钉子板上的多边形
1、教学目标 (?http:?/??/?1s1k.eduyun.cn?/?portal?/?redesign?/?index?/?index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815727ada6015727b4f9ed009f" \l "##?)
（1）使学生在操作、观察、猜测、验证等活动中,发现在钉子板上围出的多边形与它所经过的钉子数,以及多边形内部钉子数的关系,会用含有字母的式子表示发现的规律。
（2）使学生经历画图填表、分析数据、发现探索规律的过程,进一步感受数学抽象的意义,培养比较、分析和简单推理的能力,增强发现问题、提出问题的意识,积累数学活动经验,获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验。
2、学情分析 (?http:?/??/?1s1k.eduyun.cn?/?portal?/?redesign?/?index?/?index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815727ada6015727b4f9ed009f" \l "##?)
学生已经学习过多边形的面积计算,具备一定的操作研究能力。
3、重点难点 (?http:?/??/?1s1k.eduyun.cn?/?portal?/?redesign?/?index?/?index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815727ada6015727b4f9ed009f" \l "##?)
发现、得出多边形的面积与边上钉子数和多边形中间钉子数之间的规律,类比推导出一般规律。
4、教学过程
4.1 第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】谈话引入,激发兴趣 (?http:?/??/?1s1k.eduyun.cn?/?portal?/?redesign?/?index?/?index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815727ada6015727b4f9ed009f" \l "##?)
一、谈话引入,激发兴趣。
同学们见过钉子板吗?你们看,用橡皮筋可以在钉子板上任意围一个多边形。(实物投影)
不过,今天老师没有给你们提供钉子板,有替代品。像这样的格点图就相当于钉子板,利用工具栏里的直线就可以任意围出多边形。谁想来围一个试试?(请生上来操作)
围了个什么形?
同学们,很多年前,奥地利有个叫皮克的数学家就对钉子板上的多边形的面积产生了浓厚的兴趣,并且还从中发现了一个有趣的规律,今天,我们也来一起研究研究,好不好?
研究前要先有感觉,你感觉这个多边形面积的大小跟什么有关?(生:跟钉子数的多少有关)
师:这个感觉其实就是数学猜想,到底有怎样的关系呢?下面得想办法研究。你们打算怎么研究呢?(生:画一些多边形,数出或算出面积是多少,然后再数数钉子数,看看有什么规律。)
师:这个思路不错!那你们还有什么建议吗?(我们在操作中数出或算出的数据怎么表示才便于研究呢?)
生:列表格,在表格上记录。
生:多画一些图,从中找规律。
师:老师给你提供了8个多边形,一下子研究8个有点多,我们先来看第一行的4个。
师:这里的1厘米表示什么意思?(用聚光灯突出)
每行每列相邻两个点之间的距离是1厘米,也可以表示每个小正方形的面积是1平方厘米。
同桌俩人互相说说面积分别是多少。
活动2【讲授】教学例题 (?http:?/??/?1s1k.eduyun.cn?/?portal?/?redesign?/?index?/?index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815727ada6015727b4f9ed009f" \l "##?)
二、教学例1
1.同桌讨论交流填表
?
学生汇报研究结果。
(学生汇报中,若有说错的话教师就使用放大镜功能放大了再数或再算)
师:看着表中的数据,你有什么发现?
生:多边形的面积×2=多边形边上的钉子数
师:还可以反过来说,多边形的面积等于……?
生:多边形的面积=多边形边上的钉子数÷2
师:如果用S表示多边形的面积,n表示多边形边上的钉子数,那么S就等于……?(板书:S=n÷2)
师:我们继续研究,再来看第二排的四个多边形。
生汇报多边形面积和边上钉子数分别是多少。
师:看了这组数据,有同学皱起了眉头,好像有话想说。我来采访一个吧!
(随意找一个学生,“你想说什么?”)
生:这些图形不能用刚才的公式了。
师:这是怎么回事呢?
生:这几个多边形内部的钉子数都是1。(板书:a=1)(解释:用a表示多边形内部的钉子数)
师:那你们认为这个公式能表示所有钉子板上多边形的面积吗?说理由。
你们觉得下面应该研究什么样的多边形?
3.研究多边形内部有2枚钉子数的
师:请同桌两人在笔记本电脑上一人画一个多边形,这两个多边形必须内部有几枚钉子数?(2枚),然后把研究表格填一填,填好后在四人小组内交流一下又有什么发现?(课件:出示钉子图及表格,旁边有“画一画 填一填 想一想 议一议”)
学生操作填表,讨论研究。
师:哪一小组愿意跟大家交流刚刚你们的研究?
生汇报师板书。(得出板书:a=2,S=n÷2+1)
4.研究多边形内部有3枚钉子数的
师:跟刚才不一样了,那如果是a=3会得出什么结论呢?猜猜看?先不说,我们试一试。还像刚才研究a=2的方法,同桌俩人先画图填表,然后四人小组再交流。
生汇报,师板书。(板书:a=3,S=n÷2+2)
师:跟你们刚刚的猜测一样吗?
师:如果a=4,猜猜S会等于什么呢?(板书:a=4,S=n÷2+3)如果a=5呢?如果a=0呢?课后同学们可以再画一画、算一算进行验证。
黑板上,a=0,a=1,a=2……看了这么多道计算公式,你有什么想说的?
(板书:S=n÷2+a-1)
活动3【练习】课外拓展 (?http:?/??/?1s1k.eduyun.cn?/?portal?/?redesign?/?index?/?index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815727ada6015727b4f9ed009f" \l "##?)
1.同学们,回顾我们今天探索和发现规律的过程,你有什么体会吗?(或者说,在研究过程中有哪些要注意的地方?)
2.今天我们研究的这个内容其实就是奥地利数学家皮克发现并证明的一个实用而又有趣的定理。感兴趣的同学可以课后再去继续研究。
(共16张PPT)
奥地利 乔治·皮克
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⑧
②
①
③
④
图形编号 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
①
②
③
④
⑥
⑤
⑦
⑧
②
①
③
④
图形编号 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
①
②
③
④
2
4
3
6
3.5
7
4
8
图形编号 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
①
②
③
④
图形编号 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
⑤
⑥
⑦
⑧
⑥
⑤
⑦
⑧
6
10
4
6
6
8
8
10
图形编号 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
⑤
⑥
⑦
⑧
画一画 填一填 想一想 议一议
图形编号 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚 多边形内部的钉子数/枚
①
②
③
④
画一画 填一填 想一想 议一议
图形编号 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚 多边形内部的钉子数/枚
①
②
③
④
画一画 填一填 想一想 议一议
图形编号 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚 多边形内部的钉子数/枚
①
②
③
④
多边形内部钉子数为2
图形编号 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
①
②
③
④
多边形内部钉子数为3
图形编号 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
①
②
③
④
