湘教版2019年九年级数学上册1.2反比例函数的图像与性质第3课时综合应用课件（38张）

(共38张PPT)
1.2 反比例函数的图象与性质
第1章 反比例函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第3课时　反比例函数图象与性质的综合应用
学习目标
1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活
运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点)
2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重
点、难点)
3. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想
方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运
用能力. (重点、难点)
导入新课
反比例函数的图象是什么？
反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？
反比例函数的图象是双曲线
当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；
当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.
复习引入
问题1
问题2
合作探究
5
S1
S2
4
4
S1=S2
S1=S2=k
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1












P (2，2)
Q (4，1)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1，S2 与 k的关系

2. 若在反比例函数 中也
用同样的方法分别取 P，Q
两点，填写表格：
4
4
S1=S2
S1=S2=－k
S1
S2
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与 k 的关系
P (－1，4)
Q (－2，2)
由前面的探究过程，可以猜想：
S
我们就 k < 0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b)
A
B
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，
∴ S矩形 AOBP=PB·PA
=a· (－b)=－ab=－k.
综上，S矩形 AOBP=|k|.
自己尝试证明
k > 0的情况.
点 Q 是其图象上的任意一
点，作 QA 垂直于 y 轴，作
QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ
的面积与 k 的关系是
S矩形AOBQ= .
推理：△QAO与△QBO的
面积和 k 的关系是
S△QAO=S△QBO= .
A
B
|k|
归纳：
反比例函数的面积不变性
A. SA >SB>SC B. SAC. SA =SB=SC D. SA1. 如图，在函数 (x＞0)的图像上有三点A，B ，
C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点
所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分
别为SA ，SB，SC，则 ( )
C
练一练
2. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作
PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = .
－12
提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意
k＜0.
3. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向
x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形
PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是

.
例1 如图，P，C是函数 (x>0) 图像上的任意两点，过点 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的
垂线 CD，垂足为 D，连接 OC
交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积
为 S1，则 S1= ；梯形CEAD
的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小
关系是 S1 S2；△POE 的面
积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.
典例精析
2
S1
S2
＞
＝
S3
如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 .
S1 = S2 < S3
练一练
解析：由反比例函数面积的不变
性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一
支交于点 F，连接 OF，易知，
S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，
所以 S1，S2，S3的大小关系为
S1 = S2 < S3
F
S1
S2
S3
y
D
B
A
C
x
3
2
5
Q
P
O
x
M
y
－10
练一练
解析：∵ x2－x1 = 4，y1－y2 =2，
∴BG = 4，AG =5，
∴S△ABG =4×5÷2=10.
由反比例函数面积的不变
性可知，
S长方形ACOE = S长方形BDOF = k .
∴ S五边形 AEODB = S四边形ACOE +
S四边形BDOF－ S四边形FOCG+ S△ABG
= k + k －2+4=14.
如图，已知点 A，B 在双曲线 上，AC⊥x 轴于
点C，BD⊥y 轴于点 D，AC 与 BD 交于点 P，P 是 AC
的中点，若△ABP 的面积为6，则 k = .
24
练一练
E
F
k2 >0
b >0
k1 >0
k2 >0
b <0
k1 >0
合作探究
k2 <0
b <0
k1 <0
k2 <0
b >0
k1 >0
④
D.
x
y
O
y
y
x
B.
x
y
O
D
O
O
k＜0
k＞0
×
×
×
√
k＞0
k＜0
由一次函数增减性得k＞0
由一次函数与y轴交点知－k＞0，
则k＜0
x
B
练一练
例5 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为
.
－2< x <0 或 x >3
解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3.
方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.
练一练
A
B
－1< x <0 或 x >2
例6 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.
由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，则点 P (－3，4) 是这两个函数图象上的点， 即点 P 的坐标分别满足这两个解析式.
这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？
想一想：
(2，6)，(－2，－6)
解析：联立两个函数解析式，解方程即可.
练一练
－k + b =2，
当堂练习
A. 4 B. 2
C. －2 D.不确定
O
B
A
P
x
y
A
2. 如图，函数 y＝－x 与函数 的图象相交于 A，
B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别
为C，D，则四边形ACBD的面积为 ( )
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
D
3. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2x +1 的
图象的一个交点是 (1，k)，则反比例函数的解析
式是_______．
4. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x +b ＞ 的解集是___________．
1＜x＜5
所以一次函数的解析式为 y = 4x－2.
把A，B两点坐标代入一次函数解析式中，得到a =4，b =－2.
6. 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点.
(1) 求 A，B 两点的坐标；
解：
解得
所以A(－2，4)，B(4，－2).
或
作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
则AC=4，BD=2.
(2) 求△AOB的面积.
解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)，
∴OM=2.
M
C
D
∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，
∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4，
∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.
课堂小结
面积问题
面积不变性
与一次函数的综合
判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负
反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称
反比例函数图象和性质的综合运用