14.2.5 两个直角三角形全等的判定学案(要点讲解+当堂检测+答案)
文档属性
| 名称 | 14.2.5 两个直角三角形全等的判定学案(要点讲解+当堂检测+答案) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-30 11:24:06 | ||
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文档简介
沪科版数学八年级上册同步学案
第14章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
14.2.5 两个直角三角形全等的判定
要 点 讲 解
要点 运用“斜边、直角边”判定三角形全等
1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简记为“斜边、直角边”或“HL”．
2. 应用格式：如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∵∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．
(1)“HL”判定方法只适用于直角三角形的判定，所以使用时必须强调三角形为直角三角形；
(2)判定两个直角三角形全等时，首选“HL”，如果没有合适条件，再考虑其他判定方法．
拓展：全等三角形判定方法的综合应用
1．判定两个三角形全等时要认真分析已知条件，结合图形，从中找出已知条件和所要证明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般可按下面的思路进行分析：
2．证明线段相等或角相等的基本思路
观察图形，找出要证的线段或角在哪两个三角形中，证明这两个三角形全等即可，如果这样的三角形找不到，则要考虑添加适当的辅助线，构造出全等的三角形来．
3．常见的添加辅助线证明三角形全等的方法
(1)遇到三角形的中线，延长中线，使延长的线段与原中线长度相等，构造全等三角形．这种添加辅助线
的方法简称“中线延长加倍”．利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
(2)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对称”，所考知识点常常是角平分线的定理．(将要在下一章第四节中学到)
(3)截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合证明线段的和、差、倍、分等类型的题目．
经典例题 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．如果他只带了一个卷尺，你能帮他想个办法吗？
解析：用卷尺分别测量AB与A′B′，AC与A′C′两组边的长度，若分别对应相等，则Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，若不对应相等，则Rt△ABC与Rt△A′B′C′不全等．
解：若测量得到AB与A′B′，AC与A′C′分别对应相等，则在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，
∵∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)．
当 堂 检 测
1. 使两个直角三角形全等的条件是( )
A. 一锐角对应相等 B. 两锐角对应相等
C. 一条边对应相等 D. 两条边对应相等
2. 如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，那么△ABC与△ABD全等的理由是( )
A. SSS B. SAS C. HL D. AAS
第2题 第3题
3. 如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是( )
A. AE＝DF B. ∠A＝∠D C. ∠B＝∠C D. AB＝DC
4. 如图所示，已知BD＝CE，AB＝FD，B，D，C，E共线.若添加一个条件，就能使△ABC≌△FDE，则下列条件中满足的个数为( )
①AB∥DF；②AC∥EF；③∠A＝∠F；④∠A＝∠F＝90°.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 如图，已知AC＝BD，∠A＝∠D＝90°，欲证明△ABE≌△DCE，可以先利用“HL”说明Rt△ABC≌ ，得到AB＝CD，再利用“ ”证明△ABE≌△DCE.
6. 如图，在东西走向的铁路上有A，B两站，在A，B的正北方向分别有C，D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，在铁路AB上有一个蔬菜加工厂E，蔬菜基地C，D到E的距离相等，且AC＝BE，则E站距A站 千米.
7. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D.求证：∠1＝∠2.
8. 如图，已知∠ACB＝∠ADB＝90°，AC＝AD，若∠ACE＝25°，求∠BDE的度数.
9. 如图，点C为线段AB上一点，DA⊥AB于点A，EC⊥AB于点C，且AD＝CB，DB＝BE.你能判断出BD和BE的位置关系吗？请说明理由.
当堂检测参考答案
1. D 2. C 3. D 4. B
5. Rt△DCB AAS
6. 12
7. 证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).∴∠1＝∠2.
8. 解：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴△ACB和△ADB都是直角三角形.又AC＝AD，AB＝AB，∴Rt△ACB≌Rt△ADB.∴∠CAB＝∠DAB，又AE＝AE，AC＝AD，∴△ACE≌△ADE.∴∠ADE＝∠ACE＝25°.∴∠BDE＝90°－25°＝65°.
9. 解：BD与BE垂直.理由：∵DA⊥AB，EC⊥AB，∴∠DAB＝∠ECB＝90°，在Rt△DAB和Rt△BCE中，∴Rt△DAB≌Rt△BCE(HL)，∴∠DBA＝∠BEC.∵∠CEB＋∠CBE＝90°，∴∠DBA＋∠CBE＝90°，∴BD⊥BE.
第14章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
14.2.5 两个直角三角形全等的判定
要 点 讲 解
要点 运用“斜边、直角边”判定三角形全等
1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简记为“斜边、直角边”或“HL”．
2. 应用格式：如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∵∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．
(1)“HL”判定方法只适用于直角三角形的判定，所以使用时必须强调三角形为直角三角形；
(2)判定两个直角三角形全等时，首选“HL”，如果没有合适条件，再考虑其他判定方法．
拓展：全等三角形判定方法的综合应用
1．判定两个三角形全等时要认真分析已知条件，结合图形，从中找出已知条件和所要证明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般可按下面的思路进行分析：
2．证明线段相等或角相等的基本思路
观察图形，找出要证的线段或角在哪两个三角形中，证明这两个三角形全等即可，如果这样的三角形找不到，则要考虑添加适当的辅助线，构造出全等的三角形来．
3．常见的添加辅助线证明三角形全等的方法
(1)遇到三角形的中线，延长中线，使延长的线段与原中线长度相等，构造全等三角形．这种添加辅助线
的方法简称“中线延长加倍”．利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
(2)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对称”，所考知识点常常是角平分线的定理．(将要在下一章第四节中学到)
(3)截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合证明线段的和、差、倍、分等类型的题目．
经典例题 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．如果他只带了一个卷尺，你能帮他想个办法吗？
解析：用卷尺分别测量AB与A′B′，AC与A′C′两组边的长度，若分别对应相等，则Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，若不对应相等，则Rt△ABC与Rt△A′B′C′不全等．
解：若测量得到AB与A′B′，AC与A′C′分别对应相等，则在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，
∵∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)．
当 堂 检 测
1. 使两个直角三角形全等的条件是( )
A. 一锐角对应相等 B. 两锐角对应相等
C. 一条边对应相等 D. 两条边对应相等
2. 如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，那么△ABC与△ABD全等的理由是( )
A. SSS B. SAS C. HL D. AAS
第2题 第3题
3. 如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是( )
A. AE＝DF B. ∠A＝∠D C. ∠B＝∠C D. AB＝DC
4. 如图所示，已知BD＝CE，AB＝FD，B，D，C，E共线.若添加一个条件，就能使△ABC≌△FDE，则下列条件中满足的个数为( )
①AB∥DF；②AC∥EF；③∠A＝∠F；④∠A＝∠F＝90°.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 如图，已知AC＝BD，∠A＝∠D＝90°，欲证明△ABE≌△DCE，可以先利用“HL”说明Rt△ABC≌ ，得到AB＝CD，再利用“ ”证明△ABE≌△DCE.
6. 如图，在东西走向的铁路上有A，B两站，在A，B的正北方向分别有C，D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，在铁路AB上有一个蔬菜加工厂E，蔬菜基地C，D到E的距离相等，且AC＝BE，则E站距A站 千米.
7. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D.求证：∠1＝∠2.
8. 如图，已知∠ACB＝∠ADB＝90°，AC＝AD，若∠ACE＝25°，求∠BDE的度数.
9. 如图，点C为线段AB上一点，DA⊥AB于点A，EC⊥AB于点C，且AD＝CB，DB＝BE.你能判断出BD和BE的位置关系吗？请说明理由.
当堂检测参考答案
1. D 2. C 3. D 4. B
5. Rt△DCB AAS
6. 12
7. 证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).∴∠1＝∠2.
8. 解：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴△ACB和△ADB都是直角三角形.又AC＝AD，AB＝AB，∴Rt△ACB≌Rt△ADB.∴∠CAB＝∠DAB，又AE＝AE，AC＝AD，∴△ACE≌△ADE.∴∠ADE＝∠ACE＝25°.∴∠BDE＝90°－25°＝65°.
9. 解：BD与BE垂直.理由：∵DA⊥AB，EC⊥AB，∴∠DAB＝∠ECB＝90°，在Rt△DAB和Rt△BCE中，∴Rt△DAB≌Rt△BCE(HL)，∴∠DBA＝∠BEC.∵∠CEB＋∠CBE＝90°，∴∠DBA＋∠CBE＝90°，∴BD⊥BE.