【北师大版九年级数学（下）单元测试卷】
第三章：圆
一.选择题：（每小题3分共36分）
1．（2019·浙江初三期中）已知圆的半径为r，圆外的点P到圆心的距离为d，则( )
A．d＞r B．d＝r C．d＜r D．d≤r
2．（2019·天津初三期中）已知的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（ ）
A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.不能确定
3．（2019·湖南初三月考）如图，为的弦，过点作的垂线，交于点，交于点D，已知，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·江苏初三月考）如图，是圆的直径，于，，，则为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3.5
5．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为4分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为6分米，圆柱形油槽直径MN为（ ）
A．分米 B．8分米 C．分米 D．10分米
6．有以下4个命题：①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角也相等；②等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④长度相等的弧是等弧．其中正确的命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2017·安徽初三课时练习）下列说法中,正确的是( )
A．两个半圆是等弧 B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C．长度相等的弧是等弧 D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧
8．（2019·河北初三期中）如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PO的延长线交⊙O于点B，若∠B＝32°，则∠P的度数为（ ）
A．24o B．26o C．28o D．32o
（2019·南京市初三期中）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是：（ ）
A．14 B．12 C．9 D．7
10．（2019·山东中考模拟）正三角形的高、外接圆半径、内切圆半径之比为( )
A．3：2：1 B．4：3：2 C．4：2：1 D．6：4：3
（2019·无锡市初三）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝110°，则∠BCD的度数为（ ）
A．55° B．70° C．110° D．125°
（2019·南通市）如图，是的直径，、为上的点，为圆外一点，、均与圆相切，设，，则与满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
二、填空题
13．圆内接正八边形的一条边所对的圆心角为__________度.
14．如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于______.
15．（2019·天津初三期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝90°，AD＝3，CD＝2，则S△OCD的值为_____．
16．（2019·山东初三期中）如图，中，，点在上，，连接，以为直径作，分别与，交于点，，点为的中点，连接，过点作的切线，交于点，则的长为____________.
三、解答题
17．（2019·浙江初三期中）已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点D，BC于点E，连接ED．求证：ED＝EC．
18．（2019·广东初三期中）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的面积．（结果保留π）
19．（2019·北京市初三期中）如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D．
（1）已知∠A＝α，求∠D的大小（用含α的式子表示）；
（2）取BE的中点M，连接MF，请补全图形；若∠A＝30°，MF＝，求⊙O的半径．
20．（2019·江苏初三期中）如图，是⊙的直径，、是圆周上的点，，弦交 于点.(1)求证：；
(2)若，求的度数.
21．（2019·江苏初三期中）如图，中，，以为直径作⊙，分别交，于点，.(1)求证:;
(2)若，求的度数;
(3)过点作⊙的切线，交的延长线于点，当时，求图中阴影部分的面积.
22．（2019·台州初三期中）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）若BC＝4，求DE的长．
23．（2019·北京市初三期中）如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径及MN的长．
【北师大版九年级数学（下）单元测试卷】
第三章：圆
一.选择题：（每小题3分共36分）
1．（2019·浙江初三期中）已知圆的半径为r，圆外的点P到圆心的距离为d，则( )
A．d＞r B．d＝r C．d＜r D．d≤r
【答案】A
解：∵点P在圆外，
∴点P到圆心的距离：d＞r；
故选择：A.
2．（2019·天津初三期中）已知的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（ ）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
【答案】C
解：∵点到圆心的距离＞半径，即OP＞r，
∴点P在圆外．
故选：C．
3．（2019·湖南初三月考）如图，为的弦，过点作的垂线，交于点，交于点D，已知，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：连接，
，
，
设的半径为，
，
，
，
，
故选：．
4．（2019·江苏初三月考）如图，是圆的直径，于，，，则为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3.5
【答案】B
解：连接OC，
∵直径AB=10， ∴OC=5， ∵CD⊥AB，AB为直径， ∴CD=2CE=8，∠OEC=90°， ∴CE=4， 由勾股定理得：OE==3． 故选：B．
5．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为4分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为6分米，圆柱形油槽直径MN为（ ）
A．分米 B．8分米 C．分米 D．10分米
【答案】C
解：如图，依题意得AB=4分米，CD=6分米，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，
由垂径定理，得AE=AB=2分米，CF=CD=3分米，设OE=x分米，则OF=（x-1）分米，
在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，
在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，
∵OA=OC，
∴22+x2=32+（x-1）2，
解得x=3，
∴半径OA=（分米），
∴直径MN=2OA=分米．
故选C.
6．有以下4个命题：①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角也相等；②等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④长度相等的弧是等弧．其中正确的命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
解①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故原命题错误，不符合题意；
②等弧所对的圆周角相等，正确，符合题意；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分所对的弧，故原命题错误，不符合题意；
④长度相等的弧是等弧，因为长度相等的弧不一定能完全重合，故错误，不符合题意，
正确的命题有1个，
故选：D．
7．（2017·安徽初三课时练习）下列说法中,正确的是( )
A．两个半圆是等弧
B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C．长度相等的弧是等弧
D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧
【答案】B
解A.两个半圆的半径不一定相等，故错误；
B.同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，正确；
C.长度相等的弧是等弧，错误；
D.同圆中优弧与劣弧的差比一定是优弧，故错误，
故选：B.
8．（2019·河北初三期中）如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PO的延长线交⊙O于点B，若∠B＝32°，则∠P的度数为（ ）
A．24o B．26o C．28o D．32o
【答案】B
解：连接OA，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO＝90°，
∵∠B＝32°，
∴∠BAO＝32°，
∴∠BAP＝∠BAO＋∠PAO＝32°＋90°＝122°，
∴∠P＝180°－∠B－∠BAP＝180°－32°－122°＝26°，
故选：B．
9．（2019·南京市初三期中）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是
A．14 B．12 C．9 D．7
【答案】D
解∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，
∴可以假设切点分别为E、H、G、F，
∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，
∴AD＋BC＝AF＋DF＋BH＋CH＝AE＋BE＋DG＋CG＝AB＋CD，
∵AD＝2，BC＝5，
∴AB＋CD＝AD＋BC＝7，
故选D.
10．（2019·山东中考模拟）正三角形的高、外接圆半径、内切圆半径之比为( )
A．3：2：1 B．4：3：2 C．4：2：1 D．6：4：3
【答案】A
解：连接OB，AO，延长AO交BC于D，如图所示：
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴AD⊥BC，∠OBC＝12∠ABC＝12×60°＝30°，
∴OD＝12OB，OD为△ABC内切圆半径，
∵OB＝OA，
∴OD＝12OA，
∴OD＝13AD，
∴正三角形的高、外接圆半径、内切圆半径之比＝AD：OB：OD═3：2：1；
故选：A．
11．（2019·无锡市初三）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝110°，则∠BCD的度数为（ ）
A．55° B．70° C．110° D．125°
【答案】D
解由圆周角定理得,∠A=∠BOD=55°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD=180°?∠A=125°，
故选：C.
12．（2019·南通市）如图，是的直径，、为上的点，为圆外一点，、均与圆相切，设，，则与满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
解连结OC，OD，
∵PC、PD均与圆相切，
∴∠PCO=90°，∠PDO=90°，
∵∠PCO+∠COD+∠ODP+∠CPD=360°，
∴∠CPD+∠COD=180°，
∵OB=OC，OD=OA，
∴∠BOC=180°-2∠B，∠AOD=180°-2∠A，
∴∠COD+∠BOC+∠AOD=180°，
∴180°-∠CPD+180°-2∠B+180°-2∠A=180°．
∴．
故选B．
二、填空题：（每小题3分共12分）
13．圆内接正八边形的一条边所对的圆心角为__________度.
【答案】45
解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°．
故答案为：45．
14．如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于______.
【答案】56°
解∵∠ABD与∠ACD是所对的圆周角，
∴∠ABD=∠ACD=34°，
∵是的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠ABD=56°，
故答案为：56°.
15．（2019·天津初三期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝90°，AD＝3，CD＝2，则S△OCD的值为_____．
【答案】
解：
连接OA，
∵∠B＝90°，
∴AC为⊙O的直径，即点A、O、C在同一条直线上，
∴∠ADC＝90°，
∴，
∵点O为AC的中点，
∴，
故答案为：．
16．（2019·山东初三期中）如图，中，，点在上，，连接，以为直径作，分别与，交于点，，点为的中点，连接，过点作的切线，交于点，则的长为____________.
【答案】
解如图，连接OF
∵点F是BC中点，
∴CF=BF=BC=4，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=90°，
∴CD=BD=5，
∴DF==3，∠OCF=∠B，
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC
∴∠OFC=∠B，
∵点F是BC中点，点O是CD中点，
∴OF∥AB，
∴∠OFD=∠GDF，
∵FG是⊙O的切线，
∴∠OFG=90°，
∴∠OFD+∠DFG=90°，
∴∠FDG+∠GDF=90°，
∴∠FDG=90°
∴FG⊥AB，
∴S△BDF=DF×BF=BD×FG，
∴FG=，
故答案为．
三、解答题
17．（2019·浙江初三期中）已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点 D，BC于点E，连接ED．求证：ED＝EC．
【答案】见解析
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠CDE=∠B，
∴∠CDE=∠C，
∴CE=DE.
18．（2019·广东初三期中）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的面积．（结果保留π）
【答案】（1）见解析；（2）169π（cm2）．
解：（1）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴＝．
∴∠BAC＝∠BCD．
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO．
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝CD＝×24＝12（cm）．
在Rt△COE中，设CO为r，则OE＝r﹣8，
根据勾股定理得：122+（r﹣8）2＝r2
解得r＝13．
∴S⊙O ＝π×132＝169π（cm2）．
19．（2019·北京市初三期中）如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D．
（1）已知∠A＝α，求∠D的大小（用含α的式子表示）；
（2）取BE的中点M，连接MF，请补全图形；若∠A＝30°，MF＝，求⊙O的半径．
【答案】（1）∠D＝90°﹣2α；（2）⊙O的半径为2．
解：（1）连接OE，OF，如图，
∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴∠DOF＝∠DOE．
∵∠DOE＝2∠A，∠A＝α，
∴∠DOF＝2α，
∵FD为⊙O的切线，
∴OF⊥FD．
∴∠OFD＝90°．
∴∠D+∠DOF＝90°，
∴∠D＝90°﹣2α；
（2）连接OM，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴O为AB中点，∠AEB＝90°．
∵M为BE的中点，
∴OM∥AE，
∵∠A＝30°，
∴∠MOB＝∠A＝30°．
∵∠DOF＝2∠A＝60°，
∴∠MOF＝90°，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OMB中，BM＝OB＝r，
OM＝BM＝r，
在Rt△OMF中，OM2+OF2＝MF2．
即（r）2+r2＝（）2，解得r＝2，
即⊙O的半径为2．
20．（2019·江苏初三期中）如图，是⊙的直径，、是圆周上的点，，弦交 于点.
(1)求证：；
(2)若，求的度数.
【答案】（1）详见解析；（2）36°
解（1）证明：连接OP.
∵，
∴PA=PC，
在中，
∴（SSS），
∴；
（2）解：设°，则°，
∵OD=DC，
∴°，
∵OP=OC，
∴°，
在中，°，
∴x+x+3x=180°，
解得x=36°，
∴=36°.
21．（2019·江苏初三期中）如图，中，，以为直径作⊙，分别交，于点，.
(1)求证:;
(2)若，求的度数;
(3)过点作⊙的切线，交的延长线于点，当时，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）详见解析；（2）115°；（3）4-π.
解(1)如图，连接AE，
∵AB是O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE；
(2)由(1)知,∠BAE=∠BAC=25°，
∴∠ABE=90°?∠BAE=65°，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠ADE=180°?∠ABE=115°；
(3)连接OE，
∵EF且O于E，
∴OE⊥EF，
∵AO=EF=OE=，
∴∠BOE=45°，
∴=.
22．（2019·台州初三期中）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）若BC＝4，求DE的长．
【答案】(1)见解析;(2).
解（1）证明：连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∴∠ODB＝∠A，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠DEA＝90°，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：连接CD，
∵BC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠A＝30°，
又∵AC＝BC＝4，
∴AD＝AC?cos30°＝4×＝2，
∴DE＝AD＝．
23．（2019·北京市初三期中）如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径及MN的长．
【答案】(1)见解析;(2)4.8cm,MN＝9.6cm．
解（1）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠DCB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠DCB）＝×180°＝90°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣90°＝90°.
∵MN∥OB，
∴∠NMC＝∠BOC＝90°，
即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：连接OF，则OF⊥BC，
由（1）知，△BOC是直角三角形，
∴BC＝＝＝10，
∵S△BOC＝?OB?OC＝?BC?OF，
∴6×8＝10×OF，
∴OF＝4.8cm，
∴⊙O的半径为4.8cm，
由（1）知，∠NCM＝∠BCO，∠NMC＝∠BOC＝90°，
∴△NMC∽△BOC，
∴，即＝，
∴MN＝9.6（cm）．
