华师版数学九年级下册27.4正多边形和圆教学设计
课题
27.4 正多边形和圆
单元
第27章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1.理解并掌握正多边形的外接圆和内切圆.
2.利用尺规作图，作出已知圆的内接多边形.
重点
理解并掌握正多边形的外接圆和内切圆
难点
利用尺规作图，作出已知圆的内接多边形.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
亲爱的同学们，之前我们已经学过正多边形，请同学们回忆一下什么是正多边形？正多边形都是轴对称图形吗？
各条边相等， 各个角也相等的多边形是正多边形，
等边三角形是正三角形，正方形是正四边形 ，
正多边形都是轴对称图形 。
请同学们回忆一下正多边形的概念。
复习旧知识，引入新课，激发学生的学习兴趣。
讲授新课
做一做
分别画出图 27.4.1中各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？
以正五边形为例，如图27.4.2，
我们发现正五边形有五条对称轴，而且这些对称轴都交于一点O。根据轴对称的性质，我们知道这些对称轴是正五边形各边的垂直平分线，因而点O到正五边形各个顶点的距离相等，记为R。
那么以点O为圆心，R为半径的圆就过正五边形的各个顶点，它是该正五边形的外接圆。
另外，这些对称轴也是正五边形各内角的平分线，根据角平分线的性质，点O到各边距离都相等，记为r，那么以点O为圆心，r为半径的圆就与正五边形的各条边都相切，它是正五边形的内切圆。(图27.4.3)
由此我们得到 ,任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆。
这两个圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心 ，外接圆的半径叫做正多边形的半径， 内切圆的半径叫做正多边形的边心距 ，正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角 。
在同一个圆中，等弧对等弦 ，因此AB=BC=CD=DE=EA，
而根据圆周角定理 ，有∠A= ∠B = ∠C = ∠D = ∠E， 因此
五边形ABCDE是正五边形。
这样我们就得到下面圆和正多边形的关系：
把圆分成n（n＞2）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正n边形。
如图27.4.6，圆中满足= = = = 那么弦AB、BC、CD、DE、EA之间又什么关系？ ∠A、∠B、∠C、 ∠D、∠E之间又什么关系？
例：利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形。
解：内接正方形的作法：
（1）用直尺任作圆的一条直径AC；
（2）作与直径AC垂直的直径 BD；
（3）顺次连结所得的圆上四点 ，则四边形 ABCD即为所求作的正方形 ，如图27.4.7
内接正六边形的作法 ：
（1）用直尺任作圆的一条直径 AD；
（2） 以点 A为圆心 、OA 为半径作圆，与⊙O交于点 B、F；
（3）以点 D 为圆心 、OD为半径作圆 ， 与⊙O交于点C、E；
（4） 顺次连结所得的圆上六点 ，则六边形 ABCDEF即为所求作的正六边形，如图 27.4.8。
试一试
如图 27.4.9从圆上某一点开始，依次以圆的半径长为半径作圆， 也可作出圆的内接正六边形 。
想一想 ，为什么这两种方法作出来的图形都
是正六边形？
课堂练习
中考链接
如图，大的半圆的弧长为a，n个小圆的半径相等，且互相外切，其直径和等于大半圆的直径，若n个小半圆的总弧长为b，则a与b之间的关系是（ ）
活动探究,小组讨论. 画出图中各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？
让学生以小组单位进行交流探讨，得出正五边形的外接圆和内切圆.
提高学生的动手、动脑、独立思考、合作交流的能力。
通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理一些新问题.
中考考题、实际生活背景题，放在适当的时候处理。
合作交流探讨，得到对称轴，根据轴对称的性质，我们知道这些对称轴是正五边形各边的垂直平分线.
培养学生的总结能力
通过新课的讲解以及学生的练习，得出正多边形的中心角 。
使学生易于接受，提高思维
加强学生的合作意识，使学生养成大胆猜测和想象的能力，积极参与数学问题的谈论，敢于发表自己的见解。
作业
必做题：
课本P67练习第1题
跟踪练习册
选做题：
课本P67练习第2题
学生独立完成
养成独立完成作业的习惯
课堂小结
可启发学生说出自己的心得体会及疑问.
小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化.
板书
27. 4 正多边形和圆
（1）外接圆
（2）内切圆
（3）尺规作图
课件25张PPT。27.4 正多边形和圆华师版 九年级下 亲爱的同学们，之前我们已经学过正多边形，请同学们回忆一下什么是正多边形？正多边形都是轴对称图形吗？各条边相等， 各个角也相等的多边形是正多边形，
等边三角形是正三角形，正方形是正四边形 ，
正多边形都是轴对称图形 。做一做分别画出图 27.4.1中各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？图 27.4.1以正五边形为例，如图27.4.2，
我们发现正五边形有五条对称轴，而且这些对称轴都交于一点O。根据轴对称的性质，我们知道这些对称轴是正五边形各边的垂直平分线，因而点O到正五边形各个顶点的距离相等，记为R。图 27.4.2OEDCBAFGHIJ图 27.4.3O那么以点O为圆心，R为半径的圆就过正五边形的各个顶点，它是该正五边形的外接圆。
另外，这些对称轴也是正五边形各内角的平分线，根据角平分线的性质，点O到各边距离都相等，记为r，那么以点O为圆心，r为半径的圆就与正五边形的各条边都相切，它是正五边形的内切圆。(图27.4.3)由此我们得到 ,任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆。 这两个圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心 ，外接圆的半径叫做正多边形的半径， 内切圆的半径叫做正多边形的边心距 ，正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角 。在同一个圆中，等弧对等弦 ，因此AB=BC=CD=DE=EA，
而根据圆周角定理 ，有∠A= ∠B = ∠C = ∠D = ∠E， 因此
五边形ABCDE是正五边形。 这样我们就得到下面圆和正多边形的关系：
把圆分成n（n＞2）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正n边形。ABCDE?例：利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形。解：内接正方形的作法：
（1）用直尺任作圆的一条直径AC；
（2）作与直径AC垂直的直径 BD；
（3）顺次连结所得的圆上四点 ，则四边形 ABCD即为所求作的正方形 ，如图27.4.7ABCDO内接正六边形的作法 ：
（1）用直尺任作圆的一条直径 AD；
（2） 以点 A为圆心 、OA 为半径作圆，与⊙O交于点 B、F； ·ADOFB（3）以点 D 为圆心 、OD为半径作圆 ， 与⊙O交于点C、E；
（4） 顺次连结所得的圆上六点 ，则六边形 ABCDEF即为所求作的正六边形，如图 27.4.8。·ABCDEFOO·如图 27.4.9从圆上某一点开始，依次以圆的半径长为半径作圆， 也可作出圆的内接正六边形 。试一试想一想 ，为
什么这两种方法
作出来的图形都
是正六边形？ 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（ ）
A B C D 解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1
又∵∠FAG＝60°
如图，大的半圆的弧长为a，n个小圆的半径相等，且互相外切，其直径和等于大半圆的直径，若n个小半圆的总弧长为b，则a与b之间的关系是（ ）
A B C D
. 驶向胜利的彼岸即 ，故选A。 解：设大半圆的半径为R，小半圆的半径为r
由题意，得： ∴小圆的半径 ∴每个小半圆的弧长为 ∴n个小半圆的总弧长正多边形和圆外接圆内切圆尺规作图 27. 4 正多边形和圆
（1）外接圆
（2）内切圆
（3）尺规作图必做题：
课本P67练习第1题
跟踪练习册
选做题：
课本P67练习第2题
谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
