2019-2020学年陕西省汉中市高二（上）期中数学试卷（文科）（PDF版 含答案）

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2019-2020 学年陕西省汉中市高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 { 1A ? ? ，0，1}， { | 2 1}xB x? ? ，则 (A B ?? )
A．{ 1? ，0，1} B．{ 1? ， 0} C．{0，1} D．{ 1? ，1}
2．命题“存在 x R? ， 2 1 0x x? ? ? 的否定是 ( )
A．不存在 x R? ， 2 1 0x x? ? ? B．存在 x R? ， 2 2 0x x? ? ?
C．对任意的 x R? ， 2 1 0x x? ? ? D．对任意的 x R? ， 2 1 0x x? ? ?
3．小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角
的弧度数是 ( )
A．
3
? B．
6
? C．
3
?
? D．
6
?
?
4．平面向量 a?与 b
?
的夹角为 60?，且 (3,0)a ?? ， | | 1b ?
?
，则 | 2 | (a b? ?
?? )
A． 3 B． 19 C．19 D． 2 3
5．已知3a e? ， 3 3log 5 log 2b ? ? ， 2 3c ln? ，则 a、 b、 c的大小关系为 ( )
A． a c b? ? B． b c a? ? C． c a b? ? D． c b a? ?
6．函数 ( ) 3f x x lgx? ? ? 零点所在区间为 ( )
A． (0,1) B． (1,2) C． (2,3) D． (3,4)
7．甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7位评委的评分情况如
茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是 81，乙班成绩的平均数是 86，若正实数 a、b满足：
a，G， b成等差数列且 x，G， y成等比数列，则 1 4
a b
? 的最小值为 ( )
A． 4
9
B．2 C．8 D． 9
4
- 2 -
8．函数 2( ) ( 1)sin
1 x
f x x
e
? ?
?
的图象的大致形状是 ( )
A．
B．
C．
D．
9．设椭圆
2 2
2 2 1( 0)
x y n m
m n
? ? ? ? 的上焦点与抛物线 24y x? 的焦点相同，离心率为 1
2
，则此
椭圆方程为 ( )
A．
2 2
1
3 4
x y
? ? B．
2 2
1
12 16
x y
? ?
C．
2
2128 32 1
3
x y? ? D．
2
2256 64 1
3
x y? ?
10．2021年某省新高考将实行“3 1 2? ? ”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二
选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有 12种选课模式．某同学已选了物理，记事件 A：
“他选择政治和地理”，事件 B：“他选择化学和地理”，则事件 A与事件 (B )
A．是互斥事件，不是对立事件
B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件
D．既不是互斥事件也不是对立事件
11．圆柱的侧面展开图是一个面积为 216? 的正方形，该圆柱内有一个体积为V 的球，则V 的
最大值为 ( )
- 3 -
A． 32
3
? B．
432
3
? C． 256
3
? D．
4256
3
?
12．已知锐角 ABC? 的角 A， B，C 的对边分别为 a， b， c，且 1c ? ，三角形 ABC的面
积 1ABCS? ? ，则
2 2a b? 的取值范围为 ( )
A． 17[ , )
2
?? B． (9, )?? C． 17[
2
， 9] D． 17[
2
， 9)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．
13．不等式 1 2x
x
?
? 的解集为 ．
14．已知数列{ }na 中， 1 1a ? ， 1 1n na a n? ? ? ? ，则数列{ }na 的通项公式是 ．
15．已知一组数 1，2，m，6，7的平均数为 4，则这组数的方差为
16．已知函数 1
| 1 |,0 2
( ) 1( ) ,2 3
2
x
x x
f x
x?
??
?? ?
???
? ?
?
，若存在实数 1x ， 2x ， 3x ，当 1 2 30 3x x x? ?? ? 时，
1 2 3( ) ( ) ( )f x f x f x? ? ，则 1 2 2 3( ) ( )x x x f x? 的取值范围是 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数 ( ) 2cos ( 3 sin cos )f x x x x? ? ．
（Ⅰ）求函数 ( )f x 的最小正周期和对称中心坐标；
（Ⅱ）讨论 ( )f x 在区间 [0, ]
2
?
上的单调性．
18．已知{ }na 是公差不为零的等差数列， 1 1a ? ，且 1a ， 2a ， 5a 成等比数列．
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）设数列
1
12 nan
n n
b
a a ?
? ? ，求数列{ }nb 的前 n项和 nS ．
19．某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工
手机流量使用情况，通过抽样，得到 100位员工每人手机月平均使用流量 L（单位： )M 的
数据，其频率分布直方图如图．
（Ⅰ）从该企业的 100位员工中随机抽取 1人，求手机月平均使用流量不超过 900M 的概率；
- 4 -
（Ⅱ）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：
套餐名称 月套餐费（单位：元） 月套餐流量（单位： )M
A 20 700
B 30 1000
流量套餐的规则是：每月 1日收取套餐费．如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购
买流量叠加包，每一个叠加包（包含 200M 的流量）需要 10元，可以多次购买，如果当月
流量有剩余，将会被清零．
该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费
用．若以平均费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？
20．如图，在四棱锥 E ABCD? 中， ED ? 平面 ABCD ， / /AB CD ， AB AD? ，
1 1
2
AB AD CD? ? ? ．
（1）求证： BC ?平面 BDE；
（2）当几何体 ABCE的体积等于 1
3
时，求四棱锥 E ABCD? 的侧面积．
- 5 -
21．已知 ( 2,0)A ? ， (1,0)B ， (6,0)Q ，若动点 ( , )P x y? ? 满足 | | 2 | |PA PB? ，设线段 PQ的中点
为M
（1）求点M 的轨迹方程；
（2）设直线 1y kx? ? 与点 M 的轨迹交于不同的两点 1(C x ， 1)y ， 2(D x ， 2 )y ，且满足
1 2 2
1| |
1
x x
k
? ?
?
，求直线 l的方程．
22．已知函数 | |( ) x af x e ?? ， ( ) bxh x e?
（1）若 2a ? ， 1b ? ，判断 ( ) ( ) ( )g x f x h x? ? 在 ( ,1)?? 上的单调性，并用定义证明；
（2）已知 [0b? ， 2)ln ，存在 0 [0x ? ，1]，对任意 [0x? ，1]，都有 0| ( ) ( ) | 1f x h x? ? 成立，
求 a的取值范围．
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2019-2020 学年陕西省汉中市高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 { 1A ? ? ，0，1}， { | 2 1}xB x? ? ，则 (A B ?? )
A．{ 1? ，0，1} B．{ 1? ， 0} C．{0，1} D．{ 1? ，1}
【解答】解： { 1A ? ?? ，0，1}， { | 0}B x x? ? ，
{ 1A B? ? ?? ， 0}．
故选： B．
2．命题“存在 x R? ， 2 1 0x x? ? ? 的否定是 ( )
A．不存在 x R? ， 2 1 0x x? ? ? B．存在 x R? ， 2 2 0x x? ? ?
C．对任意的 x R? ， 2 1 0x x? ? ? D．对任意的 x R? ， 2 1 0x x? ? ?
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在 x R? ， 2 1 0x x? ? ? 的否
定是：对任意的 x R? ， 2 1 0x x? ? ? ．
故选： D．
3．小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角
的弧度数是 ( )
A．
3
? B．
6
? C．
3
?
? D．
6
?
?
【解答】解：他需要将表的时针逆时针旋转，则转过的角的弧度数是
6
?
，
故选： B．
4．平面向量 a?与 b
?
的夹角为 60?，且 (3,0)a ?? ， | | 1b ?
?
，则 | 2 | (a b? ?
?? )
A． 3 B． 19 C．19 D． 2 3
【解答】解：平面向量 a?与 b
?
的夹角为 60?， (3,0)a ?? ， | | 1b ?
?
，
| | 3a? ?? ，
? 2 2 2( 2 ) 4 4 9 4 3 1 cos60 4 1 19a b a a b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ?? ，
- 7 -
| 2 | 19a b? ? ?
??
．
故选： B．
5．已知3a e? ， 3 3log 5 log 2b ? ? ， 2 3c ln? ，则 a、 b、 c的大小关系为 ( )
A． a c b? ? B． b c a? ? C． c a b? ? D． c b a? ?
【解答】解： 3 3
5, , 3
2
a log e b log c ln? ? ? ，
? 3 3 3
5 3 1, 3 1
2
log log e log ln lne? ? ? ? ? ，
c a b? ? ? ．
故选：C．
6．函数 ( ) 3f x x lgx? ? ? 零点所在区间为 ( )
A． (0,1) B． (1,2) C． (2,3) D． (3,4)
【解答】解：?函数 ( ) 3f x x lgx? ? ? 在定义域内是连续函数；
f （2） 2 3 2 0lg? ? ? ? ， f （3） 3 3 3 3 0lg lg? ? ? ? ? ；
f? （2） f （3） 0? ，
根据零点存在性定理，
( )f x 的零点在区间 (2,3)上，
故选：C．
7．甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7位评委的评分情况如
茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是 81，乙班成绩的平均数是 86，若正实数 a、b满足：
a，G， b成等差数列且 x，G， y成等比数列，则 1 4
a b
? 的最小值为 ( )
A． 4
9
B．2 C．8 D． 9
4
【解答】因为甲的中位数为 81，故 1x ? ；
因为乙的平均数是 86，可求得 4y ? ；
因为 x，G， y成等比数列，所以 2 4G xy? ? ，
- 8 -
因为 a，G， b成等差数列，则 2G a b? ? ，且 a、 b为正实数，所以 4a b? ?
1 4 1 1 4 1 4 5 1 4 5 1 4 5 1 9( )( ) (1 4) ( ) 2 2 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4
b a b a b aa b
a b a b a b a b a b
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
故选： D．
8．函数 2( ) ( 1)sin
1 x
f x x
e
? ?
?
的图象的大致形状是 ( )
A．
B．
C．
D．
【解答】解： ( )f x? 的函数的定义域为 R，
2 2 2 2 2 2( ) ( 1)sin( ) ( 1)sin (2 1)sin ( 1)sin ( )
1 1 1 11
x
x x x
x
ef x x x x x f x
e e e
e
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ??
( )f x? 为偶函数，
( )f x? 关于 y轴对称，
当 0x ? 时， (0) 0f ? ，
当 1x ? 时， f （1） 2( 1)sin1 0
1 e
? ? ?
?
，
故选： B．
9．设椭圆
2 2
2 2 1( 0)
x y n m
m n
? ? ? ? 的上焦点与抛物线 24y x? 的焦点相同，离心率为 1
2
，则此
椭圆方程为 ( )
- 9 -
A．
2 2
1
3 4
x y
? ? B．
2 2
1
12 16
x y
? ?
C．
2
2128 32 1
3
x y? ? D．
2
2256 64 1
3
x y? ?
【解答】解：?抛物线 24y x? 的焦点为 1(0, )
16
，椭圆焦点在 y轴上，
2 2
1
3 4
x y
? ? 的焦点坐
标 (0,1)排除 A；
2 2
1
12 16
x y
? ? 的焦点坐标 (0,2)排除 B，
由
1
2
e ? 排除C ，
故选： D．
10．2021年某省新高考将实行“3 1 2? ? ”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二
选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有 12种选课模式．某同学已选了物理，记事件 A：
“他选择政治和地理”，事件 B：“他选择化学和地理”，则事件 A与事件 (B )
A．是互斥事件，不是对立事件
B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件
D．既不是互斥事件也不是对立事件
【解答】解：2021年某省新高考将实行“ 3 1 2? ? ”模式，
即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，
共有 12种选课模式．某同学已选了物理，
记事件 A：“他选择政治和地理”，事件 B：“他选择化学和地理”，
则事件 A与事件 B不能同时发生，但能同时不发生，
故事件 A和 B是互斥事件，但不是对立事件，故 A正确．
故选： A．
11．圆柱的侧面展开图是一个面积为 216? 的正方形，该圆柱内有一个体积为V 的球，则V 的
最大值为 ( )
A． 32
3
? B．
432
3
? C． 256
3
? D．
4256
3
?
【解答】解：圆柱的侧面展开图是一个面积为 216? 的正方形，所以该圆柱的底面半径为
2 4r? ?? 解得 2r ? ，
圆柱的高为 4? ，该圆柱内有一个体积为V 的球，当球的最大圆的与圆柱的侧面相切时，该
- 10 -
球的体积最大值
34 2 32
3 3
V ? ?? ?? ．
故选： A．
12．已知锐角 ABC? 的角 A， B，C 的对边分别为 a， b， c，且 1c ? ，三角形 ABC的面
积 1ABCS? ? ，则
2 2a b? 的取值范围为 ( )
A． 17[ , )
2
?? B． (9, )?? C． 17[
2
， 9] D． 17[
2
， 9)
【解答】解：因为三角形为锐角三角形，所以过C作CD AB? 于D，D在边 AB上，如图：
因为：
1 1
2ABC
S AB CD? ? ?? ，所以 2CD ? ，
在三角形 ADC中， 2 2 2 4AD AC CD b? ? ? ? ，
在三角形 BDC 中， 2 2 2 4BD BC CD a? ? ? ? ，
1AD BD AB? ? ?? ，? 2 24 4 1a b? ? ? ? ，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 4 8 ( 4) ( 4) 8 ( 4) (1 4) 8a b a b a b a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 2 22( 4) 2 4 9a a? ? ? ? ?
? 2 4 (0,1)a ? ? ．
2 2 17[
2
a b? ? ? ， 9)．
故选： D．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．
13．不等式 1 2x
x
?
? 的解集为 ( 1,0)? ．
【解答】解：由
1 2x
x
?
? 可得
1 2 0x
x
?
? ? ，
整理可得，
1 0x
x
?
? ，
- 11 -
解可得，{ | 1 0}x x? ? ? ．
故答案为： ( 1,0)?
14．已知数列{ }na 中， 1 1a ? ， 1 1n na a n? ? ? ? ，则数列{ }na 的通项公式是
( 1)
2n
n na ?? ．
【解答】解：数列{ }na 中， 1 1a ? ， 1 1n na a n? ? ? ? ，
所以 1 1n na a n? ? ? ? ，
当 2n? 时， 1n na a n?? ? ，
进一步整理得， 1 2 1n na a n? ?? ? ? ，
?，
2 1 2a a? ? ，
所以 1 2 3na a n? ? ? ??? ，
则：
( 1)1 2 3
2n
n na n ?? ? ? ??? ? （首项符合通项）．
故
( 1)
2n
n na ?? ．
故答案为：
( 1)
2n
n na ??
15．已知一组数 1，2，m，6，7的平均数为 4，则这组数的方差为 26
5
【解答】解：数据 1，2，m，6，7的平均数为 4，
则
1 (1 2 6 7) 4
5
x m? ? ? ? ? ? ? ，
解得 4m ? ，
所以这组数的方差为
2 2 2 2 2 21 26[(1 4) (2 4) (4 4) (6 4) (7 4) ]
5 5
s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ．
故答案为：
26
5
．
16．已知函数 1
| 1 |,0 2
( ) 1( ) ,2 3
2
x
x x
f x
x?
??
?? ?
???
? ?
?
，若存在实数 1x ， 2x ， 3x ，当 1 2 30 3x x x? ?? ? 时，
1 2 3( ) ( ) ( )f x f x f x? ? ，则 1 2 2 3( ) ( )x x x f x? 的取值范围是
5[
8
，
3)
2
．
【解答】 解：分别画出 | 1 |y x? ? 与 11( )
2
xy ?? 的图象，如图所示
- 12 -
所以 1 2 2x x? ? ， 3
1
1 2
11 1 ( )
2
xx x ?? ? ? ? ，得 3 12
1( ) 1
2
xx ?? ? ，得
则 3 31 11 2 2 3
1 1( ) ( ) 2(( ) 1) ( )
2 2
x xx x x f x ? ?? ? ? ? ，
令 3 1
1( )
2
xt ??? ， 3 (2x ? ， 3]，得
1[
4
t? ， 1)
2
，
又 22( 1) 2 2y t t t t? ? ? ? ，则 y的取值范围为 5[
8
，
3)
2
．
故答案为：
5[
8
，
3)
2
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数 ( ) 2cos ( 3 sin cos )f x x x x? ? ．
（Ⅰ）求函数 ( )f x 的最小正周期和对称中心坐标；
（Ⅱ）讨论 ( )f x 在区间 [0, ]
2
?
上的单调性．
【解答】解：（Ⅰ） 2( ) 2cos ( 3 sin cos ) 3 sin 2 2f x x x x x cos x? ? ? ?
3 sin 2 cos2 1 2sin(2 ) 1
6
x x x ?? ? ? ? ? ? ．
2
2
T ? ?? ? ? ，
由 2
6
x k? ?? ? ，得
12 2
kx ? ?? ? ? ， k Z? ．
( )f x? 的对称中心为 (
12 2
k? ?
? ? ，1)， k Z? ；
（Ⅱ）由 2 2 2
2 6 2
k x k? ? ?? ?? ? ? ?? ? ， k Z? ．
解得
3 6
k x k? ?? ?? ? ?? ? ， k Z? ．
由
32 2 2
2 6 2
k x k? ? ?? ?? ? ?? ? ， k Z? ．
解得
2
6 3
k x k? ?? ?? ?? ? ， k Z? ．
- 13 -
取 0k ? ，可得 ( )f x 在区间 [0, ]
2
?
上的增区间为 [0， ]
6
?
，减区间为 (
6
?
， ]
2
?
．
18．已知{ }na 是公差不为零的等差数列， 1 1a ? ，且 1a ， 2a ， 5a 成等比数列．
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）设数列
1
12 nan
n n
b
a a ?
? ? ，求数列{ }nb 的前 n项和 nS ．
【解答】解：（1）已知{ }na 是公差 d不为零的等差数列， 1 1a ? ，且 1a ， 2a ， 5a 成等比数列．
所以 22 1 5a a a? ? ，整理得
2
1 1 1( ) ( 4 )a d a a d? ? ?? ，解得 2d ? ．
故 1 2( 1) 2 1na a n n? ? ? ? ? ．
（2）由于 2 1na n? ? ，
所以 2 1
1
1 1 4 1 1 12 2 ( )
(2 1)(2 1) 2 2 2 1 2 1
n
n
a n
n
n n
b
a a n n n n
?
?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
，
所以 1 2
1 1 1 1 1 1 1(4 4 4 ) (1 )
2 2 3 3 5 2 1 2 1
n
nS n n
? ? ??? ? ? ? ? ??? ?
? ?
1 4(4 1) 1 1(1 )
2 4 1 2 2 1
n
n
?
? ? ?
? ?
? ，
2 (4 1)
3 2 1
n n
n
? ? ?
?
．
19．某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工
手机流量使用情况，通过抽样，得到 100位员工每人手机月平均使用流量 L（单位： )M 的
数据，其频率分布直方图如图．
（Ⅰ）从该企业的 100位员工中随机抽取 1人，求手机月平均使用流量不超过 900M 的概率；
（Ⅱ）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：
套餐名称 月套餐费（单位：元） 月套餐流量（单位： )M
A 20 700
B 30 1000
流量套餐的规则是：每月 1日收取套餐费．如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购
买流量叠加包，每一个叠加包（包含 200M 的流量）需要 10元，可以多次购买，如果当月
流量有剩余，将会被清零．
该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费
- 14 -
用．若以平均费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？
【解答】解：（1）由题意知：
(0.0002 0.0008 0.0025 0.0035 0.0008) 100 1 0.00 22a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ．
所 以 100 位 员 工 每 人 手 机 月 平 均 使 用 流 量 不 超 过 900M 的 概 率 为
1 (0.0002 0.0008) 100 0.9? ? ? ? ，
（2）若该企业选择 A套餐，则 100位员工每人所需费用可能为 20元，30元，40元，
每月使用流量的平均费用为 20 (0.08 0.22) 30 (0.25 0.35) 40 (0.08 0.02) 28? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
若该企业选择 B套餐，则 100位员工每人所需费用可能为 30元，40元，每月使用流量的平
均费用为 30 (0.08 0.22 0.25 0.35) 40 0.02 30.2? ? ? ? ? ? ? ，
所以该企业选择 A套餐更经济．
20．如图，在四棱锥 E ABCD? 中， ED ? 平面 ABCD ， / /AB CD ， AB AD? ，
1 1
2
AB AD CD? ? ? ．
（1）求证： BC ?平面 BDE；
（2）当几何体 ABCE的体积等于 1
3
时，求四棱锥 E ABCD? 的侧面积．
【解答】解：（1）证明：取CD的中点 F ，连接 BF ，
则直角梯形 ABCD中， BF CD? ， BF CF DF? ? ，
90CBD?? ? ?，即 BC BD? ，
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又 ED ?平面 ABCD， BC ?平面 ABCD，
BC DE? ? ，
又 BD DE D?? ，
BC? ?平面 BDE；
（2） ED ?? 平面 ABCD，
DE AB? ? ，
又 AB AD? ，
AB? ? 平面 ADE ，
AB AE? ? ，
1 1 1 1
3 2 6 3A BCE E ABC
V V DE AB AD DE? ?? ? ? ? ? ? ? ?三棱锥 三棱锥 ，解得 2DE ? ，
又
1 1
2
AD CD? ? ，DE AD? ，
5EA? ? ，
又 1AB ? ， 6BE? ? ；
又 BC ?平面 BDE， BC BE? ? ， CBE? 是直角三角形；
?四棱锥 E ABCD? 的侧面积为
6 2 3 51 1 1 1
2 2 2 2 2
S DE AD AE AB DE CD BC BE
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?侧 ．
21．已知 ( 2,0)A ? ， (1,0)B ， (6,0)Q ，若动点 ( , )P x y? ? 满足 | | 2 | |PA PB? ，设线段 PQ的中点
为M
（1）求点M 的轨迹方程；
（2）设直线 1y kx? ? 与点 M 的轨迹交于不同的两点 1(C x ， 1)y ， 2(D x ， 2 )y ，且满足
1 2 2
1| |
1
x x
k
? ?
?
，求直线 l的方程．
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【解答】解：（1）因为 ( 2,0)A ? ， (1,0)B ， ( , )P x y? ? ，且 | | 2 | |PA PB?
所以 2 2 2 2( 2) 2 ( 1)x y x y? ? ? ?? ? ? ? ? ，
化简得 2 2 4 0x y x? ? ?? ? ? ，即 2 2( 2) 4x y? ?? ? ? ①
设 ( , )M x y ，由中点坐标公式得
6
2
2
xx
yy
? ?? ???
? ?? ?
??
，即
2 6
2
x x
y y
? ? ??
? ? ??
②
将②代入①得： 2 2(2 8) (2 ) 4x y? ? ?
所以点M 的轨迹方程为 2 2( 4) 1x y? ? ? ?
（2）由 2 2
1
( 4) 1
y kx
x y
? ??
? ? ? ??
消去 y得 2 2( 4) ( 1) 1x kx? ? ? ? ，
整理得 2 2(1 ) 2(4 ) 16 0k x k x? ? ? ? ? ，
所以 1 2 1 22 2
2(4 ) 16,
1 1
kx x x x
k k
?
? ? ?
? ?
? ，
由已知 1 2 2
1| |
1
x x
k
? ?
?
得 21 2 1 2 2 2
1( ) 4
(1 )
x x x x
k
? ? ?
?
? ，
所以
2
2 2 2 2 2
4(4 ) 16 14
(1 ) 1 (1 )
k
k k k
?
? ? ?
? ? ?
即 2 24(4 ) 64(1 ) 1k k? ? ? ? ，即 260 32 1 0k k? ? ?
所以 1 2
1 1,
2 30
k k? ?
所以直线 l的方程为 1 1
2
y x? ? 或 1 1
30
y x? ?
即 2 1 0x y? ? ? 或 30 30 0x y? ? ? ?
22．已知函数 | |( ) x af x e ?? ， ( ) bxh x e?
（1）若 2a ? ， 1b ? ，判断 ( ) ( ) ( )g x f x h x? ? 在 ( ,1)?? 上的单调性，并用定义证明；
（2）已知 [0b? ， 2)ln ，存在 0 [0x ? ，1]，对任意 [0x? ，1]，都有 0| ( ) ( ) | 1f x h x? ? 成立，
求 a的取值范围．
【解答】解：（1） 2a ?? ， 1b ? ，
| 2|( ) ( ) ( ) x xg x f x h x e e?? ? ? ? ? ，且 1x ? ，
2( ) x xg x e e?? ? ? ， ( )y g x? 在 ( ,1)?? 上为减函数，
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证明：任取 1x ， 2 ( ,1)x ? ?? ，且 1 2x x? ，
2 1
1 2 2 1
1 2 1 2
2 2 2
1 2
( )( ) ( ) ( ) ( )
x x
x x x x
x x x x
e e e e eg x g x e e e e
e e e e
?
? ? ? ? ? ? ? ? ，
1 2
2 1
1 2
2
( )
x x
x x
x x
e e ee e
e e
?
? ? ，
1 2 1x x? ?? ，
? 2 1 0x xe e? ? ， 1 2 1 22 x x x xe e e e?? ? ，
1 2( ) ( ) 0g x g x? ? ? ，即 1 2( ) ( )g x g x? ，
( )y g x? ? 在 ( ,1)?? 上为减函数．
（2） 0| ( ) ( ) | 1f x h x? ?? ，
0( ) 1 ( ) ( ) 1f x h x f x? ? ? ? ?
?对任意 [0x? ，1]，存在 0 [0x ? ，1]，
使得 0( ) 1 ( ) ( ) 1f x h x f x? ? ? ? 成立，
即存在 0 [0x ? ，1]，使得 0( ( ) 1) ( ) ( ( ) 1)max minf x h x f x? ? ? ? ，
当 0 2b ln?? ， ( )h x 为增函数或常函数，
01 ( ) 2
bh x e ?? ? ? ，
此时 0( ( ) 1) 1 2minf x e? ? ?? ，
则有 0( ) ( ( ) 1)minh x f x? ? 恒成立
当
1
2
a? 时， ( )maxf x f? （1） 1 ae ??
11b ae e ?? ? ?
1 ( 1)ba ln e? ? ? ?
? 1( 1) 2
2
bln e ln ln e? ? ??
11 ( 1)
2
bln e? ? ? ? ，
?
1(1 ( 1), ]
2
ba ln e? ? ?
当 a 1
2
? 时，
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? ( ) (0) amaxf x f e? ?
1b ae e? ? ? ，
( 1)ba ln e? ? ?
1( 1) 2
2
bln e ln ln e? ? ?? ? ，
11 ( 1)
2
bln e? ? ? ? ．
?
1( , ( 1))
2
ba ln e? ? ，
综上所述， (1 ( 1)ba ln e? ? ? ， ( 1))bln e ? ．