人教版八年级上数学教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：13【基础】全等三角形判定二含答案

全等三角形判定二（ASA，AAS）（基础）

【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
【要点梳理】
【 全等三角形判定二，知识点讲解】
要点一、全等三角形判定3——“角边角”
全等三角形判定3——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠/，AB＝/，∠B＝∠/，则△ABC≌△/.
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要点二、全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
/
要点三、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定3——“角边角”
【 全等三角形判定二，例5】
/1、已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．
求证：AE＝CF．
/
【答案与解析】
证明：∵AD∥CB
∴∠A＝∠C
在△ADF与△CBE中
/
∴△ADF≌△CBE （ASA）
∴AF ＝CE ，AF＋EF＝CE＋EF
故得：AE＝CF
【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．
举一反三：
【变式】（2019?青山区模拟）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，AD∥BC，求证：△ADF≌△CBE．
/
【答案】
证明：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE；
∵AD∥BC，
∴∠A=∠C；
在△ADF与△CBE中，
/，
∴△ADF≌△CBE（ASA）．
/
类型二、全等三角形的判定4——“角角边”
/2、（2019?长乐市一模）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．求证：△ACD≌△CBE．
/
【思路点拨】根据垂直的定义可得∠ADC=∠E=90°，然后根据同角的余角相等求出∠B=∠ACD，再利用“角角边”证明△ACD≌△CBE．
【答案与解析】
证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠E=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∵∠B+∠BCE=90°，
∴∠B=∠ACD，
在△BEC和△CDA中，/，
∴△ACD≌△CBE（AAS）．
【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，求出∠B=∠ACD是证明三角形全等的关键．
举一反三：
【变式】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.
求证：BE＝CF.
/
【答案】
证明：∵AD为△ABC的中线
∴BD＝CD∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED和△CFD中
/
∴△BED≌△CFD（AAS）
∴BE＝CF
/3、已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．
（1）求证：AC与BD互相平分；
（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，
求证：OE＝OF.
/
【思路点拨】（1）证△ABO≌△CDO，得AO＝OC，BO＝DO（2）证△AEO≌△CFO或△BEO≌△DFO
【答案与解析】
证明：∵AB∥DC
∴∠Ａ＝∠Ｃ
　　　在△ABO与△CDO中
/
∴△ABO≌△CDO（AAS）
∴AO＝CO ，BO=DO
在△AEO和△CFO中
/
∴△AEO≌△CFO（ASA）
∴OE＝OF.
【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等．利用平行线找角等是本题的关键.
类型三、全等三角形判定的实际应用　
/4、（2019春?通川区校级期末）要测量河两岸相对两点A，B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD=BC，再在过点D的l的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，这时ED的长就是A，B两点间的距离．你知道为什么吗？说说你的理由．
/
【思路点拨】利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=DE，从而得解．
【答案与解析】
解：∵AB⊥l，CD⊥l，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
在△ABC和△EDC中，
/，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=DE，
即ED的长就是A，B两点间的距离．
【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系.
【巩固练习】
一、选择题
1. 能确定△ABC≌△DEF的条件是 （ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E
B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E
C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D
D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
2．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是 （ ）
/
图4－3
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
3．（2019?滕州市校级模拟）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）
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　 A．BD=CD B． AB=AC C．∠B=∠C D． ∠BAD=∠CAD
4．（2019?永州）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）
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A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
5. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是( )
A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.①②③都带去
/
6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（ ）
A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BAC
C．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC
/
二、填空题
7.（2019?黑龙江二模）如图，线段AD与BC相交于点O，连结AB、CD，且∠B=∠D，要使△AOB≌△COD，应添加一个条件是　 　（只填一个即可）
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8. 在△ABC和△中，∠A＝44°，∠B＝67°，∠＝69°，∠＝44°，且AC＝ ，则这两个三角形_________全等.（填“一定”或“不一定”）
9. 已知，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，则EF＝________.
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10. （2019?石景山一模） 如图，AD=AE，请你添加一个条件______________，使得△ADC≌△AEB．
11. 如图, 已知：∠1 ＝∠2 , ∠3 ＝∠4 , 要证BD ＝CD , 需先证△AEB ≌△AEC , 根据是 ，再证△BDE ≌△ ，根据是 ．
/
12. 已知:如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，
（1）若以“ASA”为依据，还缺条件
（2）若以“AAS”为依据，还缺条件
（3）若以“SAS”为依据，还缺条件
/
三、解答题
13．（2019?丰台区一模）已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求证：△ABC≌△DEF．
/
14. 已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求证：AC与BD互相平分.　/　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
15. 已知：如图, AB∥CD, OA ＝ OD, BC过O点, 点E、F在直线AOD上, 且AE ＝ DF.
求证：EB∥CF.
/
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】A、B选项是SSA，没有这种判定，C选项字母不对应.
2. 【答案】B；
【解析】乙可由SAS证明，丙可由ASA证明.
3. 【答案】B；
【解析】解：A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，则△ABD≌△ACD（SAS）；
B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；
C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；
D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BAD=∠CAD，则△ABD≌△ACD（ASA）；
故选：B．
4. 【答案】D；
【解析】解：∵AB=AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．
5. 【答案】C；
【解析】由ASA定理，可以确定△ABC.
6. 【答案】C；
【解析】△ABO与△CDO中，只能找出三对角相等，不能判定全等.
二、填空题
7. 【答案】OB=OD；
【解析】解：添加条件OB=OD，
在△ABO和△CDO中，
/，
∴△AOB≌△COD（ASA），
故答案为：OB=OD．
8. 【答案】一定；
【解析】由题意，△ABC≌△，注意对应角和对应边.
9. 【答案】6；
【解析】△ABF≌△CDE，BE＝CF＝2，EF＝10－2－2＝6.
10.【答案】答案不唯一，或等；
【解析】
/
11.【答案】ASA，CDE，SAS；
【解析】△AEB ≌△AEC后可得BE＝CE.
12.【答案】（1）∠A＝ ∠D；（2）∠ACB＝ ∠F；(3) BC＝EF.
三、解答题
13. 【解析】
证明：∵AB∥DF，
∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，
∵∠E=∠CPD．
∴∠E=∠B，
在△ABC和△DEF中，
/，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
14.【解析】
证明： ∵BF＝DE，
∴BF－EF＝DE－EF，即BE＝DF
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SSS）
∴∠B＝∠D，
在△ABO和△CDO中

∴△ABO≌△CDO（AAS）
∴AO＝OC，BO＝DO，AC与BD互相平分.
15.【解析】
证明：∵AB∥CD,
∴∠CDO＝∠BAO
在△OAB和△ODC中，

∴△OAB≌△ODC（ASA）
∴OC＝OB
又∵AE ＝ DF，
∴AE＋OA＝DF＋OD，即OE＝OF
在△OCF和△OBE中

∴△OCF≌△OBE（SAS）
∴∠F＝∠E，
∴CF∥EB.