 200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则
从图中可以得出将被处罚的汽车约有 ( )
A．30辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆
3．甲、乙两名运动员分别进行了 5次射击训练，成绩如下：
甲：7，7，8，8，10；
乙：8，9，9，9，10．
若甲乙两名运动员的平均成绩分别用 1x ， 2x 表示，方差分别用
2
1s ，
2
2s 表示，则 ( )
A． 1 2x x? ，
2 2
1 2s s? B．
2 2
1 2 1 2,x x s s? ?
C． 2 21 2 1 2,x x s s? ? D．
2 2
1 2 1 2,x x s s? ?
4．x，y的取值如表，从散点图分析，y与 x线性相关，且回归方程为 ? 3.5 1.3y x? ? ，则 (m ? )
x 1 2 3 4 5
y 2 7 8 12 m
A．15 B．16 C．16.2 D．17
5．已知点 P是函数 ( ) sin( )
6
f x x ??? ? 的图象C的一个对称中心，若点 P到图象C的对称轴
距离的最小值为
4
?
，则 ( )f x 的最小正周期是 ( )
A． 2? B．? C．
2
? D．
4
?
- 2 -
6．过点 (3, 1)A ? 且在两坐标轴上截距相等的直线有 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7．设m， n是两条不同的直线，? ， ? 是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①如果 / /m ? ， / /n ? ，那么 / /m n；
②如果 / /m ? ，m ?? ， n? ? ?? ，那么 / /m n；
③如果m ?? ，m ?? ，那么? ?? ；
④如果 / /? ? ，m ?? ， / /n ? ，那么 / /m n．
其中正确的是 ( )
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
8．如图，长方体 1 1 1 1ABCD A BC D? 的棱 AB和 1 1AD 的中点分别为 E，F ， 6AB ? ， 8AD ? ，
1 7AA ? ，则异面直线 EF 与 1AA 所成角的正切值为 ( )
A． 5
7
B． 7
5
C． 5 74
74
D． 7 74
74
9．三棱锥 P ABC? ， PA ?平面 ABC， AC BC? ， 2AC BC? ? ， 2 2PA ? ，则该三棱锥
外接球的表面积为 ( )
A． 4? B．8? C．16? D． 64?
10．如图，在空间四边形 ABCD中，两条对角线 AC ，BD互相垂直，且长度分别为 4和 6，
平行于这两条对角线的平面与边 AB， BC，CD，DA分别相交于点 E， F ，G，H ，
记四边形 EFGH的面积为 y，设 BE x
AB
? ，则 ( )
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A．函数 ( )y f x? 的值域为 (0， 4]
B．函数 ( )y f x? 的最大值为 8
C．函数 ( )y f x? 在 2(0, )
3
上单调递减
D．函数 ( )y f x? 满足 ( ) (1 )f x f x? ?
11．两圆 2 2 22 1 0x y my m? ? ? ? ? 和 2 2 24 4 9 0x y nx n? ? ? ? ? 恰有一条公切线，若m R? ，
n R? ，且 0mn ? ，则 2 2
4 1
m n
? 的最小值为 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
12．矩形 ABCD中， 2 3AB ? ， 2BC ? ，沿 AC 将三角形 ADC折起，得到四面体 A BCD? ，
当四面体 A BCD? 的体积取最大值时，四面体 A BCD? 的表面积为 ( )
A． 392 3
2
? B． 2 3 39? C． 4 3 39? D． 394 3
2
?
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分.
13．已知一组数据 1x ， 2x ，?， nx 的方差为 5，则这组数据 13 2x ? ， 23 2x ? ，?，3 2nx ?
的方差为 ．
14．已知直线 6 0x ay? ? ? 与圆 2 2 8x y? ? 交于 A， B两点，若 | | 2 2AB ? ，则 a ? ．
15．表面积为 4 3的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 ．
16．如图，在正三棱柱 1 1 1ABC A BC? 中，D为棱 1AA 的中点．若截面△ 1BC D是面积为 6的
直角三角形，则此三棱柱的体积为 ．
三、解答题：本大题共 6小题，共 70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
17．已知向量 (4, 2), ( ,1)a b x? ? ?
??
．
- 4 -
（1）若 a b?
??
，求 x的值；
（2）当 2x ? 时，求 a?与 2b a?
? ?
角? 的余弦值．
18．已知函数 2 2( ) sin 2sin cos 3cosf x x x x x? ? ? ．
（Ⅰ）求函数 ( )f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若 [0x? ， ]
2
?
，求函数 ( )f x 的最值及相应 x的取值．
19．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，
得到如表数据：
单价 x（元 ) 6 7 8 9 10
销量 y（件 ) 55 48 44 38 25
且 1 1 2 2 5 5 1610x y x y x y? ??? ? ，
2 2 2
1 2 5 330x x x? ??? ? ， 1 1 2 22 2 2 2
1 2
n n
n
x y x y x y nxyb
x x x nx
? ??? ?
?
? ??? ?
，
a y bx? ? ．
（1）已知 y与 x具有线性相关关系，求出 y关于 x回归直线方程；
（2）预测当单价为 12元时其销量为多少？
20．某快递公司近 60天每天揽件数量的频率分布直方图如图所示（同一组数据用该区间的
中点值作代表）．
（1）求这 60天每天包裹数量的平均值和中位数；
（2）在这 60天中包裹件数在 [100， 200)．[200，300)的两组中，用分层抽样的方法抽取
30件，求落在这两组中分别抽取多少件？
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21 ． 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD? 中 ， 四 边 形 ABCD 是 直 角 梯 形 ，
2 2 2 90DC AD AB DAB ADC? ? ? ? ? ? ? ?， 2PB ? ， PDC? 为等边三角形．
（1）证明： PD BC? ；
（2）求点 B到平面 PCD的距离．
22．已知圆 2 2: ( 2) ( 2) 16C x y? ? ? ? ，点 (10,0)A ．
（1）设点 P是圆C上的一个动点，求 AP的中点Q的轨迹方程；
（2）直线 : 10 0l kx y k? ? ? 与圆C交于M ， N，求 AM AN
????? ????
? 的值．
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2019-2020学年江西省赣州市南康中学高二（上）期中数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.
1．某中学高一年级 560人，高二年级 540人，高三年级 520人，用分层抽样的方法抽取部
分样本，若从高一年级抽取 28人，则从高二、高三年级分别抽取的人数是 ( )
A．27 26 B．26 27 C．26 28 D．27 28
【解答】解：设从高二，高三年级抽取的人数分别为m， n
则满足
28
560 540 520
m n
? ? ，得 27m ? ， 26n ? ，
故选： A．
2．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于 70 /m h视为“超速”，同时汽车将受到处罚，如
图是某路段的一个检测点对 200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则
从图中可以得出将被处罚的汽车约有 ( )
A．30辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆
【解答】解：?由图知，最后一个小矩形的面积 0.02 10 0.2? ? ? ，即频率，
?将被处罚的汽车约有 0.2 200 40? ? ．
故选： B．
3．甲、乙两名运动员分别进行了 5次射击训练，成绩如下：
甲：7，7，8，8，10；
乙：8，9，9，9，10．
若甲乙两名运动员的平均成绩分别用 1x ， 2x 表示，方差分别用
2
1s ，
2
2s 表示，则 ( )
A． 1 2x x? ，
2 2
1 2s s? B．
2 2
1 2 1 2,x x s s? ?
C． 2 21 2 1 2,x x s s? ? D．
2 2
1 2 1 2,x x s s? ?
- 7 -
【解答】解：由题意，计算 1
1 (7 7 8 8 10) 8
5
x ? ? ? ? ? ? ? ，
2
1 (8 9 9 9 10) 9
5
x ? ? ? ? ? ? ? ；
2 2 2 2 2 2
1
1 [(7 8) (7 8) (8 8) (8 8) (10 8) ] 1.2
5
s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
2 2 2 2 2 2
2
1 [(8 9) (9 9) (9 9) (9 9) (10 9) ] 0.4
5
s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
2 2
1 2 1 2,x x s s? ? ?
故选： D．
4．x，y的取值如表，从散点图分析，y与 x线性相关，且回归方程为 ? 3.5 1.3y x? ? ，则 (m ?
)
x 1 2 3 4 5
y 2 7 8 12 m
A．15 B．16 C．16.2 D．17
【解答】解：? 1 2 3 4 5 3
5
x ? ? ? ?? ? ， 2 7 8 12 29
5 5
m my ? ? ? ? ?? ? ，
?这组数据的样本中心点是
29(3, )
5
m?
，
y? 与 x线性相关，且回归方程为 ? 3.5 1.3y x? ? ，
?
29 3.5 3 1.3
5
m?
? ? ? ， 17m? ? ，
故选： D．
5．已知点 P是函数 ( ) sin( )
6
f x x ??? ? 的图象C的一个对称中心，若点 P到图象C的对称轴
距离的最小值为
4
?
，则 ( )f x 的最小正周期是 ( )
A． 2? B．? C．
2
? D．
4
?
【解答】解：已知函数 ( ) sin( )( 0)
6
f x x ?? ?? ? ? ，若函数 ( )f x 图象上的一个对称中心到对
称轴的距离的最小值为
4
?
，
?由正弦函数的图象和性质可知：
4 4
T ?
?
?解得：T ?? ，
故选： B．
6．过点 (3, 1)A ? 且在两坐标轴上截距相等的直线有 ( )
- 8 -
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为 0时，设该直线的方程为 x y a? ? ，
把 (3, 1)? 代入所设的方程得： 2a ? ，则所求直线的方程为 2x y? ? 即 2 0x y? ? ? ；
②当所求的直线与两坐标轴的截距为 0时，设该直线的方程为 y kx? ，
把 (3, 1)? 代入所求的方程得： 1
3
k ? ? ，
则所求直线的方程为
1
3
y x? ? 即 3 0x y? ? ．
综上，所求直线的方程为： 2 0x y? ? ? 或 3 0x y? ? ，
故选： B．
7．设m， n是两条不同的直线，? ， ? 是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①如果 / /m ? ， / /n ? ，那么 / /m n；
②如果 / /m ? ，m ?? ， n? ? ?? ，那么 / /m n；
③如果m ?? ，m ?? ，那么? ?? ；
④如果 / /? ? ，m ?? ， / /n ? ，那么 / /m n．
其中正确的是 ( )
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【解答】解：
①：如图，正方体 ABCD EFGH? 中， / /AB 底面 EFGH， / /AD 底面 EFGH，但是 AB与 AD
不平行，故错误；
②：线面平行的性质定理，故正确；
③：线面垂直的判定定理，故正确；
④：如图，平面 / /ABCD 平面 EFGH， AB ?平面 ABCD， / /AD 平面 EFGH，但是 AB与
AD不平行，故错误．
故选： B．
- 9 -
8．如图，长方体 1 1 1 1ABCD A BC D? 的棱 AB和 1 1AD 的中点分别为 E，F ， 6AB ? ， 8AD ? ，
1 7AA ? ，则异面直线 EF 与 1AA 所成角的正切值为 ( )
A． 5
7
B． 7
5
C． 5 74
74
D． 7 74
74
【解答】解：取 1 1A B 中点G，连接 EG ， FG ， EG FG? ，因为 1/ /EG AA ，
所以异面直线 EF 与 1AA 所成角为 FEG? 或其补角，
在 EFG? 中， 5FG ? ， 7EG ? ，所以 5tan
7
FEG? ? ，
故选： A．
9．三棱锥 P ABC? ， PA ?平面 ABC， AC BC? ， 2AC BC? ? ， 2 2PA ? ，则该三棱锥
外接球的表面积为 ( )
A． 4? B．8? C．16? D． 64?
【解答】解：?三棱锥 P ABC? ， PA ?平面 ABC， AC BC? ， 2AC BC? ? ， 2 2PA ? ，
?以 AC 、 BC、 PA为棱构造长方体，则这个长方体的外接球就是该三棱锥外接球，
?该三棱锥外接球半径
2 2 2 4 4 8 2
2 2
AC BC PAR ? ? ? ?? ? ? ，
?该三棱锥外接球的表面积 24 2 16S ? ?? ? ? ．
- 10 -
故选：C．
10．如图，在空间四边形 ABCD中，两条对角线 AC ，BD互相垂直，且长度分别为 4和 6，
平行于这两条对角线的平面与边 AB， BC，CD，DA分别相交于点 E， F ，G，H ，
记四边形 EFGH的面积为 y，设 BE x
AB
? ，则 ( )
A．函数 ( )y f x? 的值域为 (0， 4]
B．函数 ( )y f x? 的最大值为 8
C．函数 ( )y f x? 在 2(0, )
3
上单调递减
D．函数 ( )y f x? 满足 ( ) (1 )f x f x? ?
【解答】解： / /AC? 平面 EFGH， / /BD 平面 EFGH ，
/ /AC EF? ． / /AC HG， / /BD EH ． / /BD FG，
则四边形 EFGH为平行四边形，
?两条对角线 AC ， BD互相垂直，
EH EF? ? ，
则四边形 EFGH为矩形，
? BE x
AB
? ，
?由 1 1EH AE AB BE BE x
BD AB AB AB
?
? ? ? ? ? ? ，
即 (1 ) 6(1 )EH x BD x? ? ? ? ，
同理
EF BE x
AC AB
? ? ，
则 4EF x AC x? ?? ，
则四边形 EFGH的面积为 2 214 6(1 ) 24( ) 24( ) 6
2
y EH EF x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ，
(0,1)x?? ，
?当
1
2
x ? 时，函数取得最大值 6，故 A， B错误．
- 11 -
函数的对称轴为
1
2
x ? ，则函数在 2(0, )
3
上不是单调函数，故C错误．
?函数的对称轴为 1
2
x ? ，
?函数 ( )y f x? 满足 ( ) (1 )f x f x? ? ，故 D正确，
故选： D．
11．两圆 2 2 22 1 0x y my m? ? ? ? ? 和 2 2 24 4 9 0x y nx n? ? ? ? ? 恰有一条公切线，若m R? ，
n R? ，且 0mn ? ，则 2 2
4 1
m n
? 的最小值为 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为 2 2( ) 1x y m? ? ? ，
2 2( 2 ) 9x n y? ? ? ，
圆心分别为 (0, )m ， (2 ,0)n ，半径分别为 1和 3，
故有 2 24 2n m? ? ， 2 24 4m n? ? ? ，
则 2 22 2 2 2
4 1 1 4 1( 4 )( )
4
m n
m n m n
? ? ? ?
2 2 2 2
2 2 2 2
1 16 1 16(8 ) (8 2 ) 4
4 4
n m n m
m n m n
? ? ? ? ? ??? ，
当且仅当
2 2
2 2
16n m
m n
? 时，等号成立，
? 2 2
4 1
m n
? 的最小值为 4．
故选： A．
12．矩形 ABCD中， 2 3AB ? ， 2BC ? ，沿 AC 将三角形 ADC折起，得到四面体 A BCD? ，
当四面体 A BCD? 的体积取最大值时，四面体 A BCD? 的表面积为 ( )
A． 392 3
2
? B． 2 3 39? C． 4 3 39? D． 394 3
2
?
【解答】解：矩形 ABCD中， 2 3AB ? ， 2BC ? ，沿 AC 将三角形 ADC折起，
当平面 ADC ?平面 ABC时，得到的四面体 A BCD? 的体积最大，如图所示；
- 12 -
过点 D作 DO ?平面 ABC，垂足为O，
则点 D到平面 ABC的距离为
2 2
2 2 3 3
2 (2 3)
AD CDd OD
AC
? ?
? ? ? ?
?
，
过点O作OM AB? ，作ON BC? ，垂足分别为M 、 N，连接 DM ， DN ；
则 BM AB? ， DN BC? ；
所以 1AO ? ， 3OC ? ，
所以
1
2
OM ? ， 3 3
2
ON ? ；
所以 2 2
1 133
4 2
DM DO OM? ? ? ? ? ，
2 2 27 393
4 2
DN DO ON? ? ? ? ? ；
又
1 2 3 2 2 3
2ADC ABC
S S? ?? ? ? ? ? ，
1 1 13 392 3
2 2 2 2ACD
S AB DM? ? ? ? ? ?? ，
1 1 39 392
2 2 2 2BCD
S BC DN? ? ? ? ? ?? ；
所以四面体 A BCD? 的表面积为：
2 4 3 39ABC ACD BCDS S S S? ? ?? ? ? ? ? ．
故选：C．
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分.
13．已知一组数据 1x ， 2x ，?， nx 的方差为 5，则这组数据 13 2x ? ， 23 2x ? ，?，3 2nx ?
的方差为 45 ．
【解答】解：?一组数据 1x ， 2x ，?， nx 的方差为 5，
?这组数据 13 2x ? ， 23 2x ? ，?， 3 2nx ? 的方差为：
- 13 -
23 5 45? ? ．
故答案为：45．
14．已知直线 6 0x ay? ? ? 与圆 2 2 8x y? ? 交于 A，B两点，若 | | 2 2AB ? ，则 a ? 5? ．
【解答】解：圆 2 2 8x y? ? 的圆心坐标为 (0,0)，半径为 2 2，
?直线 6 0x ay? ? ? 被圆 2 2 8x y? ? 所截弦长 | | 2 2AB ? ，
?圆心 (0,0)到直线 6 0x ay? ? ? 的距离 2 2(2 2) ( 2) 6d ? ? ? ，
则
2
| 6 | 6
1 a
?
?
，解得 5a ? ? ．
故答案为： 5? ．
15．表面积为 4 3的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 6? ．
【解答】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，
?表面积为 4 3的正四面体，
正四面体棱长为 a， 2
3 3
4
a ? ，解得 2a ? ，
?正方体的棱长是 2 ，
又?球的直径是正方体的对角线，设球半径是 R，
2 6R? ? ，
6
2
R? ? ，
?球的体积为 3
4 6( ) 6
3 2
? ?? ．
故答案为： 6? ．
16．如图，在正三棱柱 1 1 1ABC A BC? 中，D为棱 1AA 的中点．若截面△ 1BC D是面积为 6的
直角三角形，则此三棱柱的体积为 8 3 ．
- 14 -
【解答】解：设 AC a? ， 1CC b? ，截面△ 1BC D是面积为 6的直角三角形，
则由 2 2 2 2
1( ) 2
4
a b a b? ? ? ? ，
得 2 22b a? ，又 21 3 6
2 2
a? ? ，
2 8a? ? ， 3 8 4 8 3
4
V? ? ? ? ? ．
故答案为：8 3
三、解答题：本大题共 6小题，共 70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
17．已知向量 (4, 2), ( ,1)a b x? ? ?
??
．
（1）若 a b?
??
，求 x的值；
（2）当 2x ? 时，求 a?与 2b a?
? ?
角? 的余弦值．
【解答】解：（1）?向量 (4, 2), ( ,1)a b x? ? ?
??
，
- 15 -
若 a b?
??
，则 4 2 0a b x? ? ?
??? ， 1
2
x ? ．
（2）当 2x ? 时，设 a?与 2b a?
? ?
夹角为? ，? (4, 2)a ? ?? ， 2 (8,0)b a? ?
? ?
，
故
2(2 ) 2 32 2 5cos
5| | | 2 | 20 8 16 5
a b a a b a
a b a
? ? ?? ? ? ?
?
? ?? ? ? ?? ??? ?? ?
．
18．已知函数 2 2( ) sin 2sin cos 3cosf x x x x x? ? ? ．
（Ⅰ）求函数 ( )f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若 [0x? ， ]
2
?
，求函数 ( )f x 的最值及相应 x的取值．
【解答】解：（Ⅰ） 2 2 2( ) sin 2sin cos 3cos sin 2 2cos 1f x x x x x x x? ? ? ? ? ?
sin 2 cos2 2 2 sin(2 ) 2
4
x x x ?? ? ? ? ? ? ，
令 2 2 2
2 4 2
k x k? ? ?? ?? ? ?? ? ， k Z? ，
则
3
8 8
k x k? ?? ?? ?? ? ， k Z? ，
则有函数的单调递增区间为
3[
8
k ?? ? ， ]
8
k ?? ? ， k Z? ．
（Ⅱ）当 [0x? ， ]
2
?
时， 2 [
4 4
x ? ?? ? ， 5 ]
4
?
，
则有 sin(2 ) [ 1
4
x ?? ? ? ，1]，
则当
2
x ?? 时， ( )f x 取得最小值，且为 1，
当
8
x ?? 时， ( )f x 取得最大值，且为 2 2? ．
19．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，
得到如表数据：
单价 x（元 ) 6 7 8 9 10
销量 y（件 ) 55 48 44 38 25
且 1 1 2 2 5 5 1610x y x y x y? ??? ? ，
2 2 2
1 2 5 330x x x? ??? ? ， 1 1 2 22 2 2 2
1 2
n n
n
x y x y x y nxyb
x x x nx
? ??? ?
?
? ??? ?
，
a y bx? ? ．
（1）已知 y与 x具有线性相关关系，求出 y关于 x回归直线方程；
（2）预测当单价为 12元时其销量为多少？
【解答】解：（1）由题意计算得，
- 16 -
1 (6 7 8 9 10) 8
5
x ? ? ? ? ? ? ? ，
1 (55 48 44 38 25) 42
5
y ? ? ? ? ? ? ? ，
? 2
1610 5 8 42? 7
330 5 8
b ? ? ?? ? ?
? ?
，
?? 42 ( 7) 8 98a y bx? ? ? ? ? ? ? ，
y? 关于 x回归直线方程为 ? 7 98y x? ? ? ；
（2）当 12x ? 时， ? 7 12 98 14y ? ? ? ? ? ，
即当单价为 12元时预测其销量为 14件．
20．某快递公司近 60天每天揽件数量的频率分布直方图如图所示（同一组数据用该区间的
中点值作代表）．
（1）求这 60天每天包裹数量的平均值和中位数；
（2）在这 60天中包裹件数在 [100， 200)．[200，300)的两组中，用分层抽样的方法抽取
30件，求落在这两组中分别抽取多少件？
【解答】解：（1）每天包裹数量的平均数为：
0.1 50 0.1 150 0.5 250 0.2 350 0.1 450 260? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ．
设中位数为 x，由题意得 (200,300)x? ，
则 0.001 100 2 0.005 ( 200) 0.5x? ? ? ? ? ? ，解得 260x ? ．
所以公司每天包裹的平均数和中位数都为 260件．
（2）件数在 [100， 200)． [200，300)的频率分别为 0.1，0.5
频率之比为1: 5，所抽取的 30件中，在 [100， 200)的件数为 130 5
6
? ? ，
在 [200， 300)的件数为 530 25
6
? ? ．
21 ． 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD? 中 ， 四 边 形 ABCD 是 直 角 梯 形 ，
- 17 -
2 2 2 90DC AD AB DAB ADC? ? ? ? ? ? ? ?， 2PB ? ， PDC? 为等边三角形．
（1）证明： PD BC? ；
（2）求点 B到平面 PCD的距离．
【解答】解：（1）证明：?在四棱锥 P ABCD? 中，四边形 ABCD是直角梯形，
2 2 2DC AD AB? ? ? ， 90DAB ADC? ? ? ? ?， 2PB ? ， PDC? 为等边三角形．
2 21 1 2BC BD? ? ? ? ? ， 2 2 2BD BC CD? ? ? ， 2 2 2PB BC PC? ? ，
BD BC? ? ， PB BC? ， BD PB B?? ? ，
BC? ?平面 PBD， PD ?? 平面 PBD，
PD BC? ? ．
（2） 2 2 2BD PB PD? ?? ， PB BD? ? ，
以 B为原点， BC为 x轴， BD为 y轴， BP为 z轴，建立空间直角坐标系，
则 (0B ，0， 0)， (0P ，0， 2)， (0D ， 2 ， 0)， ( 2C ，0， 0)，
(0PB ?
????
，0， 2)? ， (0PD ?
????
， 2 ， 2)? ， ( 2PC ?
????
，0， 2)? ，
设平面 PDC的法向量 (n x?? ， y， )z ，
则
2 2 0
2 2 0
n PD y z
n PC x z
? ? ? ??
?
? ? ???
??????
??????
，取 1z ? ，得 (1n ?? ，1，1)，
?点 B到平面 PCD的距离为：
| | 2 6
| | 33
PB nd
n
? ? ?
???? ??
? ．
- 18 -
22．已知圆 2 2: ( 2) ( 2) 16C x y? ? ? ? ，点 (10,0)A ．
（1）设点 P是圆C上的一个动点，求 AP的中点Q的轨迹方程；
（2）直线 : 10 0l kx y k? ? ? 与圆C交于M ， N，求 AM AN
????? ????
? 的值．
【解答】解：（1）设 ( , )Q x y ， 0(P x ， 0 )y ，则
2 2
0 0( 2) ( 2) 16x y? ? ? ? ，
由 0
10
2
xx ?? ， 0 0
2
yy ?? ，解得 0 2 10x x? ? ， 0 2y y? ．
代入圆的方程可得： 2 2(2 10 2) (2 2) 16x y? ? ? ? ? ，
化为： 2 2( 6) ( 1) 4x y? ? ? ? ．
AP? 的中点Q的轨迹方程为： 2 2( 6) ( 1) 4x y? ? ? ? ．
（2）直线 : 10 0l kx y k? ? ? 与圆C交于 1(M x ， 1)y ， 2(N x ， 2 )y ，
把直线 l的方程代入圆的方程可得： 2 2( 2) ( 10 2) 16x kx k? ? ? ? ? ，
化为： 2 2 2 2(1 ) (20 4 4) 100 40 12 0k x k k x k k? ? ? ? ? ? ? ? ．
△ 0? ．
2
1 2 2
100 40 12
1
k kx x
k
? ?
? ?
?
，
2
1 2 2
20 4 4
1
k kx x
k
? ?
? ?
?
．
? 1( 10AM AN x? ?
????? ????
? ， 1 2) ( 10y x ?? ， 2 1 2 1 2) ( 10) ( 10) )y x x y y? ? ? ??
1 2 1 2( 10) ( 10) ( 10 )( 10 )x x kx k kx k? ? ? ? ? ??
2 2 2
1 2 1 2(1 ) (10 10)( ) 100 100k x x k x x k? ? ? ? ? ? ?
2 2
2 2 2
2 2
100 40 12 20 4 4(1 ) (10 10) 100 100 48
1 1
k k k kk k k
k k
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ?
．