(共16张PPT)
3.5 探索与表达规律(1)
北师大版七年级上册第三章 整式及其加减
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
20
操作&思考
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2
3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30
操作&思考
猜猜你的生日
请你确定你生日的日期，以及生日前后两天的日期，
求出三天日期的和.
探索&表达
20
8
15
问题1：知道日历中横排相邻三个数中的一个数，填出其他两数.
14
16
9
10
18
19
后者比前者大1
探究一
问题2：如果用a表示其中一个数，请用a的代数式表示另外两个数.
探索&表达
a-1 a a+1
a a+1 a+2
a-2 a-1 a
问题3：如果知道日历中横排相邻三个数的和为33，你能填出这三个数吗？
10
11
12
规律一：横排相邻三个数的和为中间数的3倍
(a-1)+a+(a+1)=3a
a-1 a a+1
探索&表达
1.某日历中横排相邻三个数的和为24，你能填出这三个数吗？
2.某日历中横排相邻三个数的和为14，你能填出这三个数吗？
练习一：
探索&表达
a-7
a
a+7
问题4：如果老师的生日在日历中与上下两个相邻数字之和为63，猜猜
我的生日.
问题5：请用字母表示并验证你的结论.
规律二：竖列相邻三个数的和为中间数的3倍
(a-7)+a+(a+7)=3a
探究二
探索&表达
1.某日历中竖列相邻三个数的和为42，你能填出这三个数吗？
2.某日历中竖列相邻三个数的和为75，你能填出这三个数吗？
16 17 18
23 24 25
30 31
练习二：
探索&表达
（1）请你在日历中用铅笔画正方形，框出任意9个数，计算框内数字的和.
（2）思考方框内9个数的和与正中间的数有什么关系？
（3）在九宫格中用字母表示九个数并验证和的规律.
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2
3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
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问题6：
探究三
探索&表达
(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8) = ______
9a
a-8
a-7
a-6
a-1
a
a+1
a+6
a+7
a+8
规律三：九宫格中九个数之和为正中间数的9倍
探索&表达
a-7
a-1 a a+1
a+7
观察十字框内的数字有什么
规律？请用字母表示并验证规律.
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2
3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30
和：5a
归纳&应用
应用一：
你还能设计其他形状的包含
类似数字规律的数框吗？
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
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3 4 5 6 7 8 9
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归纳&应用
应用二：
本节课的研究思路是什么?
通过观察日历发现规律
用字母来表示规律
符号运算验证规律
观察分析对比概括
特殊到一般，一般到特殊
表示a, b, c, d之间的关系 .
1.在某月的日历中任意框出如图的4个数，请你用等式
六
五
四
三
二
一
日
a
b
c
d
a+d=b+c
2.从1开始的自然数按下图所示的规则排列，并用一个平行四边形框出9个数，能否使这九个数和等于（1）1993（2）1143（3）1989.若能办到，请写出平行四边形框内的最大数和最小数，若不能办到，说明理由.
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
3.5探索与表达规律
一、教材内容分析
本节课是在学习完《整式的加减》的基础上的一个活动课，旨在通过探究日历中的数字规律，引导学生学会用字母表示数，既为学习《一元一次方程》作铺垫，也为今后学习分式，二次根式打基础，它在教材中起承上启下的作用.
本节课作为《整式的加减》的一个补充活动，属于综合实践的范畴，以此培养学生在数学学习中的问题意识，应用意识和符号意识，这样也符合新课标的教学理念.
二、学情分析
处于七年级这个阶段的学生，具有较强的好奇心和求知欲，对数学学习保持着相对较高的热情，思维的形象性和发散性明显，而抽象性与深刻性不足，多数学生的符号意识和代数思想可能还未真正形成，探究时的方向还不够明朗，这就需要教师能够提供可以激发兴趣的、有一定挑战性的现实问题，同时也需要教师设计有序的问题加以引导与启发，使学生的思维能够较好的聚焦在数学学习的核心内容上.
三、教学目标
1.了解日历中的数字规律，理解字母表示数的意义.
2.掌握从特殊到一般和一般到特殊的探究方法，渗透数形结合等思想.
3.通过小组活动分享学习协作的快乐，体验成功的喜悦.
四、教学重难点
教学重点:探索日历中蕴涵的关系和规律.
教学难点:用字母、运算符号表示一般规律.
五、教学过程设计
教学内容 师生活动 设计意图
师：上课！同学们好！请坐.非常高兴，今天能够来到美丽的南坪中学，有这个机会和我们3班的同学在一起共同学习. 通过动手（填写日历）：激发学生的学习兴趣；让学生真切感受日历中数字的规律，并且通过制作日历，加强对日历的了解，让学生有成就感.
师：生活离不开日历，我们常常会去翻日历，比如，看看元旦节是星期几，寒假是几月几号.
师：刚才，你们已经根据今天的日期制作了11月的日历，看看和老师这份相不相同呢？ 生：相同.
师：相信你们在填的时候也感受到数字之间有一定的规律，今天我们就来探索日历中的规律，并用数学语言来表达和验证规律. 师：（用手示意板书标题）3.5 探索与表达规律 引入课题
师：首先，老师想跟大家玩一个游戏，叫做猜生日. 师：我们一起看PPT上的要求，请你们确定你生日的日期，以及生日前后两天的日期，将三天的日期相加.注意，不要被旁边的同学看到哦.三天日期不在一个月的我们今天不讨论. 师：（请一位同学站起来）请你说出你计算出来的和. 生：39（78） 师：谁来猜猜他的生日？ 生：他的生日是13日（26日）. 生：猜对了. 师：到底是怎么猜出生日的呢？现在我们将猜生日的问题转化为数学问题，来研究日历中横排相邻三个数的规律. 通过猜生日：感知相邻三个数的和与中间数字的关系.
师：现在知道横排相邻三个数中的任意一个数，你们在导学案上填出另外两个数.（环视学生15秒） 师：填好了，我们一起说，从左到右依次是14、15、16, 8、9、10, 18、19、20. 师：为什么我们能这么快填出这些数？ 生：因为右边的数总比左边的大1. 师：回答得非常准确，这三组是具体的数字，一般情况下，我们可以怎么表示具有这样关系的横排三个数呢？在学案上写一写，写好的举手示意.（巡视学生的书写情况） 师（板书）： 一、横排规律
师：写好了，请回答，你是怎么表示的？ 生：a-1, a, a+1;a, a+1, a+2;a-2, a-1, a. 师（板书）：a-1, a, a+1 a, a+1, a+2 a-2, a-1, a 师：很好，表示得非常到位！还有没有其他的表示方法呢？ 生：没有了. 师：现在我们根据a的位置不同，用字母将这三个数表示出来了. 通过探究一：进一步感受横排相邻三个数后者比前者大1的规律.
师：下面如果直接告诉我们横排相邻三个数的和，能不能填出这三个数呢？ 生：能，是10, 11, 12. 师：你们是怎么填出来的呢？ 生：33除以3. 师：这位同学说得有没有道理呢？我们一起来看一下相邻三个数的和与中间数字有什么关系. 师：a-1, a, a+1的和为3a;a, a+1, a+2的和为3a+3,等于3(a+1);a-2, a-1, a的和为3a-3,等于3(a-1).可以明显看出来三个数的和是中间数字的三倍，也就是说横排相邻三个数的和能够被3整除，商为中间数字. 师（板书）： 和 a-1, a, a+1 3a a, a+1, a+2 3a+3=3(a+1) a-2, a-1, a 3a-3=3(a-1) 师：现在这三种表示方法，你们更喜欢用哪一个？ 生：第一个. 师：为什么呢？ 生：计算更加简便，表示简洁. 师：老师也喜欢用第一个，除了计算简便，表示简洁，更因为第一个有一种对称性的美. 师（板书）： a-1aa+1
(a-1)+a+( a+1)=3a 通过探究一： 引导学生通过代数式运算验证横排相邻三个数的和为中间数字的三倍.
师：现在如果知道和为24，能不能快速填出这三个数？ 生：7,8,9. 师：和为14，你能不能填出来呢？ 生：不能. 师：为什么？ 生：因为14不能被3整除. 通过练习一： 巩固横排相邻三个数的和是中间数字的三倍.
师：刚才是老师猜你们的生日，现在由你们来猜老师的生日，只不过我的生日是与上下两个相邻的数字之和为63，我的生日是几号？ 生：21号. 师：猜正确了，你真棒！你是怎么猜出来的呢？ 生：63除以3. 师：请你们仿照横排验证和的规律的思路，用字母表示竖列相邻三个数并验证你们的结论.待会请一位同学作为小老师来给大家讲解. 师（板书）： 二、竖列规律
师：（巡视学生的完成情况并作必要指导） 师：哪位同学愿意上台来给大家讲一下？ 师：好，你来. 生（板书）： a-7aa+7
(a-7)+a+(a+7)=3a 生：设中间数字为a,则上面数字为a-7,下面数字为a+7,(a-7)+a+(a+7)=3a,3a=63,则a=21,上面数字就是14，下面为28. 师：讲解得非常棒，思路很清晰，你是怎么想到用a-7和a+7表示上下两个数的呢？ 生：因为一周7天，下面的数比上面的数大7. 师：你对日历观察十分仔细，感谢你的回答，掌声. 师：现在我们就发现了竖列相邻三个数的和也为中间数字的3倍. 通过探究二： 引导学生用字母表示竖列相邻三个数，并通过代数式的运算验证和为中间数字的三倍.
师：如果竖列相邻三个数的和为42，你们能不能猜出这三个数呢？ 生：7,14,21. 师：如果和为75呢？ 生1：能填出来. 生2：不能填出来. 师：说能的是因为75能被3整除，说不能的是为什么呢？ 生：可以算出中间数字是25，下一个数就为32，而日历中没有32号这一天. 师：回答非常准确，非常懂生活哟.所以，我们在探索规律的时候一定要符合实际. 师：刚才我们通过探究一和探究二发现日历中不管是横排还是竖列，只要是相邻三个数，它们的和都能被3整除，商为中间数字. 师：现在我们将三个数扩充为3×3的九宫格，看看又有什么规律. 通过练习二： 巩固竖列相邻三个数的和为中间数字的三倍.
师：现在，你们用铅笔在日历上用一个正方形任意框出九个数，框出之后做两件事，第一件事是观察数字的规律，计算九个数的和；第二件事是思考方框内九个数字的和与正中间的数字有什么关系. （巡视学生的完成情况） 师：完成的请举手示意我一下. 师：你来说一下框的哪些数字？ 生：1,2,3,8,9,10,15,16,17. 师：正中间数是多少？ 生：9 师：和为多少？ 生：81. 师：和与正中间的数有什么关系？ 生：和为正中间数的九倍. 师：（另一个学生回答）你来说一下，正中间数是多少？ 生：11. 师：和为多少？ 生：99. 师：和与正中间数有什么关系？ 生：和为正中间数的九倍. 师：他们框出来九个数的和都是正中间数字的九倍，如果在日历中任意框出这样的九个数，和与正中间的数有什么关系？ 生：九倍关系. 师：现在只是猜测，咱们依然要进行验证才能确定这个结论.请你们按照前面的方式，先用字母表示这九个数，再验证和与中间数的规律. 师（板书）： 三、九宫格
（巡视并指导学生） 通过探究三: 探究并验证九宫格中九个数的和为正中间数字的九倍的规律.
师：请一位同学上台来给大家讲一下你是如何表示和验证的. 生（板书）： a-8a-7a-6a-1aa+1a+6a+7a+8
(a-8)+( a-7)+( a-6)+( a-1)+ a +( a+1)+( a+6)+( a+7)+( a+8)=9a 师：讲解得太棒了，非常完整，对字母表示数和代数式运算验证规律掌握得非常好. 师：九宫格的九倍关系对其它日历也成立吗？ 师：其它日历中的数字也有相同的数量关系，所以也成立.
师：刚才的九宫格中，数字的和与正中间的数有九倍关系，现在我把九宫格变成十字形，有没有类似的规律呢？ 生：有，和为中间数的五倍. 师：你能不能用字母表示出来并验证和的规律呢？（点学生口答） 通过归纳与应用: 让学生体会不同形状中的数字规律，培养学生动手操作的能力和创新能力.同时在小组交流中培养学生的语言表达能力和互帮互助合作意识.通过学生的展示，培养学生大胆、自信及严谨的逻辑思维能力.
师：现在你们自己来设计其他的形状，可以是数字、字母的形状，看看类似的，和与中间数字有没有整数倍关系. 先独立设计. 师：现在小组讨论，交换意见，小组推选出你们认为设计感最好的形状. （教师深入小组，倾听、指导学生） 生：利用展台展示设计的形状，并讲解发现的规律. 师：这位同学的设计太有创意了. 师：除了这几位同学的设计，你们肯定还有不同的设计，我们可以课后再讨论.
师：这节课我们的学习思路是怎样的呢？ 生：观察规律. 师：通过观察日历，我们发现了哪些规律？ 生：横排规律，竖列规律，九宫格和的规律. 师：发现规律之后，我们是怎么呈现这些一般规律的呢？ 生：用字母表示规律. 师：怎么用字母表示的？ 师：通过这个流程，也发现了数学思想，首先是从特殊到一般，比如在横排探究的时候，由三组具体的数字变成了用字母表示一般形式，同时，也有从一般到特殊，你们知道哪里体现了一般到特殊的思想吗？ 师：我们通过探究出来的横排和为中间数的三倍的规律，验证了横排和为14时不能填出三个数，规律不成立，这就是一般到特殊. 师：生活中还有很多规律，希望大家在以后的学习和工作中带着数学的眼光去探究美好的生活. 通过思路梳理： 引导学生回顾本节课的重点，总结思想方法.
师：下课，同学们再见！
板书设计
3.5 探索与表达规律
一、横排规律 a-1aa+1
(a-1)+a+(a+1)=3a 二、竖列规律 a-7aa+7
(a-7)+a+(a+7)=3a 三、九宫格 a-8a-7a-6a-1aa+1a+6a+7a+8
9a 和 a-1, a, a+1 3a a, a+1, a+2 3a+3=3(a+1) a-2, a-1, a 3a-3=3(a-1)
