沪教版六年级数学上册：第4章 圆和扇形的面积 学案（带答案）

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学 科
数学
课题名称
圆和扇形的面积
教学目标
1、熟练掌握圆和扇形的面积公式，并能灵活运用，会求相应图形的面积；
2、会求组合图形的面积。
教学重难点
重难点：组合图形的面积
圆和扇形的面积
一、上节回顾
圆的周长公式：
圆的弧长公式：
二、本节内容
知识点一：圆的面积
圆的面积：圆所占的平面的大小叫做圆的面积。
圆的面积：S=πr2
基础练习：
1、圆的半径扩大到原来的3倍，圆的周长扩大到原来的 倍，圆的面积扩大到原来的 倍。3；9
2、如果大圆的周长是小圆周长的4倍，那么小圆面积是大圆面积的 。116
3、如果一个圆的周长是12.56cm，那么它们面积是 cm2。12.56
4、一个圆的半径从3cm增加到了4cm，面积增加了 cm2。21.98
5、用同样长的三根铁丝分别围成长方形、正方形、圆，其中面积最大的图形是（ ）C
A．长方形 B．正方形 C．圆 D．由于不知道铁丝的长度而无法确定
6、一张圆形铁片的直径是18厘米，这张铁片的面积是多少平方厘米?
经典例题
例1、两圆半径之差为3cm，周长之和为157cm2，两圆面积分别是多少？379.94 cm2；615.44 cm2
变式：两个圆的周长差是94.2cm，已知大圆的半径是小圆直径的2倍，求这两个圆的面积和。1334.5 cm2[来源:学§科§网]
例2、将一个直径是12厘米的圆等分成64份，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是多少厘米？面积是多少平分厘米？18.84厘米；113.04平方厘米
例3、在一个长8米、宽6米的长方形花坛中，建了一个最大的圆形花坛，圆形花坛内种牡丹花，圆形花坛外种茉莉花，问两种花种植面积各是多少平方米？牡丹花28.26平方米，茉莉花19.74平方米
例4（期末25）一张CD光盘的外直径长是12厘米，内直径长是2厘米，求该光盘的面积（取3.14）.

变式练习：两同心圆的圆心为O，大圆半径为3，小圆半径为1，大圆的直径与小圆相交于B、C两点，分别以B、C为圆心，以2为半径作圆（如图所示），求阴影部分面积。4π
．
知识点二：扇形的面积
扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形。
扇形面积：S扇= n360πr2=12lr（r是半径，n是圆心角，l是弧长）
探讨：
1、某扇形的半径不变，圆心角缩小到原来的1/2，则该圆心角所对的弧长缩小为原来的______，
它的面积缩小到原来的_____；
2、扇形的圆心角不变，半径缩小到原来的1/3，则该圆心角所对的弧长缩小为原来的_____，
它的面积缩小到原来的________；
3、扇形的圆心角扩大一倍，，半径扩大到原来的4倍，则该圆心角所对的弧长扩大为原来的_____，
它的面积扩大到原来的________；
总结：扇形的弧长和面积的大小是由圆心角的大小和半径的大小来决定的：
（1）当半径不变时，圆心角扩大为原来的m倍，则该圆心角所对的弧长扩大为原来的 m倍 ，该扇形面积扩大为原来的 m倍 ；
（2）当圆心角不变时，半径扩大为原来的n倍，则该圆心角所对的弧长扩大为原来的 n倍 ，该扇形面积扩大为原来的 n2倍 .
基础练习：
（1）扇形的半径是2厘米，圆心角是60度，那么这个扇形的面积是 。
（2）扇形的直径是6厘米，圆心角是90度，那么这个扇形的面积是 。
（3）扇形的半径是2厘米，弧长是3.14厘米，那么这个扇形的面积是 。
（4）扇形的直径是6厘米，弧长是6.28厘米，那么这个扇形的面积是 。
（5）扇形的面积是25.12平方厘米，半径是3厘米，那么这个扇形的圆心角是 。
（6）扇形的面积是31.4平方厘米，半径是10厘米，那么这个扇形的弧长是 。
（7）扇形的面积是75.36平方厘米，圆心角是60度，那么这个扇形的半径是 。
（8）弧长为2π，面积为4π的扇形的半径为 ，圆心角为 ；
(9) 若一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍，且它们的面积相等，则这个扇形的圆心角为 度。
(10) 圆的两条半径把圆分成两个扇形，它们的面积比为7：2，则较大的扇形的圆心角为 。
经典例题：
例1（期末）（1）一个扇形面积等于这个扇形所在圆面积的25，则这个扇形的圆心角是 度．144
（2）一条弧所对的圆心角是72°，则这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为 。1:5
（3）将一个圆心角为240°的扇形纸片对折三次所得小扇形的面积是3π平方厘米，则这个扇形纸片的半径是
厘米．6
（4）如图是一个扇形统计图，那么以下从图中可以得出的正确结论的个数是（ ）
① A占总体的25%；
② 表示B的扇形的圆心角是18°；
③ C和D所占总体的百分比相等；
④ 分别表示A、B、C的扇形的圆心角的度数之比为5∶1∶7．
（A）1个； （B）2个； （C）3个； （D）4个．
例2（期末27）已知一个扇形的圆心角为．
（1）若这个扇形的弧长为18.84厘米，求这个扇形所在的圆的半径；
（2）若这个扇形所在的圆的半径是4厘米，求这个扇形的周长．
27.解（1）， ……………………1分
所以…………1分 厘米………………1分
（2），
这个扇形的弧长厘米………………1分
所以这个扇形的周长厘米.…………2分
例3（1期末29）如图所示，四边形是长方形，长厘米，宽厘米，扇形、扇形、扇形．求图中阴影部分的面积．
29.解：由题意可得：，，……1分
…………1分
…………1分
……2分
所以图中阴影部分的面积……1分
平方厘米.…………………1分
例4、如图，三个圆的半径均是3cm，求阴影部分的面积。21.195cm2
例5、（25）某中学为提升学生的课外阅读能力，拓展学生的知识面，决
心打造“书香校园”，计划给每个班级组建一个图书角．下图是一
个图书角的书目配备情况，其中科技类书籍为30本，看图回答下
列问题：
(1) 这个图书角共有书籍_____________本；
(2) 艺术类书籍有_________________本；
(3) 其它类书籍所在扇形的圆心角的大小是___________°；
(4) 科技类书籍比艺术类书籍多________（填百分数）．
25． （1） 120；（2） 24；（3） 54；（4） 25％.
知识点三：组合图形的面积计算[来源:学.科.网][来源:学&科&网]
圆的周长公式： 。
扇形弧长公式： 。
扇形的周长公式： 。
圆的面积公式： 。
扇形的面积公式： 。
环形面积的计算公式： 。
在求有关圆的面积问题中有很多方法可以使计算过程简单。
常见方法：加减法、割补法、旋转法、平移法、对折法、等积变形法、添辅助线法……
例1（加减法）求右面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。[来源:学*科*网]
变式练习
1、在一个半径是4.5厘米的圆中挖去两个直径都是2厘米的圆.剩下的图形的面积是 平方厘米.
(取3.14,结果精确到1平方厘米)
2、如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为6，小正方形边长为4，那么阴影部分面积是多少？（π取3）

[来源:学*科*网]
例2（割补法）求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
[来源:学科网ZXXK]
变式练习
1.求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
2、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。答

例3（旋转、对折法）求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
变式练习：
1、右图是一个等腰直角三角形，直角边长2 厘米．图中阴影部分面积是多少平方厘米？（π取3）
2、求右图中阴影部分的面积．（取3）
例4、在边长为20米的正方形草地的对角顶点各拴了一只羊。拴羊的绳子长20米，两只羊都能吃到的草的面积是多少平方米？[来源:学科网]
变式练习
1、羊拴在长方形建筑物一角，绳长18m，如图所示，求从A点出发将绳子拉紧顺时针跑，这只羊将跑多少米？
强化训练：（选自历年各区期末）
1（15）如下图，由直径分别为4厘米、6厘米和10厘米的三个半圆所组成的图形，则图中阴影部分的面积为
平方厘米.
2（17）如下图，点P在圆O的圆周上顺时针匀速运动，现将圆O八等分，如果点P从A点开始经过1分钟，其位置正好第一次在B点，那么点P从A点开始经过45分钟，其位置在 点．（用图中的字母表示）F
3（18）如下图（甲）、（乙），是两个边长相等的正方形，甲图以边为半径在正方形内画圆弧，联结对角线；乙图以各边为直径在正方形内画半圆，阴影部分的面积分别记为、，那么和的大小关系是： ．（填“＞”、“＝”或“＜”）=
4（25）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AB = AC = 6 cm，∠C = 45°，求阴影部分的面积．
5（25）已知，在直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，AC = 8，BC = 6，AB = 10，以AB边为直径作半圆，把4个相同的直角三角形通过一定的图形运动拼成四叶草的形状（如图所示），求阴影部分的面积．
25．解：根据题意及图形，得 S阴影 …（3分）
…（2分）
= 61． …………（1分）
答：图中阴影部分的面积为61．……………（1分）
6（31）已知：如图，将一个直径AB等于12厘米的半圆绕着点A逆时针旋转60°后，点B落到了点C的位置，半圆扫过部分的图形如阴影部分所示．
求：（1）阴影部分的周长；
（2）阴影部分的面积．
31．解：（1）C周长=2C半圆弧+C弧长 …………………（1分）
=……………………………（2分）
=．………………（1分）
（2）S阴影=S半圆+S扇形- S半圆= S扇形…………（1分）
=…………………………………………（2分）
=．…………………………………（1分）
答：阴影部分的周长为50.24厘米，阴影部分的面积为75.36平方厘米．
7（27）如图，△ABC是直角三角形，其中∠ACB=90°，AB=13，BC=12， AC =5，把△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到△AB1C1，此时∠BAB1=∠CAC1=90°，求线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的周长和面积（结果保留 ）.
27．解：R=AB=AB1=13， BC=B1C1=12，
=AC=AC1=5， =90 ．
阴影=1+2+BC+B1C1 ………………………………（1分）
=++2BC
=++2×12……（2分）=+24 …（1分）
=+－－……………（1分）
= －= －
= －……（2分）=……（1分）
答：阴影部分的周长是+24；阴影部分的面积是.
8（26）如图，一只狗被一根12米长的绳子拴在一建筑物的墙角上，这个建筑的平面图是边长为10米的正方形，狗不能进入建筑物内活动．求狗所能活动到的地面部分的面积．
（精确到1平方米）
26．解：根据题意及图形，得 S狗活动的区域 …（3分）
…………………（1分）
……………………………（1分）
（平方米）． ……………………（2分）
答：狗所能活动到的地面部分的面积为345平方米．…………………（1分）
三、课堂练习（选自期末）
1（5）小圆直径与大圆直径分别是3厘米和4厘米，那么小圆面积与大圆面积之比是（ ）C
（A）3∶4； （B）4∶3； （C）9∶16； （D）16∶9．
2（）6下列说法正确的是（ ）D
（A）百分数都小于1；
（B）圆的周长是这个圆的半径的3.14倍；
（C）在含糖7%的糖水中，糖和水的比是7:100；
（D）如果两个扇形的圆心角相相等，那么半径越长所对的弧长也越长．
3（4）如果一个扇形的半径扩大到原来的2倍，弧长缩小到原来的一半，那么这个扇形的面积与原扇形的面积之比为（ ）B
（A）1∶2； （B）1∶1； （C）2∶1； （D）4∶1．
4（5）小丽用圆规画了一个半径为2cm的圆，小杰用12.56cm的线围成一个圆，下列说法正确的是（ ）A
（A）两个圆一样大； （B）小杰围的圆大；
（C）小丽画的圆大； （D）无法确定两个圆的大小．
5（6）如图，大圆的半径是小圆的直径，则小圆面积占大圆面积的（ ）C
（A）； （B）； （C）； （D）.
6（16）已知扇形的半径是3厘米，弧长是6.28厘米，那么这个扇形的面积是 平方厘米．9.42
7（15）如果一个半径为2cm的圆的面积恰好与一个半径为4cm的扇形面积相等，那么这个扇形的圆心角度数为 ．90
8（16）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．那么半径为2的“等边扇形”的面积为 ．2
9（17）小丽家钟的分针长为5cm，时针的长度是分针长度的，从下午1点到下午5点，时针针尖走过 cm．8.37
10（18）如图，一个边长是1厘米的等边三角形ABC，将它沿直线l作顺时针方向的翻动，到达图中最右边三角形的位置，那么顶点B所经过的路程是 厘米．6.28
11（17） 一弧所对的圆心角是72°，它所在的圆的直径是10厘米，则弧长是 厘米. 6.28
12（18） 如图，阴影部分是扇形与圆重叠的部分，阴影部分的面积是圆面积的20%，
是扇形面积的.则扇形面积是圆面积的 %.32
28 13（28）如图，从公园门口A到公园里的儿童乐园B有两条路可以走, 小明沿着路线a1(以AB为直径的半圆弧)前往，小华沿着路线a2(分别以AC、CB为直径的两个半圆弧) 前往，如果两人的速度相同，问：是小明先到B点，还是小华先到B点？或者是他们同时到达B点？为什么？
14（29）如图，长方形ABCD的长AD=8cm，宽AB=6cm.求阴影部分的周长和面积. （结果保留）
29．解：．…………（2分）
=8+10 ………（1分）
=39.4（cm）.
．……………（3分）
=26-48. ………………（1分）
=81.64（cm2）.
答：阴影部分的周长为（8+10）cm，面积为（26-48）cm2.…………（1分）
15、有甲、乙两个扇形，甲扇形的圆心角为60°，甲扇形的面积为100平分厘米，求：
（1）甲扇形所在圆的面积；600平分厘米
（2）如甲、乙扇形的半径相等，乙扇形的圆心角比甲扇形的圆心角大50%，求乙扇形的面积；150平分厘米
（3）如果乙扇形的半径是甲扇形半径的23且两个扇形的面积相等，求乙扇形的圆心角。135°
16（30）如图，长方形ABCD的长AB=14cm，宽BC=10cm. 如图（1），一个半径为1cm的圆沿着长方形的四边内侧滚动一周，求圆滚过的面积；如图（2），E、F分别为AB、CD上的点，且一个半径为1cm的圆在长方形外侧连续地从E经过点B、C滚动到点F，求圆滚过的面积.（结果保留）
30．解：=76+=79.14cm2.
由AB=CD=14cm,,可得EB=12cm,FC=4cm.

=52+3=59.42cm2.
答：沿内侧滚动一周的面积为（76+）平方厘米，沿外侧从点E滚到点F的面积为（52+3）平方厘米．
四、课堂总结
五、课后作业
1、单元测试卷
2、整理本节课上的错题；
3、周内复习本节课的内容，尤其是错题。