1．4 充分条件与必要条件
1．4.1 充分条件与必要条件
学习目标 1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．
知识点 充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p?q
p?q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
思考 若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？
答案 不唯一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2
预习小测 自我检验
1．若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件．
答案 必要
2．已知A?B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．
答案 充分
3．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件．
答案 必要
解析 ∵x＝y?|x|＝|y|，即q?p，
∴p是q的必要条件．
4．p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的________条件．
答案 充分
一、充分条件的判断
例1 (1)下列命题中，p是q的充分条件的是________．
①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；
③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根．
答案 ③
解析 ①∵(x－2)(x－3)＝0，
∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.
∴p不是q的充分条件．
②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件．
③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件．
(2)“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的________条件．
答案 充分
解析 由a>2且b>2?a＋b>4，ab>4，
∴是充分条件．
反思感悟 充分条件的判断方法
(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p?q问题．
(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A?B，则p是q的充分条件．
跟踪训练1 “x>2”是“x2>4”的________条件．
答案 充分
解析 x>2?x2>4，故x>2是x2>4的充分条件．
二、必要条件的判断
例2 在以下各题中，分析p与q的关系：
(1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5；
(2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形．
解 (1)由于p?q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)由于q?p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件．
反思感悟 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p?q为真，则p是q的充分条件，若q?p为真，则p是q的必要条件．
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A?B，则甲是乙的必要条件．
跟踪训练2 分析下列各项中p与q的关系．
(1)p：α为锐角，q：α＝45°.
(2)p：(x＋1)(x－2)＝0，q：x＋1＝0.
解 (1)由于q?p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
(2)由于q?p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
三、充分条件与必要条件的应用
例3 已知p：实数x满足3a解 p：3aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p?q，所以A?B，
所以?－≤a<0，
所以a的取值范围是－≤a<0.
延伸探究
1．将本例中条件p改为“实数x满足a0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
解 p：aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为q?p，所以B?A，
所以?a∈?.
2．将例题中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围．
解 p：3aq：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}．
因为p是q的充分条件，所以p?q，所以A?B，
所以?－1≤a<0.
所以a的取值范围是－1≤a<0.
反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
1．若p是q的充分条件，则q是p的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
答案 B
解析 因为p是q的充分条件，所以p?q，所以q是p的必要条件．
2．下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A．p：ab≠0，q：a≠0
B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C．p：x2>1，q：x>1
D．p：a>b，q：>
答案 A
解析 根据充分条件的概念逐一判断．
3．“同位角相等”是“两直线平行”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 C
4．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．
答案 a≤1
解析 因为x>1?x>a，所以a≤1.
5．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)．
答案 必要 充分
解析 由于x＝0?x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．
1．知识清单：
(1)充分条件、必要条件的概念．
(2)充分性、必要性的判断．
(3)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．
(4)充分条件与必要条件的应用．
2．常见误区：
充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值．
1．使x>3成立的一个充分条件是( )
A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2
答案 A
解析 只有x>4?x>3，其他选项均不可推出x>3.
2．使x>1成立的一个必要条件是( )
A．x>0 B．x>3 C．x>2 D．x<2
答案 A
解析 只有x>1?x>0，其他选项均不可由x>1推出，故选A.
3．下列p是q的必要条件的是( )
A．p：a＝1，q：|a|＝1
B．p：－1C．p：aD．p：a>b，q：a>b＋1
答案 D
解析 要满足p是q的必要条件，即q?p，只有q：a>b＋1?q：a－b>1?p：a>b，故选D.
4．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是( )
A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝ D．若x答案 A
解析 B项中，x2＝1?x＝1或x＝－1；C项中，当x＝y<0时，，无意义；D项中，当xy2，所以B，C，D中p不是q的充分条件．
5．下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A．p：a是无理数，q：a2是无理数
B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等
C．p：x>0，q：x≥1
D．p：a>b，q：ac2>bc2
答案 B
6．下列说法不正确的是________．(只填序号)
①“x>5”是“x>4”的充分条件；
②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；
③“－2答案 ②
解析 ②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确．
7．条件p：5－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是__________．
答案 {a|a≤5}
解析 p：x>5，若p是q的充分条件，则p?q，也就是说，p对应集合是q对应集合的子集，所以a≤5.
8．下列式子：
①a<0其中能使<成立的充分条件有______．(只填序号)
答案 ①②④
解析 当a<0当b当b<0当0所以能使<成立的充分条件有①②④.
9．指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；
(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；
(3)p：a解 在(1)中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确，所以p既是q的充分条件，也是q的必要条件；
在(2)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；
在(3)中，当a＝－2，b＝－1时，＝2>1；当a＝2，b＝－1时，＝－2<1，所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件．
10．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？
解 (1)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件，
则只要?{x|x<－1或x>3}，
即只需－≤－1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件．
(2)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}?，
这是不可能的．
故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件．
11．对任意实数a，b，c，下列命题中，真命题是( )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
答案 B
解析 “a＝b”?“a－b＝0”?“(a－b)c＝0”?“ac＝bc”，∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．
12．已知集合A＝{x∈R|－1A．m≥2 B．m≤2
C．m>2 D．－2答案 A
解析 因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，
所以A?B，所以3≤m＋1，即m≥2.
13．若A＝{x|a3}，且A是B的充分条件，则实数a的取值范围为_______________．
答案 {a|a≤－3，或a≥3}
解析 因为A是B的充分条件，
所以A?B，
又A＝{x|a3}．
因此a＋2≤－1或a≥3，
所以实数a的取值范围是{a|a≤－3，或a≥3}．
14．已知条件p：x<－1或x>3，条件q：x<－m＋1或x>m＋1(m>0)，若条件p是条件q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
答案 {m|0解析 由题意，设集合A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|<－m＋1或x>m＋1}，
因为条件p是条件q的充分不必要条件，即集合A是集合B的真子集，
所以或解得m<2，
又m>0，所以实数m的取值范围是015．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
答案 A
解析 因为甲是乙的必要条件，所以乙?甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙?乙，但乙?丙，
如图．
综上，有丙?甲，但甲?丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
16．若p：－2解 若a＝－1，b＝，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故p?q.
若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x1，x2，且0于是0<－a<2,0即－2所以p是q的必要条件，但不是充分条件．
课件27张PPT。1.4.1 充分条件与必要条件第一章 1.4 充分条件与必要条件学习目标XUEXIMUBIAO1.理解充分条件、必要条件的概念.
2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.
3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点 充分条件与必要条件??充分必要充分必要思考 若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？答案 不唯一.例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”“x>3”或“22.已知A?B，则“x∈A”是“x∈B”的_____条件.
3.p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的______条件.预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN必要充分必要解析 ∵x＝y?|x|＝|y|，即q?p，
∴p是q的必要条件.4.p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的______条件.充分2题型探究PART TWO解析 ①∵(x－2)(x－3)＝0，
∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.
∴p不是q的充分条件.
②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件.
③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件.例1 (1)下列命题中，p是q的充分条件的是________.
①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；
③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根.一、充分条件的判断③(2)“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的______条件.充分解析 由a>2且b>2?a＋b>4，ab>4，
∴是充分条件.反思感悟充分条件的判断方法
(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p?q问题.
(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A?B，则p是q的充分条件.跟踪训练1 “x>2”是“x2>4”的________条件.充分解析 x>2?x2>4，故x>2是x2>4的充分条件.二、必要条件的判断例2 在以下各题中，分析p与q的关系：
(1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5；解 由于p?q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形.解 由于q?p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件.反思感悟(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p?q为真，则p是q的充分条件，若q?p为真，则p是q的必要条件.
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A?B，则甲是乙的必要条件.跟踪训练2 分析下列各项中p与q的关系.
(1)p：α为锐角，q：α＝45°.解 由于q?p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件.(2)p：(x＋1)(x－2)＝0，q：x＋1＝0.解 由于q?p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件.三、充分条件与必要条件的应用例3 已知p：实数x满足3aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}.
因为p?q，所以A?B，延伸探究
1.将本例中条件p改为“实数x满足a0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围.解 p：aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}.
因为q?p，所以B?A，2.将例题中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围.解 p：3aq：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}.
因为p是q的充分条件，所以p?q，所以A?B，所以a的取值范围是－1≤a<0.反思感悟充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.3随堂演练PART THREE123451.若p是q的充分条件，则q是p的
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.既是充分条件又是必要条件√解析 因为p是q的充分条件，所以p?q，所以q是p的必要条件.123452.下列命题中，p是q的充分条件的是
A.p：ab≠0，q：a≠0
B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C.p：x2>1，q：x>1√解析 根据充分条件的概念逐一判断.134523.“同位角相等”是“两直线平行”的
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件，也是必要条件
D.既不充分又不必要条件√134524.若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________.a≤1解析 因为x>1?x>a，所以a≤1.134525.“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空).必要充分解析 由于x＝0?x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件.课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：
(1)充分条件、必要条件的概念.
(2)充分性、必要性的判断.
(3)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.
(4)充分条件与必要条件的应用.
2.常见误区：
充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值.本课结束