《柯西不等式》单元测试题

《柯西不等式》单元测试题（1）
班级 姓名
一、选择题：
1．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为(　　)
A．4　 B．2　 C．8　 D．9
2．设x，y，m，n>0，且＋＝1，则u＝x＋y的最小值是(　　)
A．(＋)2 B.＋ C．m＋n D．(m＋n)2
3．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是(　　)
A．[－2，2] B．[－2，2] C．[－，] D．[－，]
4．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是 (　　)
A. B．1 C．3 D．9
5．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为(　　)
A．4 B．2 C．1 D.
6．设a、b∈R＋，且a≠b，P＝＋，Q＝a＋b，则(　　)
A．P>Q B．P≥Q C．P二、填空题：
7．已知a，b>0，且a＋b＝1，则＋的最小值为________；
8．函数y＝＋2的最大值是________；
9．设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝＋，Q＝· ，则P与Q的大小________；
10．函数y＝2cos x＋3的最大值为________；
11．函数y＝2＋的最大值为________.
三、解答题：
12．若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值，并求出最小值点．
13．设a，b∈R＋，若a＋b＝2，求＋的最小值．
14．已知a＋b＝1，求证：a2＋b2＝1.
15．设a＋b＝，求证：a8＋b8≥.
参考答案：
一、选择题：
1．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为(　　)
A．4　 B．2　 C．8　 D．9
答案：B
2．设x，y，m，n>0，且＋＝1，则u＝x＋y的最小值是(　　)
A．(＋)2 B.＋ C．m＋n D．(m＋n)2
答案：A
3．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是(　　)
A．[－2，2] B．[－2，2] C．[－，] D．[－，]
解析：　∵(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2，
∴|a－b|≤＝2，∴a－b∈[－2，2]．
答案：　A
4．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是 (　　)
A. B．1 C．3 D．9
解析：　∵2x＋y＝2x·1＋y·1
≤ ·＝·＝.
∴2x＋y的最大值为.
答案：　A
5．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为(　　)
A．4 B．2 C．1 D.
解析：　≥2＝4，故选A.
答案：　A
6．设a、b∈R＋，且a≠b，P＝＋，Q＝a＋b，则(　　)
A．P>Q B．P≥Q C．P解析：　∵(a＋b)
＝[()2＋()2]
≥2＝(a＋b)2
∵a>0，b>0，∴a＋b>0.∴≥＝(a＋b)．
又∵a≠b，而等号成立的条件是·＝·，
即a＝b，∴>a＋b.即P>Q.
答案：　A
二、填空题：
7．已知a，b>0，且a＋b＝1，则＋的最小值为________；
解析：∵＋＝(a＋b)
＝[()2＋()2]≥2＝2
＝＋.
答案：＋
8．函数y＝＋2的最大值是________；
解析：根据柯西不等式，知
y＝1×＋2×≤×＝.
答案：　
9．设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝＋，Q＝· ，则P与Q的大小________；
解析：　由柯西不等式，得
P＝＋≤×＝· ＝Q.
答案：　P≤Q
10．函数y＝2cos x＋3的最大值为________；
解析：　y＝2cos x＋3
＝2cos x＋3≤＝.
当且仅当＝，即tan x＝±时，函数有最大值.
答案：　
11．函数y＝2＋的最大值为________.
解析：　y＝2＋＝＋1·
≤·＝·＝3.
当且仅当·1＝·取等号．
即2－2x＝4x＋2，∴x＝0时取等号．
答案：　3
三、解答题：
12．若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值，并求出最小值点．
解：　由柯西不等式(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1，
∴4x2＋9y2≥.
当且仅当2x·1＝3y·1，即2x＝3y时取等号．
由　得
∴4x2＋9y2的最小值为，最小值点为.
13．设a，b∈R＋，若a＋b＝2，求＋的最小值．
解：　∵(a＋b)
＝[()2＋()2]
≥2＝(1＋1)2＝4.
∴2≥4，即≥2.
当且仅当·＝·，即a＝b时取等号，
∴当a＝b＝1时，＋的最小值为2.
14．已知a＋b＝1，求证：a2＋b2＝1.
证明：由柯西不等式，得(a＋b)2≤[a2＋(1－a2)][b2＋(1－b2)]＝1.
当且仅当＝时，上式取等号，
∴ab＝·，a2b2＝(1－a2)(1－b2)．
于是a2＋b2＝1.
15．设a＋b＝，求证：a8＋b8≥.
证明：a8＋b8＝(12＋12)[(a4)2＋(b4)2]
≥(1×a4＋1×b4)2
＝(a4＋b4)2＝2
＝×{(12＋12)[(a2)2＋(b2)2]}2
≥(1×a2＋1×b2)2＝(a2＋b2)2
＝2
≥×(a＋b)2＝.
∴原不等式成立．