人教版八年级上数学教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：11【基础】全等三角形判定一含答案

全等三角形判定一（SSS，SAS）（基础）

【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.
【要点梳理】
【 全等三角形判定一，基本概念梳理回顾】
要点一、全等三角形判定1——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
/
要点二、全等三角形判定2——“边角边”
1. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
/
要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
/【典型例题】
类型一、全等三角形的判定1——“边边边”
【 全等三角形的判定（一）同步练习4】
/1、已知：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．
求证：RM平分∠PRQ．
/
【思路点拨】由中点的定义得PM＝QM，RM为公共边，则可由SSS定理证明全等.
【答案与解析】
证明：∵M为PQ的中点（已知），
∴PM＝QM
在△RPM和△RQM中，
∴△RPM≌△RQM（SSS）．
∴ ∠PRM＝∠QRM（全等三角形对应角相等）．
即RM平分∠PRQ.
【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定.
类型二、全等三角形的判定2——“边角边”/2、（2019?泉州）如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB．
/
【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可．
【答案与解析】
证明：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴CE=CD，BC=AC，
∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
在△CDA与△CEB中/，
∴△CDA≌△CEB．
【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键，同时注意证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.
举一反三：
【变式】（2019?房县三模）如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．求证：△ACD≌△BCE．
/
【答案】证明：∵C是线段AB的中点，
∴AC=BC，
∵CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ECD，∠BCE=∠ECD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
/
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
/3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．
/
【答案与解析】AE＝CD，并且AE⊥CD
证明：延长AE交CD于F，
∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形
∴AB＝BC，BD＝BE
在△ABE和△CBD中

∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴AE＝CD，∠1＝∠2
又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）
∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°
∴AE⊥CD
【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD看作是由△ABE绕着B点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.
举一反三：
【变式】已知：如图，AP平分∠BAC，且AB＝AC，点Q在PA上，
求证：QC＝QB
/
【答案】
证明：∵ AP平分∠BAC　　　∴∠BAP＝∠CAP　　　在△ABQ与△ACQ中　　　∵/　　　∴△ABQ≌△ACQ(SAS)
　　　∴ QC＝QB
类型三、全等三角形判定的实际应用　
/4、（2019秋?兰州期末）如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线．一轮船离开码头，计划沿∠ADB的角平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等．试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由．
/
【思路点拨】只要证明轮船与D点的连线平分∠ADB就说明轮船没有偏离航线，也就是证明∠ADC=∠BDC.要证明角相等，常常通过把角放到两个三角形中，利用题目条件证明这两个三角形全等，从而得出对应角相等．
【答案与解析】
解：此时轮船没有偏离航线．
理由：由题意知：DA=DB，AC=BC，
在△ADC和△BDC中，
/，
∴△ADC≌△BDC（SSS），
∴∠ADC=∠BDC，
即DC为∠ADB的角平分线，
∴此时轮船没有偏离航线．
【总结升华】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是：根据条件设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找对应角相等．要学会把实际问题转化为数学问题来解决．
举一反三：
【变式】工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，边OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D、E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线，你能先说明△OPE与△OPD全等，再说明OP平分∠AOB吗？
/
【答案】
证明： 在△OPE与△OPD中
∵
∴ △OPE≌△OPD （SSS）
∴ ∠EOP＝∠DOP(全等三角形对应角相等)
∴ OP平分∠AOB.
【巩固练习】
一、选择题
1. （2019?莆田）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（　　）
/
　 A．AB=CD B． EC=BF C． ∠A=∠D D． AB=BC
2. 如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（ ）
A.AB∥DC B.∠B＝∠D C.∠A＝∠C D.AB＝BC
/
3. （2019春?成安县期末）如图，由∠1＝∠2，BC＝DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（ ）
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
/
4. 如图，AB、CD、EF相交于O，且被O点平分，DF＝CE，BF＝AE，则图中全等三角形的对数共有（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
/
5. 如图，将两根钢条，的中点O连在一起，使，可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△的理由是( )
/A.边角边 　　　　B.角边角 　　C.边边边　　　　 D.角角边
6. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（ ）
A.EC⊥AC B.EC＝AC C.ED ＋AB ＝DB D.DC ＝CB
/
二、填空题
7. 如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.
/
8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，则图中全等三角形共有_____对.
/
9. （2019?牡丹江）如图，AD和CB相交于点E，BE=DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE（只添一个即可），你所添加的条件是　 　．
/
10. 如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝_______.
/
11. 如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B ＝20°，则∠C＝_______．
/
12. 已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌ ，△ADC≌ .
/
三、解答题
13. （2019春?章丘市校级期中）如图A、B两点分别位于一座小山脚的两端，小明想要测量A、B两点间的距离，请你帮他设计一个测量方案，测出AB的距离．并说明其中的道理．
/
14. 已知：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．
/
分析：要证AD∥BC，只要证∠______＝∠______，
又需证______≌______．
证明：∵ AB∥CD （ ），
∴ ∠______＝∠______ （ ），
在△______和△______中，
∴ Δ______≌Δ______ （ ）．
∴ ∠______＝∠______ （ ）．
∴ ______∥______（ ）．
15. 如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：AE＝DE.　　/　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】A；
【解析】解：∵AE∥FD，
∴∠A=∠D，
∵AB=CD，
∴AC=BD，
在△AEC和△DFB中，
/，
∴△EAC≌△FDB（SAS），
故选：A．
2. 【答案】D；
【解析】连接AC或BD证全等.
3. 【答案】A；
【解析】通过等量加等量得到∠BCA=∠DCE, 从而由SAS定理判定全等.
4. 【答案】C；
【解析】△DOF≌△COE，△BOF≌△AOE，△DOB≌△COA.
5. 【答案】A；
【解析】将两根钢条，的中点O连在一起，说明OA＝，OB＝，再由对顶角相等可证.
6. 【答案】D；
【解析】△ABC≌△EDC，∠ECD＋∠ACB＝∠CAB＋∠ACB＝90°，所以EC⊥AC，ED ＋AB ＝BC＋CD＝DB.
二.填空题
7. 【答案】66°；
【解析】可由SSS证明△ABC≌△DCB，∠OBC＝∠OCB＝， 所以∠DCB＝
∠ABC＝25°＋41°＝66°
8. 【答案】4；
【解析】△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA.
9. 【答案】AE=CE；
【解析】由题意得，BE=DE，∠AEB=∠CED（对顶角），可选择利用SAS进行全等的判定，答案不唯一．
10.【答案】56°；
【解析】∠CBE＝26°＋30°＝56°.
11.【答案】20°；
【解析】△ABE≌△ACD（SAS）
12.【答案】△DCB，△DAB；
【解析】注意对应顶点写在相应的位置上.
三.解答题
13.【解析】
解：如图所示：在AB下方找一点O，连接BO，并延长使BO=B′O，连接AO，并延长使AO=A′O，
在△AOB和△A′OB′中：
/，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS），
∴AB=A′B′，
量出A′B′的长即可．
/
14. 【解析】
3，4；
ABD，CDB；
已知；
1，2；两直线平行，内错角相等；
ABD，CDB；
AB，CD，已知；
∠1＝∠2，已证；
BD＝DB，公共边；
ABD，CDB，SAS；
3，4，全等三角形对应角相等；
AD，BC，内错角相等，两直线平行.
15.【解析】
证明：在△ABC和△DCB中

∴△ABC≌△DCB（SSS）
∴∠ABC＝∠DCB，
在△ABE和△DCE中

∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴AE＝DE.