5.6 应用一元一次方程——追赶小明学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学七年级上册同步学案
第五章　一元一次方程
6　应用一元一次方程——追赶小明
要 点 讲 解
要点一　相遇问题
相遇问题是行程问题中重要的一种，它的特点是相向而行.这类问题具有直观性，因此通常画出示意图(直线型)帮助分析题意，以便于列出方程.这类问题的等量关系一般是：双方所走路程之和＝全部路程.
经典例题1　A，B两地相距448km，一列慢车从A地出发，速度为60km/h，一列快车从B地出发，速度为80km/h，两车相向而行，慢车先行28min，快车开出后多长时间两车相遇？
解析：慢车行程＋快车行程＝全程.
解：设快车开出xh后两车相遇，由题意，得60(＋x)＋80x＝448.解得x＝3.
因此，快车开出3h后两车相遇.
点拨：两车同时相向而行到两车相遇所用的时间相同.
要点二　追及问题
追及问题是行程问题中另一类重要问题，它的特点是同向而行.这类问题也比较直观，画出直线型示意图比较便于分析，其等量关系一般是：双方行程的差＝原来的路程(开始时双方相距的路程).
经典例题2　甲步行由上午6时从A地出发，于下午5时到达B地，乙骑自行车由上午10时从A地出发，于下午3时到达B地，问乙出发多长时间追上甲？
解析：A到B的总路程可以看做a，走完全程甲所用时间是17－6＝11(小时)，乙所用时间是15－10＝5(小时)，乙追上甲时，所走的路程相等，如图所示，据此可列出方程.
解：设乙出发后x小时追上甲，A，B间的距离是a，
由题意，得(x＋4)·＝x·，解之，得x＝3.
因此，乙出发3小时追上甲.
点拨：列方程解问题时，常用“线段图”来进行分析，这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系.
要点三　航行问题及其他行程问题
航行问题是行程问题中的另一类重要问题，其包含的等量关系是：(1)船在静水中速度＋水速＝船的顺水速度；(2)船在静水中速度－水速＝船的逆水速度.
飞机在航行过程中同样会出现顺风航行和逆风航行，其解题方法与顺水航行和逆水航行问题的解题方法相同，它们是同类问题.
经典例题3　一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静水中的速度为7km/h，水流速度为2km/h，往返一次共用28h，求甲、乙两码头之间的距离.
解析：顺水航行所用时间＋逆水航行所用时间＝总时间.
解：设甲、乙两码头之间的距离是xkm.
由题意，得＋＝28.解得x＝90.
因此，甲、乙两码头之间的距离是90km.
点拨：航行问题中需注意的重要关系有：顺水(风)速度＝静水(风)速度＋水(风)速；逆水(风)速度＝静水(风)速度－水(风)速.
易错易混警示　列方程时单位不统一
经典例题4　甲、乙两人分别从相距1500m的A，B两地出发，相向而行，3min后相遇，已知乙的速度是5m/s，求甲的速度.
解：设甲的速度是xm/s，由题意得3×60x＋3×60×5＝1500，
解得x＝.
因此，甲的速度是m/s.
当 堂 检 测
1. 甲、乙两车同时分别从A，B两地相向而行，甲车速度是45km/h，两地相距190km，2h后相遇，则乙车的速度是多少？设乙车的速度是xkm/h，那么下列方程正确的是(　　)
A. 2(45－x)＝190 B. 2(x－45)＝190
C. 2(45＋x)＝190 D. 45＋x＝190×2
2. 小明和小彬做跑步游戏，小明每秒钟跑6米，小彬每秒钟跑5米，小彬站在小明前10米处，两个同时起跑，小明多少秒追上小彬(　　)
A. 5秒 B. 6秒 C. 8秒 D. 10秒
3. 学校到县城有28千米，除公共汽车以外，还需步行一段路程，公共汽车的速度为36千米/时，步行的速度为4千米/时，全程共需1小时，则步行所用的时间是(　　)
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
4. 某市出租车起步价是6元(3公里及3公里以内为起步价)，以后每公里收费是1.6元，不足1公里按1公里收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示为13元，则此出租车行驶的路程可能为(　　)
A. 5.5公里 B. 6.9公里 C. 7.5公里 D. 8.1公里
5. 甲、乙两人在800m环形跑道上练习长跑，甲1min跑300m，乙1min跑260m，两人从同地出发同时同向起跑，tmin后第一次相遇，t等于(　　)
A. 10 B. 15 C. 20 D. 30
6. 若一艘轮船在静水中的速度是27千米/时，水流速度是2千米/时，则这艘轮船逆流而上的速度是 千米/时，顺流而下的速度是 千米/时.
7. 小明和爸爸在一环形跑道上，跑道长400米，小明跑步每秒行9米，爸爸骑车每秒行16米，两人同时同地反向而行，经过 秒两人相遇.
8. 甲、乙两站相距36千米，一列慢车从甲站出发，每小时行52千米，一列快车从乙站出发，每小时行70千米，两车同时开出，同向而行，快车在后，需用 小时才能追上慢车.
9. 甲、乙两站间的路程为360千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶88千米.两列火车同时开出，同向而行，慢车在前，快车在后，问经过几小时快车追上慢车？
10. 小明家离学校2.7千米，一天早上上学，小明已走28分钟时，妈妈发现小明上学忘带数学书了，这时爸爸立即骑自行车带上数学书去追赶小明.已知小明上学每分钟走60米，爸爸骑车每分钟走200米，请问小明爸爸能否赶在小明到学校前把书送到小明手上？
当堂检测参考答案
1. C 2. D 3. C 4. B 5. C
6. 25 29
7. 16
8. 2
9. 解：设经过x小时，快车追上慢车.(88－48)·x＝360，x＝9.所以经过9小时快车追上慢车.
10. 解：设小明爸爸追上小明用了x分钟.依题意得(200－60)x＝28×60.解得x＝12，因为2.7千米＝2700米，所以2700÷60＝45(分钟)，因为28＋12＝40<45.所以小明爸爸能赶在小明到达学校前把书送到小明手中.