1．1 集合的概念
第1课时 集合的概念
学习目标 1.通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．
知识点一 元素与集合的概念
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．
3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．
思考 我班所有的“追梦人”能否构成一个集合？
答案 不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准．
知识点二 元素与集合的关系
1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a?A.
知识点三 常见的数集及表示符号
数集
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
1．组成集合的元素一定是数．( × )
2．接近于0的数可以组成集合．( × )
3．分别由元素0,1和1,0组成的两个集合是相等的．( √ )
4．一个集合中可以找到两个相同的元素．( × )
一、对集合的理解
例1 (1)考察下列每组对象，能构成集合的是( )
①中国各地的美丽乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④截止到2019年1月1日，参加一带一路的国家．
A．③④ B．②③④ C．②③ D．②④
答案 B
解析 ①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.
(2)下列说法中，正确的有______．(填序号)
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．
答案 ②
解析 ①不正确. book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.
②正确. 集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．
③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．
反思感悟 判断一组对象是否为集合的三依据
(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．
(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．
(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．
二、元素与集合的关系
例2 下列关系中正确的个数为( )
①∈Q；②－1?N；③π?R；④|－4|∈Z.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ①∵是无理数，∴?Q，故①错误；②－1?N，②正确；③∵π是实数，∴π∈R，故③错误；④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确．
反思感悟 判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
跟踪训练1 给出下列说法：
①R中最小的元素是0；
②若a∈Z，则－a?Z；
③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q.
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确．
三、元素特性的应用
例3 已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
解 ∵－3∈A，
∴－3＝a－3或－3＝2a－1，
若－3＝a－3，
则a＝0，
此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意；
综上所述，a＝0或a＝－1.
延伸探究
若将“－3∈A”换成“a∈A”，求实数a的值．
解 ∵a∈A，∴a＝a－3或a＝2a－1，
解得a＝1，此时集合A中有两个元素－2,1，
符合题意．
故所求a的值为1.
反思感悟 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
跟踪训练2 已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝________.
答案 －1
解析 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，
∴a≠1.
当a＝－1时，
集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性．
∴a＝－1.
1．下列给出的对象中，能组成集合的是( )
A．一切很大的数
B．好心人
C．漂亮的小女孩
D．方程x2－1＝0的实数根
答案 D
2．下列结论不正确的是( )
A．0∈N B.?Q C．0?Q D．8∈Z
答案 C
解析 0是有理数，故0∈Q，所以C错误．
3．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
答案 A
解析 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．
4．一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有________个元素．
答案 10
解析 由集合元素的互异性知：集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象)，相同的元素在集合中只能算作一个，因此书架上的书组成的集合中有10个元素．
5．如果有一集合含有两个元素：x，x2－x，则实数x的取值范围是________．
答案 x≠0,2
解析 由集合元素的互异性可得x2－x≠x，解得x≠0,2.
1．知识清单：
(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系．
(2)常用数集的表示．
(3)集合中元素的特性及应用．
2．方法归纳：分类讨论．
3．常见误区：忽视集合中元素的互异性．
1．以下各组对象不能组成集合的是( )
A．中国古代四大发明
B．地球上的小河流
C．方程x2－7＝0的实数解
D．周长为10 cm的三角形
答案 B
解析 因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合．
2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14 B．－5 C. D.
答案 D
解析 由题意知a应为无理数，故a可以为.
3．有下列说法：
①集合N中最小的数为1；②若－a∈N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 A
解析 N中最小的数为0，所以①错；由－(－2)∈N，而－2?N可知②错；若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为0，所以③错；“小”的正数没有明确的标准，所以④错，故选A.
4．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3?Z；④－?N，其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确．故选B.
5．集合A中有三个元素2,3,4，集合B中有三个元素2,4,6，若x∈A且x?B，则x等于( )
A．2 B．3 C．4 D．6
答案 B
解析 集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意．
6．下列说法中：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________．
答案 ②④
解析 因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
7．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________.
答案 3
解析 由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，
解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，
当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，
当m＝3时，满足题意，故m＝3.
8．若由a，，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合相等，则a2 019＋b2 019的值为________．
答案 －1
解析 由已知可得a≠0，
因为两集合相等，所以有或
所以(舍)或
经检验，a＝－1，b＝0，满足条件，
所以a2 019＋b2 019＝－1.
9．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．
解 ∵a∈A且3a∈A，
∴解得a<2.又a∈N，
∴a＝0或1.
10．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求元素x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x的值．
解 (1)由集合元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3.
(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.
由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2.
经检验，知x＝－2符合互异性．故x＝－2.
11．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4 C．4 D．0
答案 B
解析 若a＝2，则6－2＝4∈A；
若a＝4，则6－4＝2∈A；
若a＝6，则6－6＝0?A，故选B.
12．已知x，y为非零实数，代数式＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．－1∈M B．1∈M C．2∈M D．3?M
答案 A
解析 ①当x，y均为正数时，代数式＋＋的值为3；②当x，y为一正一负时，代数式＋＋的值为－1；③当x，y均为负数时，代数式＋＋的值为－1，所以集合M的元素有－1,3，故选A.
13．由a2,2－a,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A．1 B．－2 C．－1 D．2
答案 C
解析 由题意知a2≠4,2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1，结合选项知C正确，故选C.
14．已知集合A中的元素满足x＝3k－1，k∈Z，则－1________A，－34________A．(填“∈”或“?”)
答案 ∈ ∈
解析 当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A.
15．已知集合M有2个元素x,2－x，若－1?M，则下列说法一定错误的是________．
①2∈M；②1∈M；③x≠3.
答案 ②
解析 依题意解得x≠－1，x≠1且x≠3，
当x＝2或2－x＝2，即x＝2或0时，M中的元素为0,2，故①可能正确；
当x＝1或2－x＝1，即x＝1时，M中两元素为1,1不满足互异性，故②不正确，③显然正确．
16．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
证明 (1)若a∈A，则∈A.
又因为2∈A，所以＝－1∈A.
因为－1∈A，所以＝∈A.
因为∈A，所以＝2∈A.
所以A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无实数解．
所以a≠，所以集合A不可能是单元素集．
课件28张PPT。第1课时 集合的概念第一章 1.1 集合的概念学习目标XUEXIMUBIAO1.通过实例了解集合的含义.
2.理解集合中元素的特征.
3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 元素与集合的概念1.元素：一般地，把 统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母________
表示.
2.集合：把一些 组成的总体叫做集合(set)，(简称为 )，常用大写拉丁字母
表示.
3.集合相等：指构成两个集合的元素是 的.
4.集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是 、 的.研究对象a，b，c…元素集A， B，C…一样确定的互不相同思考 我班所有的“追梦人”能否构成一个集合？答案 不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准.知识点二 元素与集合的关系1.属于：如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作 .
2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 .属于a∈A不属于a?A知识点三 常见的数集及表示符号整数集实数集NN*或N＋Q思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.组成集合的元素一定是数.( )
2.接近于0的数可以组成集合.( )
3.分别由元素0,1和1,0组成的两个集合是相等的.( )
4.一个集合中可以找到两个相同的元素.( )××√×2题型探究PART TWO例1 (1)考察下列每组对象，能构成集合的是
①中国各地的美丽乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④截止到2019年1月1日，参加一带一路的国家.
A.③④ B.②③④ C.②③ D.②④一、对集合的理解√解析 ①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.解析 ①不正确. book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.
②正确. 集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形.
③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关.(2)下列说法中，正确的有______.(填序号)
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合.②反思感悟判断一组对象是否为集合的三依据
(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合.
(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数.
(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关.二、元素与集合的关系例2 下列关系中正确的个数为A.1 B.2 C.3 D.4√②－1?N，②正确；
③∵π是实数，∴π∈R，故③错误；
④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确.反思感悟判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的.
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.跟踪训练1 给出下列说法：
①R中最小的元素是0；
②若a∈Z，则－a?Z；
③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q.
其中正确的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3√解析 实数集中没有最小的元素，故①不正确；
对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；
只有③正确.三、元素特性的应用例3 已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值.解 ∵－3∈A，
∴－3＝a－3或－3＝2a－1，
若－3＝a－3，
则a＝0，
此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意；
综上所述，a＝0或a＝－1.延伸探究
若将“－3∈A”换成“a∈A”，求实数a的值.解 ∵a∈A，∴a＝a－3或a＝2a－1，
解得a＝1，此时集合A中有两个元素－2,1，
符合题意.
故所求a的值为1.反思感悟由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤跟踪训练2 已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝_____.－1解析 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，
∴a≠1.
当a＝－1时，
集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性.
∴a＝－1.3随堂演练PART THREE123451.下列给出的对象中，能组成集合的是
A.一切很大的数
B.好心人
C.漂亮的小女孩
D.方程x2－1＝0的实数根√123452.下列结论不正确的是√解析 0是有理数，故0∈Q，所以C错误.134523.若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是
A.梯形 B.平行四边形
C.菱形 D.矩形√解析 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等.134524.一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有_____个元素.10解析 由集合元素的互异性知：集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象)，相同的元素在集合中只能算作一个，因此书架上的书组成的集合中有10个元素.134525.如果有一集合含有两个元素：x，x2－x，则实数x的取值范围是________.x≠0,2解析 由集合元素的互异性可得x2－x≠x，解得x≠0,2.课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系.
(2)常用数集的表示.
(3)集合中元素的特性及应用.
2.方法归纳：分类讨论.
3.常见误区：忽视集合中元素的互异性.本课结束第2课时 集合的表示
学习目标 1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用.2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
知识点一 列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
知识点二 描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
思考 不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？
答案 元素的共同特征为x∈R，且x<5.
1．由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( × )
2．集合{(1,2)}中的元素是1和2.( × )
3．集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( √ )
4．{x|x>1}与{y|y>1}是不同的集合．( × )
一、列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合．
解 (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．
(4)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}．
反思感悟 用列举法表示集合应注意的两点
(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；
(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．
跟踪训练1 用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D.
解 (1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}．
(3)由得
所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1,3)，所以D＝{(1,3)}．
二、描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
解 (1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
反思感悟 利用描述法表示集合应关注五点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
跟踪训练2 下列三个集合：
①A＝{x|y＝x2＋1}；
②B＝{y|y＝x2＋1}；
③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
解 (1)不相同．
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对．可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的．
三、集合表示法的综合应用
例3 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
解 (1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．
延伸探究
1．本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合．
解 由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，
故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0.
所以实数k组成的集合为{k|k<1，且k≠0}．
2．本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值范围．
解 由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．
①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；
②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1，且k≠0.
综合①②可知，实数k的取值范围为{k|k≤1}．
反思感悟 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．
1．用列举法表示集合{x|x2－2x－3＝0}为( )
A．{－1,3} B．{(－1,3)}
C．{x＝1} D．{x2－2x－3＝0}
答案 A
2．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是( )
A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2,1)} D．{(1，－2)}
答案 D
3．设A＝{x∈N|1≤x<6}，则下列正确的是( )
A．6∈A B．0∈A C．3?A D．3.5?A
答案 D
4．第一象限的点组成的集合可以表示为( )
A．{(x，y)|xy>0} B．{(x，y)|xy≥0}
C．{(x，y)|x>0且y>0} D．{(x，y)|x>0或y>0}
答案 C
5．下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是( )
A．{x|x＝4k－1，k∈Z}
B．{x|x＝2k－1，k∈Z}
C．{x|x＝2k＋1，k∈Z}
D．{x|x＝2k＋3，k∈Z}
答案 A
1．知识清单：
(1)描述法表示集合的理解．
(2)用列举法和描述法表示集合．
(3)两种表示法的综合应用．
2．方法归纳：等价转化、分类讨论．
3．常见误区：点集与数集的区别．
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
答案 B
解析 方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数解1，根据集合元素的互异性知B正确．
2．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是( )
A．0∈A B．1?A C．－1∈A D．0?A
答案 A
解析 ∵A＝{x|x(x－1)＝0}＝{0,1}，
∴0∈A.
3．如果A＝{x|x>－1}，那么( )
A．－2∈A B．{0}∈A C．－3∈A D．0∈A
答案 D
解析 ∵0>－1，故0∈A，选D.
4．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}
C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}
答案 B
解析 {x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，故选B.
5．下列命题中正确的是( )
A．集合{x∈R|x2＝1}中有两个元素
B．集合{0}中没有元素
C.∈{x|x<2}
D．{1,2}与{2,1}是不同的集合
答案 A
解析 {x∈R|x2＝1}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2}＝{x|x<}，>，?{x|x<2}；根据集合中元素的无序性可知{1,2}与{2,1}是同一个集合．
6．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________________________．
答案 {x|x＝2n，n∈N*}
解析 正整数中所有的偶数均能被2整除．
7．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1?A，则实数a的取值范围是________________．
答案 {a|a≤－2}
解析 ∵1?{x|2x＋a>0}，
∴2×1＋a≤0，即a≤－2.
8．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．
答案 2
解析 由－5∈{x|x2－ax－5＝0}，得(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4，所以{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全体；
(2)大于－3.5小于12.8的整数的全体；
(3)梯形的全体构成的集合；
(4)所有能被3整除的数的集合；
(5)方程(x－1)(x－2)＝0的解集；
(6)不等式2x－1>5的解集．
解 (1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．
(2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．
(3){a|a是梯形}或{梯形}．
(4){x|x＝3n，n∈Z}．
(5){1,2}．
(6){x|x>3}．
10．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．
解 ①若a＋3＝1，则a＝－2，
此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；
当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．
③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，
此时A＝{2,0,1}，满足题意．
综上所述，实数a的值为－1或0.
11．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 1,2,3与4,5分别相加可得5,6,6,7,7,8，根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素．
12．已知A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，定义集合A，B间的运算A*B＝{x|x∈A且x?B}，则集合A*B等于( )
A．{1,2,3} B．{2,4} C．{1,3} D．{2}
答案 C
解析 因为属于集合A的元素是1,2,3，但2属于集合B，所以A*B＝{1,3}．
13．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.
答案 {0,1}
解析 ∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1；
当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1.
∴B＝{0,1}．
14．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1,1,2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________．(答案不唯一)
答案 不是
解析 由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝，即a＝±1，故可取的集合有，等．
15．设集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3 C．5 D．9
答案 C
解析 因为A＝{0,1,2}，又集合B中元素为x－y且x∈A，y∈A，
所以x的可能取值为0,1,2；y的可能取值为0,1,2.
当x＝0时，y＝0或1或2，
此时对应的x－y的值为0，－1，－2.
当x＝1时，y＝0或1或2，
此时对应的x－y的值为1,0，－1.
当x＝2时，y＝0或1或2，
此时对应的x－y的值为2,1,0.
综上可知，集合B＝{－2，－1,0,1,2}，
所以集合B中的元素的个数为5.
16．设集合B＝.
(1)试判断元素1和2与集合B的关系；
(2)用列举法表示集合B.
解 (1)当x＝1时，＝2∈N；
当x＝2时，＝?N，
所以1∈B,2?B.
(2)因为∈N，x∈N，
所以2＋x只能取2,3,6，
所以x只能取0,1,4，
所以B＝{0,1,4}．
课件30张PPT。第2课时 集合的表示第一章 1.1 集合的概念学习目标XUEXIMUBIAO1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用.
2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 列举法
把集合的所有元素 出来，并用 括起来表示集合的方法叫做列举法.
知识点二 描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有 P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法.一一列举花括号“{}”共同特征思考 不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？答案 元素的共同特征为x∈R，且x<5.思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.( )
2.集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )
3.集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合.( )
4.{x|x>1}与{y|y>1}是不同的集合.( )××√×2题型探究PART TWO例1 用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；一、列举法表示集合解 因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，
所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}.(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；解 方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，
所以方程的解组成的集合为{0,2}.(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；解 将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，
故交点组成的集合是{(0,1)}.(4)由所有正整数构成的集合.解 正整数有1,2,3，…，
所求集合为{1,2,3，…}.反思感悟用列举法表示集合应注意的两点
(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；
(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.跟踪训练1 用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；解 因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}.(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；解 方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}.(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D.所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1,3)，所以D＝{(1,3)}.二、描述法表示集合例2 用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；解 偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，
所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}.(2)被3除余2的正整数集合；解 设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，
所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}.(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.解 坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，
故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}.反思感悟利用描述法表示集合应关注五点
(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}.
(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}.
(3)不能出现未被说明的字母.
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}.跟踪训练2 下列三个集合：
①A＝{x|y＝x2＋1}；
②B＝{y|y＝x2＋1}；
③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}.
(1)它们是不是相同的集合？解 不相同.(2)它们各自的含义分别是什么？解 集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，
所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R；
集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，
所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}.
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对.
可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的.三、集合表示法的综合应用例3 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合.解 (1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，
则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意.
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}.延伸探究
1.本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合.解 由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，
故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0.
所以实数k组成的集合为{k|k<1，且k≠0}.2.本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值范围.解 由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根.
①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；
②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，
则Δ＝64－64k≥0，即k≤1，且k≠0.
综合①②可知，实数k的取值范围为{k|k≤1}.反思感悟(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.
(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想.3随堂演练PART THREE123451.用列举法表示集合{x|x2－2x－3＝0}为
A.{－1,3} B.{(－1,3)}
C.{x＝1} D.{x2－2x－3＝0}√123452.一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是
A.{1，－2} B.{x＝1，y＝－2}
C.{(－2,1)} D.{(1，－2)}√134523.设A＝{x∈N|1≤x<6}，则下列正确的是
A.6∈A B.0∈A C.3?A D.3.5?A√134524.第一象限的点组成的集合可以表示为
A.{(x，y)|xy>0} B.{(x，y)|xy≥0}
C.{(x，y)|x>0且y>0} D.{(x，y)|x>0或y>0}√134525.下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是
A.{x|x＝4k－1，k∈Z}
B.{x|x＝2k－1，k∈Z}
C.{x|x＝2k＋1，k∈Z}
D.{x|x＝2k＋3，k∈Z}√课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)描述法表示集合的理解.
(2)用列举法和描述法表示集合.
(3)两种表示法的综合应用.
2.方法归纳：等价转化、分类讨论.
3.常见误区：点集与数集的区别.本课结束
