5.3 应用一元一次方程——水箱变高了学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学七年级上册同步学案
第五章　一元一次方程
3　应用一元一次方程——水箱变高了
要 点 讲 解
要点　形积变化问题
1. 形积变化问题
在形积变化问题中，虽然形状和体积都可能发生变化，但应用题中仍会含有一个相等关系.因此，要通过分析题意，找出能表示应用题全部含义的相等关系，并根据这个相等关系列出方程.此类问题常见的有以下几种情况：
(1)形状发生了变化，而体积不变，相等关系：变化前后体积相等；
(2)形状、面积发生了变化，而周长不变，相等关系：变化前后周长相等；
(3)形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为相等关系.
2. 相关形积公式
(1)周长公式：C 正方形＝4a，C长方形＝2(a＋b)，C圆＝2πr＝πd.
(2)面积公式：S三角形＝ah，S正方形＝a2，
S长方形＝ab，S梯形＝(a＋b)h，S圆＝πr2.
(3)体积公式：V长方体＝abc，V正方体＝a3，V圆柱＝πr2h，V圆锥＝πr2h.
经典例题　在一个底面直径为5cm，高18cm的圆柱形杯内装满水，将杯内的水倒入一个底面直径为6cm，高为13cm的圆柱形瓶中，请问能否完全装下？若装不下，那么杯内的水还有多高？若未能装满，瓶内的水面离瓶口的距离是多少？
解：能否装下实际上是比较杯与瓶的容积的大小.
杯的容积：π×()2×18＝π(cm3)，
瓶的容积：π×()2×13＝117π(cm3)，
因为π<117π，所以未能装满.
设此时瓶内水面离瓶口的距离为xcm，则
π·()2×18＝π·()2×(13－x)，得x＝，
即把杯内的水倒入瓶中未能装满，此时瓶内的水面离瓶口的距离是cm.
点拨：(1)比较杯与瓶的容积大小相对较容易，但要熟练应用圆柱体积公式.(2)求水面离瓶口距离的关键是把握相等关系：杯的容积＝瓶的容积－瓶中水面至瓶口所形成圆柱的容积.
当 堂 检 测
1. 要锻造一个半径为5 cm、高为8 cm的圆柱毛坯，应截取半径为4 cm的圆钢的高度为(　　)
A. 12.5 cm B. 13 cm C. 13.5 cm D. 14 cm
2. 长方形的长是宽的3倍，如果宽增加了4 m而长减少了5 m，那么面积增加15 m2，设长方形原来的宽为x m，所列方程是(　　)
A. (x＋4)(3x－5)＋15＝3x2 B. (x＋4)(3x－5)－15＝3x2
C. (x－4)(3x＋5)－15＝3x2 D. (x－4)(3x＋5)＋15＝3x2
3. 内径为120 mm的圆柱形玻璃杯，和内径为300 mm、内高为32 mm的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为(　　)
A. 150 mm B. 200 mm C. 250 mm D. 300 mm
4. 三角形的周长是84 cm，三边长的比为17∶13∶12，则这个三角形最短一边的长为 .
5. 某长方形的长与宽的和是12，长与宽的差是4，这个长方形的长、宽分别为 .
6. 用直径为4 cm的圆钢，铸造三个直径为2 cm、高为16 cm的圆柱形零件，则需要截取长度为
的圆钢.
7. 如图所示，是用铁丝围成的一个梯形，将其改成一个长和宽比为2∶1的长方形，那么该长方形的长为 ，宽为 .
8. 某校即将举行运动会、要做两直角边分别为0.4 m、0.3 m的直角三角形小旗共64面，则需用长1.6 m、宽1.2 m长方形红彩纸至少 张.
9. 一桶油连桶的重量为8千克，油用去一半后，连桶重量为4.5千克，则原来桶内有油多少千克？
10. 长方形的周长为36厘米，若长减少4厘米，宽增加2厘米，则长方形变成正方形，求正方体的边长.
当堂检测参考答案
1. A 2. B 3. B
4. 24cm
5. 8和4
6. 12cm
7. 11 5.5
8. 2
9. 解：设原来桶内有油x千克.由题意，得(x－x)＋(8－x)＝4.5.解得x＝7.答：原来桶内有油7千克.
10. 解：设正方形的边长为x厘米，由题意，得2[(x＋4)＋(x－2)]＝36.解得x＝8.所以正方形的边长为8厘米.