人教版高中物理必修3-1讲义资料，复习补习资料：39【基础】带电粒子在复合场中的运动应用

带电粒子在复合场中的运动及应用
【学习目标】　　1．进一步理解各种场（重力场、电场、磁场）的特点以及带电粒子在某场中运动的特点　　2．理解带电粒子在复合场中运动的实际运用：如速度选择器、霍尔元件、电磁流量计、磁流体发电机等　　3．掌握带电粒子或带电物体在复合场中运动的规律和解决问题的方法【要点梳理】要点一、带电粒子在复合场中运动的处理方法
1.三种场力的特点　　要点诠释： 　　（1）重力的大小为mg，方向竖直向下，重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与初、末位置的高度差有关。　　（2）电场力的大小为qE，方向与电场强度E及带电粒子所带电荷的性质有关，电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与初、末位置的电势差有关。　　（3）洛伦兹力的大小跟速度与磁场方向的夹角有关，当带电粒子的速度与磁场方向平行时，f=0；当带电粒子的速度与磁场方向垂直时，f=qvB；洛伦兹力的方向垂直于速度v和磁感应强度B所决定的平面。无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力都不做功。 2.带电粒子在复合场中运动的处理方法　　要点诠释：　　（1）正确分析带电粒子的受力及运动特征是解决问题的前提　　①带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及其初始状态的速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析，当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，做匀速直线运动（如速度选择器）。　　②当带电粒子所受的重力与电场力等值反向，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动。　　③当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，由于带电粒子可能连续通过几个情况不同的复合场区，因此粒子的运动情况也发生相应的变化，其运动过程可能由几种不同的运动阶段所组成。　　（2）灵活选用力学规律是解决问题的关键　　①当带电粒子在复合场中做匀速运动时，应根据平衡条件列方程求解。　　②当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解。　　③当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，应选用动能定理或能量守恒定律列方程求解。　　说明：如果涉及两个带电粒子的碰撞问题，还要根据动量守恒定律列出方程，再与其他方程联立求解。　　由于带电粒子在复合场中受力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，根据临界条件列出铺助方程，再与其他方程联立求解。 要点二、速度选择器　　要点诠释：　　速度选择器的工作原理及应用：　　如图所示，粒子所受的电场力FE=qE，所受的洛伦兹力FB=qvB，则要使粒子匀速通过选择器，必须满足FE=FB可得，即满足比值的粒子都沿直线通过，与粒子的正负无关。　
/　 　除此之外，还应注意以下两点：　　（1）若若或，粒子都将偏离直线运动。粒子若从右侧射入，则不可能匀速通过电磁场，这说明速度选择器不仅对粒子速度的大小有选择，而且对速度的方向也有选择。　　（2）要想使FE与FB始终相反，应将v、B、E三者中任意两个量的方向同时改变，但不能同时改变三个或者任一个方向，否则将破坏速度选择功能。　　（3）速度选择器经常与质谱仪结合应用。 要点三、电磁流量计　　要点诠释：　　电磁流量计的测量原理
电磁流量计原理：如图所示，一圆形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向左流动，导电液体中的自由电荷（正负离子）在洛伦兹力作用下发生偏转，a、b间出现电势差。当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差保持稳定。由，可得。流量。
/　　　　　　　　　　　　　　　　　要点四、霍尔效应　　要点诠释：1．霍尔效应及霍尔　　如图，厚度为h，宽度为d的导体板放在垂直于它的磁感强度为B的匀强磁场中，当电流通过导体板时，在导体板的上侧面A和下侧面A＇之间会产生电势差，这种现象称为霍尔效应，实验表明，当磁场不太强时，电势差U、电流I和磁感应强度B的关系为，式中的比例系数k称为霍尔系数，霍尔效应可解释为外部磁场产生的洛伦兹力使运动的电子聚集在导体板的一侧，在导体板的另一侧出现多余的正电荷，从而形成横向电场，横向电场对电子施加与洛伦兹力方向相反的静电力，当静电力与洛伦兹力达到平衡时，导体板上下两侧之间会形成稳定的电势差。/　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．霍尔电压的正负判断及应用　　（1）金属导体或N型半导体中自由运动的电荷是自由电子，在洛伦兹力作用下侧向移动产生霍尔电压的电荷是电子，不是正电荷，如上图上表面A积累负电荷（自由电子），下表面A＇积累正电荷，形成的霍尔电压。　　注意：通常出现的错误是用左手定则直接判断出正电荷受力向上，其原因是忽视了相对于磁场运动的电荷是自由电子，而不是正电荷！　　（2）P型半导体形成电流的多数载流子是空穴（相当于正电荷），在上图中产生的霍尔电压应该是。　　可见用霍尔效应可以区分P型还是N型半导体。 要点五、磁流体发电机　　要点诠释：　　磁流体发电机的原理　　磁流体发电机的原理是：等离子气体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生上下偏转而聚集到AB板上，产生电势差，设A、B平行金属板的面积为S，相距为L，等离子体的电阻率为，喷入气体速度为v，板间磁场的磁感强度为B，板外电阻为R，当等离子气体匀速通过A、B板间时，A、B板上聚集的电荷最多，板间电势差最大，即电源电动势最大，此时离子受力平衡，，，电动势，电源内电阻，所以R中电流。
　/　　　　　　　　　　　　　　 【典型例题】类型一、速度选择器　　例1． (2019 扬州高三测试)如图所示，两平行金属板水平放置，开始开关S合上使平行板电容器带电．板间存在垂直纸面向里的匀强磁场．一个不计重力的带电粒子恰能以水平向右的速度沿直线通过两板．在以下方法中，能使带电粒子仍沿水平直线通过两板的是（ ）
/
A．将两板的距离增大一倍，同时将磁感应强度增大一倍
B．将两板的距离减小一半，同时将磁感应强度增大一倍
C．将开关S断开，两板间的正对面积减小一半，同时将板间磁场的磁感应强度减小一半
D．将开关S断开，两板间的正对面积减小一半，同时将板间磁场的磁感应强度增大一倍
【答案】BD
【解析】A、电容器处于通电状态，把两板间距离增大一倍，由/ 可知，电场强度变为原来的一半，根据/可知，要使粒子匀速通过，同时将磁感应强度减小一倍，故A错误；
B、电容器处于通电状态，把两板间距离减小一倍，由/可知，则电场强度增加一倍，根据/可知，要使粒子匀速通过，磁场应该增大一倍，故B正确；
CD、如果把开关S断开，根据/，因两极间的电量不变，当两板间的正对面积减小一半，则两极板之间的电场强度增强一倍，因此根据/可知，要使粒子匀速通过，磁场强度增大一倍，故C错误，D正确。故选：BD
【总结升华】装置是否构成速度选择器使运动电荷匀速直线穿过复合场，取决于电场力与洛伦兹力的大小，即电场、磁场和速度三者之间的关系，与电荷的电性以及比荷无关。　　举一反三
【 带电粒子在复合场中的运动应用 例1】
【变式】如图所示，充电的两平行金属板间有场强为E的匀强电场，和方向与电场垂直(垂直纸面向里)的匀强磁场，磁感应强度为B，构成了速度选择器。氕、氘、氚核以相同的动能(EK)从两极板中间，垂直于电场和磁场射入速度选择器，且氘核沿直线射出。则射出时（ ）
/
A、动能增加的是氚核
B、动能增加的是氕核
C、偏向正极板的是氚核
D、偏向正级板的是氕核
【答案】AD类型二、电磁流量计　　例2．（2019 德阳校级期中）为监测某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的流量计。该装置由绝缘材料制成，长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口。在垂直于上下底面方向加磁感应强度大小为B的匀强磁场，在前后两个内侧面分别固定有金属板作为电极。污水充满管口从左向右流经该装置时，电压表将显示两个电极间的电压U。若用Q表示污水流量(单位时间内排出的污水体积)，下列说法中正确的是(　　)
/
A．若污水中正离子较多，则前表面比后表面电势高
B．若污水中负离子较多，则前表面比后表面电势高
C．污水中离子浓度越高，电压表的示数将越大
D．污水流量Q与U成正比，与a、b无关
【思路点拨】当导电流体稳定地流经流量计时洛伦兹力和静电场力受力平衡
【答案】D
【解析】由左手定则可判断，前表面聚集负电荷，比后表面电势低，且当Bvq＝q时，电荷不再偏转，电压表示数恒定，与污水中离子的多少无关，A、B、C均错误；由Q＝vbc可得：Q＝，可见，Q与U成正比，与a、b无关，D正确。
【总结升华】解决本体的关键在掌握左手定则判定洛伦兹力的方向，以及知道在电磁流量计中，正负离子受电场力和洛伦兹力平衡。
类型三、霍尔尔效应　　例3．（2019 北海模拟）利用霍尔效应制作的霍尔元件，广泛应用于测量和自动控制等领域。如图是霍尔元件的工作原理示意图，磁感应强度B垂直于霍尔元件的工作面向下，通入图示方向的电流I，C、D两侧面会形成电势差UCD，下列说法中正确的是(　　)
/
A．电势差UCD仅与材料有关
B．若霍尔元件的载流子是自由电子，则电势差UCD<0
C．仅增大磁感应强度时，电势差UCD变大
D．在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持水平
【答案】BC
【解析】电势差UCD与磁感应强度B、材料有关，选项A错误；若霍尔元件的载流子是自由电子，由左手定则可知，电子向C侧面偏转，则电势差UCD<0，选项B正确；仅增大磁感应强度时，电势差UCD变大，选项C正确；在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持竖直且东西放置，选项D错误。
举一反三
【 带电粒子在复合场中的运动应用 例2】
【变式】把金属块放在磁场中，磁场方向垂直于里外两侧面向外，如图。金属块中有电流通过，设金属上下表面电势分别为和，则（ ）
/
A．＞ B．＝
C．＜ D．无法判定上下表面电势高低
【答案】A
类型四、磁流体发电机　　例4．如图所示，磁流体发电机的极板相距d=0.2 m，极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场。外电路中可变负载电阻R用导线与极板相连。电离气体以速率,沿极板射入，极板间电离气体等效内阻r=0.1Ω，试求此发电机的最大输出功率为多大？/ 【答案】121 W
　【解析】S断开时，由离子受力平衡可得
所以板间电压为
此发电机的电动势为
当可变电阻调到R=r=0.1Ω时，电源的输出功率最大，最大输出功率为
【总结升华】（1）等离子体发电机输出的电压取决于B、v、d三个因素，；（2）对外供电的磁流体发电机中的运动电荷同时参入两个运动，达到动态平衡。
举一反三
【变式】如图是磁流体发电机原理示意图。A、B极板间的磁场方向垂直于纸面向里，等离子束从左向右进入板间。下述正确的是（ ）
A．A反电势高于B板，负载R中电流向上 B．B板电势高于A板，负载R中电流向上
C．A板电势高于B板，负载R中电流向下 D．B板电势高于A板，负载R中电流向下
/
【答案】C
【解析】等离子束指的是含有大量正、负离子，整体呈中性的离子流，进入磁场后，正离子受到向上的洛仑兹力向A板偏，负离子受到向下的洛仑兹力向B板偏。这样正离子聚集在A板，而负离子聚集在B板，A板电势高于B板，电流方向从A→R→B。
类型五、带电质点在复合场中的综合问题　　例5．如图所示，套在很长的绝缘直棒上的带正电的小球，其质量为m，带电荷量为Q，小球可在棒上滑动，现将此棒竖直放在匀强电场和匀强磁场中，电场强度是E，磁感应强度是B，小球与棒的动摩擦因数为μ，求小球由静止沿棒下滑的最大加速度和最大速度。　　/　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【思路点拨】这类问题是一个力变化——加速度变化——速度变化——动能变化的转化问题。首先是分析好受力情况，应用牛顿第二定律或能量观点去分析问题。
【答案】
【解析】对小球进行受力分析如图a。可以看出：当摩擦力时，加速度最大。
/
根据牛顿第二定律有：
当时，，此时。，，。
当v＞v1，弹力反向，小球受力情况如图b，同理有：，。
当时，a=0，物体速度不再增大，v达最大值
，故。
【总结升华】（1）由于洛伦兹力与速度有关，速度变化引起洛伦兹力变化，又引起其他力发生变化等等，故这类问题是一个力变化——加速度变化——速度变化——动能变化等的转化问题。分析这类问题时首先是分析好受力情况，应用牛顿第二定律或能量观点去分析问题。注意思路要清晰。
（2）动态分析的过程要重视发现临界状态和运用临界状态解决问题。举一反三
【变式】在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O点静止释放，小球的运动曲线如图所示。已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。求　　（1）小球运动到任意位置P(x，y)的速率v。　　（2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym。　　（3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（）的匀强电场时，小球从O点静止释放后获得的最大速率vm。　　　　　　　　　　　　　　　　/　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）洛伦兹力不做功，由动能定理得，
①
得 ②
（2）设在最大距离ym处的速率为vm，根据圆周运动有，
③
且由②知 ④
由③④及R=2ym
得 ⑤
（3）小球运动如图所示，
/

由动能定理 ⑥
由圆周运动 ⑦
且由⑥⑦及解得
带电粒子在复合场中的运动及应用
一、选择题：
1．如图所示，在平行线MN、PQ之间存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面的磁场(未画出)，磁场的磁感应强度从左到右逐渐增大。一带电微粒进入该区域时，由于受到空气阻力作用，恰好能沿水平直线OO′通过该区域。带电微粒所受的重力忽略不计，运动过程带电量不变。下列判断正确的是(　　)
/
A．微粒从左到右运动，磁场方向向里
B．微粒从左到右运动，磁场方向向外
C．微粒从右到左运动，磁场方向向里
D．微粒从右到左运动，磁场方向向外
2．一个长方形金属块放在匀强磁场中，今将金属块通以如图所示电流，则M、N两极的电势高低情况是（ ）
A． B． C． D．无法比较
/
3．如图所示，一束质量、速度和电量不同的正离子垂直地射入匀强磁场和匀强电场正交区域里，结果发现有些离子保持原来的运动方向，未发生任何偏转，如果让这些不偏转的离子进入另一个匀强磁场中，发现这些离子又分裂成几束，对这些进入后一磁场的离子，可得出结论（ ）
A．它们的动能一定各不相同 B．它们的电量一定各不相同
C．它们的质量一定各不相同 D．它们的电量与质量之比一定各不相同
/
4．如图所示，一带电塑料小球质量为m，用丝线悬挂于O点，并在竖直平面内摆动，最大摆角为60°，水平磁场垂直于小球摆动的平面。当小球自左方摆到最低点时，悬线上的张力恰为零，则小球自右方最大摆角处摆到最低点时悬线上的张力为(　　)
/
A．0 B．2mg C．4mg D．6mg
5．某电子以固定的正电荷为圆心在匀强磁场中做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面，电子所受正电荷的电场力是磁场力的三倍，若电子质量为m，电荷量为e，磁感应强度为B，则电子运动可能的角速度是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019 甘肃校级期末）如图所示，空间中存在正交的匀强电场E(方向水平向右)和匀强磁场B(方向垂直纸面向外)，在竖直平面内从a点沿ab、ac方向抛出两带电小球(不考虑两带电小球的相互作用，两小球电荷量始终不变)，关于小球的运动，下列说法正确的是(　　)
/
A．沿ab、ac方向抛出的带电小球都可能做直线运动
B．只有沿ab方向抛出的带电小球才可能做直线运动
C．若沿ac方向抛出的小球做直线运动则小球带负电，且小球一定是做匀速运动
D．两小球在运动过程中机械能均守恒
二、填空题：
1．一种测量血管中血流速度仪器的原理如图所示，在动脉血管左右两侧加有匀强磁场，上下两侧安装电极并连接电压表，设血管直径为2.0 mm，磁场的磁感应强度为0.080 T，电压表测出的电压为0.10 mV，则血流速度大小为________m / s。（取两位有效数字）
/
2．质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成45°角进入匀强电场和匀强磁场中，如图所示，磁场的方向垂直于纸面向里，若微粒在电场、磁场及重力的作用下做匀速直线运动，则电场强度的大小E=________，磁感应强度的大小为B=________。
/
三、计算题：
1．目前世界上正在研究的一种新型发电机叫磁流体发电机，它可以把气体的内能直接转化为电能，图表示出了它的发电原理：将一束等离子体（即高温下电离的气体，含有大量带正电和带负电的微粒，而从整体上来说是呈电中性），喷射入磁场，磁场中有两块金属板A、B，则高速射入的离子在洛伦兹力的作用下向A、B两板聚集，使两板间产生电势差，若平行金属板距离为d，匀强磁场的磁感应强度为B，等离子体流速为v，气体从一侧垂直磁场射入板间，不计气体电阻，外电路电阻为R，则两板间最大电压和可能达到的最大电流为多少？
/
2．如图所示为一速度选择器，也称为滤速器的原理图。K为电子枪，由枪中沿KA方向射出的电子，速率大小不一。当电子通过方向互相垂直的均匀电场和磁场后，只有一定速率的电子能沿直线前进，并通过小孔S。设产生匀强电场的平行板间的电压为300 V，间距为5 cm，垂直纸面的匀强磁场的磁感应强度为0.06 T，问：
（1）磁场的指向应该向里还是向外？
（2）速度为多大的电子才能通过小孔S？
/
3．如图所示，水平放置的两块长直平行金属板a、b相距d＝0.10 m，a、b间的电场强度为E＝5.0×105 N/C，b板下方整个空间存在着磁感应强度大小为B＝0.6 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场。今有一质量为m＝4.8×10－25 kg、电荷量为q＝1.6×10－18 C的带正电的粒子(不计重力)，从贴近a板的左端以v0＝1.0×106 m/s的初速度水平射入匀强电场，刚好从狭缝P处穿过b板而垂直进入匀强磁场，最后粒子回到b板的Q处(图中未画出)。求：
/
(1)判断a、b两板间电场强度的方向；
(2)求粒子到达P处的速度与水平方向的夹角θ；
(3)求P、Q之间的距离L(结果可保留根号)。
4．（2019 宁城县一模）如图所示，区域Ⅰ内有与水平方向成45°角的匀强电场E1，区域宽度为d1，区域Ⅱ内有正交的有界匀强磁场B和匀强电场E2，区域宽度为d2，磁场方向垂直纸面向里，电场方向竖直向下。一质量为m、带电荷量为q的微粒在区域Ⅰ左边界的P点，由静止释放后水平向右做直线运动，进入区域Ⅱ后做匀速圆周运动，从区域Ⅱ右边界上的Q点穿出，其速度方向改变了60°，重力加速度为g，求：
/
(1)区域Ⅰ和区域Ⅱ内匀强电场的电场强度E1、E2的大小；
(2)区域Ⅱ内匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(3)微粒从P运动到Q的时间。
【答案与解析】
一、选择题：
1．【答案】B
【解析】由微粒恰好能沿水平直线OO′通过该区域说明洛伦兹力qvB与电场力qE平衡，微粒受到空气阻力作用，速度逐渐减小，沿运动方向磁场的磁感应强度必须逐渐增大。因此微粒从左到右运动；磁场方向向外，选项B正确。
2．C
解析：金属中导电的是自由电子，用左手定则可判断出自由电子受到向上的洛伦兹力，故在M极板上有更多的自由电子，故电势低，C正确。
3．D
解析：因粒子进入正交电磁场中没有发生偏转必须满足F电=F磁，即qE=Bqv，即v满足，进入同一磁场偏转，，因此荷质比不同时方向分成几束。
4．【答案】C
【解析】设小球自左方摆到最低点时速度为v，则mv2＝mgL(1－cos 60°)，此时qvB－mg＝m，当小球自右方摆到最低点时，v大小不变，洛伦兹力方向发生变化，T－mg－qvB＝m，得T＝4mg，故C正确。
5．AC
解析：电子受电场力和洛伦兹力而做匀速圆周运动，当两力方向相同时有：
①， ②， ③，
联立①②③得，故A正确。
当两力方向相反时有 ④，联立②③④有，C正确。
6．【答案】AC
【解析】两个带电小球的电性未知，可假设电性再判断电场力和洛伦兹力的方向，由于在电场力、洛伦兹力和重力作用下小球的直线运动必为匀速运动，只要三力能平衡，小球即可做直线运动，由假设判断可知沿ab方向做直线运动的小球带正电、沿ac方向做直线运动的小球带负电，所以选项A、C正确，选项B错误；除重力做功外，洛伦兹力不做功，电场力做功，机械能不守恒，选项D错误。故选AC。
二、填空题：
1．0.63
解析：血液中的运动电荷在洛伦兹力作用下偏转，在血管壁上聚集，在血管内形成一个电场，其方向与磁场方向垂直，运动电荷受到的电场力与洛伦兹力平衡时，达到了一种稳定状态。，所以。
2．
解析：依据物体平衡条件可得：竖直方向上：；水平方向上： 解得：；。
三、计算题：
1．，
解析：如图所示，运动电荷在磁场中受洛伦兹力作用发生偏转，正负离子分别到达B、A极板（B为电源正极，故电流方向从B经R到A），使A、B板间产生匀强电场，在电场力作用下偏转逐渐减弱，当等离子体不发生偏转即匀速穿过时，有：，所以两板间电势差，根据全电路欧姆定律即可得电流大小，。
/
2．（1）磁场方向垂直纸面向里 （2）105 m / s
解析：（1）由题图可知，平行板产生的电场强度E方向向下，带负电的电子受到的电场力，方向向上。若没有磁场，电子束将向上偏转，为了使电子能够穿过小孔S，所加的磁场施于电子束的洛伦兹力必须是向下的。根据左手定则分析得出，B的方向垂直于纸面向里。
（2）电子受到的洛伦兹力为：，它的大小与电子速率v有关。只有那些速度的大小刚好使得洛伦兹力与电场相平衡的电子，才可沿直线KA通过小孔S。据题意，能够通过小孔的电子，其速率满足下式：，解得：。又因为，所以。
将代入上式，得v=105 m / s。即只有速率为105 m / s的电子可以通过小孔S。
3．【答案】(1)a指向b　(2)30°　(3) m
【解析】(1)a、b间电场强度的方向是由a板指向b板。
(2)粒子在a板左端运动到P处，由动能定理得
qEd＝mv2－mv02
代入有关数据，
解得v＝×106 m/s
cos θ＝，
代入数据得θ＝30°
(3)粒子在磁场中做匀速圆周运动，设圆心为O，半径为r，如图所示，由几何关系得＝rsin 30°，
又qvB＝m
联立求得L＝＝ m
4．【答案】(1) ，；(2) ；(3)
【解析】(1)微粒在区域Ⅰ内水平向右做直线运动，则在竖直方向上有
qE1sin 45 °＝mg
解得
微粒在区域Ⅱ内做匀速圆周运动，则在竖直方向上有
mg＝qE2，
(2)设微粒在区域Ⅰ内水平向右做直线运动时加速度为a，离开区域Ⅰ时速度为v，在区域Ⅱ内做匀速圆周运动的轨道半径为R，则
v2＝2ad1(或)
Rsin 60°＝d2
解得
(3)微粒在区域Ⅰ内做匀加速运动，
在区域Ⅱ内做匀速圆周运动的圆心角为60°，则
所以