参考答案
1. D 2. C 3. B 4. C 5. D 6. C 7. C 8. C 9. C
10. (1)SAS (2)SSS
11. △AOC △BOD ASA或AAS
12. AC＝DF(或∠B＝∠DEF或AB∥DE)
13. △DCB △DAB
14. ①②④
15. 解：答案不唯一，如选择AB＝CD.证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠D.在△ABE与△CDF中，∵∴△ABE≌△CDF(SAS).
16. 证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°.在Rt△ADC和Rt△CEB中，∵∴Rt△ADC≌Rt△CEB(HL).∴∠CAD＝∠BCE.∵AD⊥MN，∴∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC.
17. 证明：(1)∵AE平分∠DAB，∴∠BAE＝∠FAE.∵BE平分∠CBA，∴∠ABE＝∠CBE.∵AD∥BC，∴∠F＝∠CBE，∴∠ABE＝∠F.在△ABE和△AFE中，∵∴△ABE≌△AFE(AAS).
(2)∵△ABE≌△AFE，∴BE＝FE，AB＝AF.在△BCE和△FDE中，∵∴△BCE≌△FDE(ASA)，∴BC＝FD.∵AD＋DF＝AF，AB＝AF，∴AD＋BC＝AB.
18. 解：延长AD，BC交于点F.∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC，在△ABD和FBD中，∴△ABD≌△FBD(ASA).∴AD＝FD.∵AD＝2cm，∴AF＝4cm.∵∠AFB＋∠DBC＝90°，∠BEC＋∠DBC＝90°，∴∠AFB＝∠BEC.在△AFC和△BEC中，∴△AFC≌△BEC(AAS)，∴BE＝AF＝4cm.
19. 证明：分别作AC，A′C′边上的高BD，B′D′.∵∠BCA＝∠B′C′A′，∴∠BCD＝∠B′C′D′，在△BCD和△B′C′D′中，∵∴△BCD≌△B′C′D′(AAS)，∴BD＝B′D′.而AB＝A′B′，∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′(HL)，∴∠A＝∠A′.在△ABC和△A′B′C′中，∵∴△ABC≌△A′B′C′(AAS).
20. 解：如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.∵∠ABE＝90°，∠D＝90°，∴∠D＝∠ABH＝90°.在△ABH和△ADF中，∵∴△ABH≌△ADF.∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.在△AEH和△AEF中，∵∴△AEH≌△AEF.∴∠EAH＝∠EAF.∴∠EAF＝∠HAF＝45°.
沪科版数学八年级上册第14章《全等三角形》
复习巩固专讲专练
章 末 知 识 复 习
类型一 全等三角形的判定与平行线的综合
经典例题1 如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.
(1)从图中任找两组全等三角形；
(2)从(1)中任选一组进行证明．
解析：(1)根据题目所给条件可分析出△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB.(2)根据AB∥CD可得∠BAC＝∠DCA，根据AF＝CE可得AE＝FC，然后再证明△ABE≌△CDF即可．
解：(1)△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB.
(2)证明△ABE≌△CDF.
∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.
∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF.
在△ABE和△CDF中，∵
∴△ABE≌△CDF(AAS)．
点拨：(1)此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，对于直角三角形判定方法还有HL.(2)判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等证全等时，角必须是两边的夹角．
类型二 全等三角形判定、性质及三角形外角性质的综合
经典例题2 如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC.
(1)求证：△ABE≌△DCE；
(2)若∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．
解：(1)证明：在△ABE和△DCE中，
∵
∴△ABE≌△DCE(AAS)．
(2)∵△ABE≌△DCE，
∴BE＝CE，AE＝DE，
∴AE＋CE＝DE＋BE，
即CA＝BD.
在△ABC和△DCB中，
∵
∴△ABC≌△DCB(SAS)．
∴∠ACB＝∠DBC，即∠ECB＝∠EBC.
∵∠ECB＋∠EBC＝∠AEB＝50°，
∴∠EBC＝25°.
类型三 全等三角形的判定、性质及直角三角形两锐角互余的综合
经典例题3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB.
(1)求∠CAD的度数；
(2)延长AC至点E，使CE＝AC，连接DE，求证：DA＝DE.
解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°.
又∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°.
(2)证明：∵∠ACD＋∠ECD＝180°，且∠ACD＝90°，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ACD＝∠ECD.
在△ACD与△ECD中，∵
∴△ACD≌△ECD(SAS)，
∴DA＝DE.
点拨：本题考查了全等三角形的判定与性质，在进行全等三角形的判定时，要注意三角形的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
类型四 动态型问题
经典例题4 如图(1)所示，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，点C是BD上一点，且BC＝DE，CD＝AB.
(1)试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．
(2)如图(2)所示，若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与△ABC的顶点B重合，此时第(1)问中AC与BE的位置关系还成立吗？(注意字母的变化)
图(1) 图(2)
解析：在图(1)中，由SAS可判定△ABC≌△CDE，所以∠ACB＝∠E.而∠E＋∠ECD＝90°，所以∠ACB＋∠ECD＝90°，故可知AC⊥CE.在图(2)中，是否仍有AC⊥BE，就看图中的三角形全等的关系是否还存在．若存在，则成立．
解：(1)AC⊥CE.理由如下：
在△ABC和△CDE中，∵
∴△ABC≌△CDE(SAS)．∴∠ACB＝∠E.
又∵∠E＋∠ECD＝90°，
∴∠ACB＋∠ECD＝90°.
∴∠ACE＝90°，即AC⊥CE.
(2)∵△ABC各顶点的位置没动，在△CDE平移过程中，一直还有AB＝C′D，BC＝DE，∠ABC＝∠C′DE＝90°，
∴一直有△ABC≌△C′DE(SAS)．
∴∠ACB＝∠E.
而∠E＋∠EC′D＝90°，
∴∠ACB＋∠EC′D＝90°.
故有AC⊥C′E，即AC与BE的位置关系仍然成立．
点拨：变还是不变，就是看在运动的过程中，本质条件(本题中的两个三角形全等)变还是没变．本质条件变了，结论就会变；本质条件不变，仅仅是图形的位置变了，结论仍然不变．
综 合 检 测
一、选择题
1. 若△ABC和△DEF全等，点A和点E，点B和点D分别是对应点，则下列结论错误的是( )
A. ∠B＝∠D B. AC＝EF C. ∠C＝∠F D. BC＝EF
2. 在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，要证明△ABC≌△A′B′C′，须添加一个条件，这个条件可以是：①∠A＝∠A′，②∠B＝∠B′，③BC＝B′C′中的( )
A. ①或②或③ B. ①或② C. ①或③ D. ②或③
3. 如图，已知∠1＝∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，错误的选法是( )
A. AB＝AC B. DB＝DC C. ∠ADB＝∠ADC D. ∠B＝∠C
4. 如图，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
5. 下列各组图形中，一定全等的是( )
A. 各有一个角是45°的两个等腰三角形
B. 两个等边三角形
C. 各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形
D. 腰和顶角对应相等的两个等腰三角形
6. 如图，PA＝PB，AD⊥PC，BC⊥PD，AD与BC相交于O，要证明△OAC≌△OBD，则连接PO，先证△POA≌△POB，那么先后两次证全等的方法是( )
A. HL，SAS B. AAS，HL C. HL，ASA D. SAS，ASA
第6题 第7题
7. 如图所示，MP＝MQ，PN＝QN，MN交PQ于点O，则下列结论不正确的是( )
A. △MPN≌△MQN B. ∠PMN＝∠QMN
C. MQ＝NQ D. ∠MPN＝∠MQN
8. 如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝5，BF＝3，EF＝2，则AD的长为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
第8题 第9题
9. 如图，已知BC⊥CA，ED⊥AB，BD＝BC，AE＝8cm，DE＝6cm，则AC的长为( )
A. 10cm B. 12cm C. 14cm D. 16cm
二、填空题
10. 如图所示，E为BC的中点.
(1)当AB＝DE，∠B＝∠DEC时，可用 证明△ABE≌△DEC.
(2)当AB＝DE，AE＝DC时，可用 证明△ABE≌△DEC.
11. 如图，AB与CD相交于点O，且AC∥BD，AC＝BD，那么 ≌ ，理由是 .
第11题 第12题
12. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，请添加一个条件 ，使△ABC≌△DEF.
13. 如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌ ，△ADC≌ .
第13题 第14题
14. 如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，则下列结论：①△ABC≌△ADE；②CM＝EN；③OC∥AD；④S△EOM＋S△ABM＝S△CON＋S△AND，正确的有 (只填序号).
三、解答题
15. 请从以下三个等式中，选出一个等式填在横线上，并加以证明.
等式：AB＝CD，∠A＝∠C，∠AEB＝∠CFD，
已知：AB∥CD，BE＝DF，____.
求证：△ABE≌△CDF.
16. 如图，在△ABC中，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，若AD＝CE，求证：AC⊥BC.
17. 如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA，BE的延长线交AD的延长线于点F.
(1)求证：△ABE≌△AFE；
(2)求证：AD＋BC＝AB.
18. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°.BD为∠ABC的平分线，若A点到直线BD的距离AD为2cm，求BE的长.
19. 如图，∠C＝∠C′且∠C，∠C′均为钝角，BC＝B′C′，AB＝A′B′.求证：△ABC≌△A′B′C′.
20. 如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数.
