人教版八年级上数学教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：21轴对称含答案
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上数学教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：21轴对称含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 284.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-03 07:51:32 | ||
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文档简介
轴对称
【学习目标】
1．理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形．
2．理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．
3．理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线．
4．能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题．
【要点梳理】
【 轴对称 知识要点】
要点一、轴对称图形 轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
要点诠释： 轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定. 要点二、轴对称 1.轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点 要点诠释： 轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
要点三、轴对称与轴对称图形的性质
轴对称、轴对称图形的性质 轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
要点四、线段的垂直平分线
定义：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质：
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
【典型例题】
类型一、判断轴对称图形
/1、（2019?邵阳）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【思路点拨】我们将图中的图形分别沿着某条直线对折，看看图形的两边能否重合，若重合则是轴对称图形，否则就不是.
【答案】D；
【解析】轴对称图形即能找到对称轴，使对称轴两边的图形重合.
【总结升华】找对称轴要注意从不同的角度去观察，做到不重复、不遗漏.
举一反三：
【变式】（2019春?太谷县校级期末）将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】C.
【 轴对称 例2】
/2、将一个正方形纸片依次按图/的方式对折，然后沿图/中的虚线裁剪，成图/样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图中的 （ ）
/
/
【答案】D；
【解析】/
【总结升华】只需要根据对称轴补全图形就能找到答案.
举一反三：
【变式】将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（ ）
/
【答案】A；
类型二、轴对称或轴对称图形的应用
【 轴对称 例3】
/3、如图，将矩形纸片ABCD （图①）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E （如图②）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F （如图③）； （3）将纸片收展平，那么∠AEF的度数为（ ）
/
A．60° B．67.5° C．72° D．75°
【答案】B；
【解析】∠AEF＝（180°－45°）÷2＝67.5°.
【总结升华】折叠所形成的图形是轴对称图形，对应角相等.
举一反三：
【变式1】如图，△ABC中，AB＝BC，△ABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的/处，若点D为AB边的中点，∠A＝70°，求∠BD/的度数．
/
【答案】100°；
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝70°，∠B＝40°
又∵ΔABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的/处，点D为AB边的中点，
∴BD＝D/，∠B＝∠D/B＝40°，
∴∠BD/＝180°－40°－40°＝100°.
【变式2】将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形. 若/＝56°,则∠AED的大小是_______.
/
【答案】62°；
类型三、线段的垂直平分线的应用
/4、（2019?上城区校级模拟）数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．）
/
【思路点拨】先画角的平分线，再画出线段AB的垂直平分线，两线的交点就是P．
【答案与解析】
解：
/
【总结升华】本题考查了角的平分线、线段垂直平分线的性质．
【巩固练习】
一.选择题
1．（2019?漳州）下列图案属于轴对称图形的是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
2．如图，ΔABC与Δ/关于直线/对称，则∠B的度数为 （ ）
/
A．30° B．50° C．90° D．100°
3. 下列说法中错误的是( )
A.两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴
B.关于某直线对称的两个图形全等
C.面积相等的两个三角形对称
D.轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后重合
4.（2019春?高密市校级月考）已知，如图，点P关于OA、OB的对称点分别是P1，P2，线段P1P2分别交OA、OB于D、C，P1P2=6cm，则△PCD的周长为（ ）
/
A.3cm B.6cm C.12cm D.无法确定
5. 如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A.在AC，BC两边高线的交点处 B.在AC，BC两边中线的交点处
C.在AC，BC两边垂直平分线的交点处 D.在∠A，∠B两内角平分线的交点处
/
6．如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（ ）．
A．25° B．27° C．30° D．45°
/
二.填空题
7． ΔABC中，若AB－AC＝2/，BC的垂直平分线交AB于D点，且ΔACD的周长为14/，则AB＝_____，AC＝_____.
8．如图，ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．
（1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；
（2）若AB＝5/，BC＝3/，则ΔPBC的周长＝_____cm．
/
9.（2019秋?淮北期末）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1等于 ．
/
10.如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=______°.
/
11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E． 若∠CBD : ∠DBA ＝3:1，则∠A的度数为________．
/
12．（2019?丰台区二模）如图，在棋盘中建立直角坐标系xOy，三颗棋子A，O，B的位置分别是（﹣1，1），（0，0）和（1，0）．如果在其他格点位置添加一颗棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请写出所有满足条件的棋子C的位置的坐标： .
/
三.解答题
13. 如图所示，一个算式在镜中所成的像构成的算式是正确的，但是在实际中是正确的吗?实际中这个算式是什么?
/
14. 如图所示，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，求证：BE＝CF．
/
15．（2019?黄岛区校级模拟）某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．
/
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】A；
【解析】根据轴对称图形的定义判断.
2. 【答案】D；
【解析】成轴对称的两个图形对应线段、对应角相等.
3. 【答案】C；
【解析】面积相等不一定全等，也不一定对称.
4. 【答案】B；
【解析】解：∵点P关于OA、OB的对称点分别是P1，P2，
∴PD=P1D，PC=P2C；
∵P1P2=6（cm），
∴P1D+DC+P2C=6（cm），
∴PD+DC+PC=6（cm），
即△PCD的周长为6cm．
故选：B．
5. 【答案】C；
【解析】三角形垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等.
6. 【答案】B；
【解析】AC，BD互为对方的中垂线，∠ABD＝∠CBD＝∠E＝54°÷2＝27°.
二.填空题
7. 【答案】8cm, 6cm；
【解析】由题意，BD＝CD，AB－AC＝2，AB＋AC＝14，解得AB＝8；AC＝6.
8. 【答案】70, 8；
【解析】由垂直平分线的性质，AP＝BP，∠A＝∠ABP＝35°，∠BPA＝110°，
∠BPC＝70°.ΔPBC的周长＝BP＋PC＋BC＝ AP＋PC＋BC＝5＋3＝8/.
9. 【答案】60°；
【解析】解：∵由题意可得：∠2+∠3=90°，∠3=30°，
∴∠2=60°，
∵∠1=∠2，
∴∠1=60°．
故答案为：60°．
10．【答案】70；
【解析】∵CD与BE互相垂直平分，∴DB=DE，∵∠BDE=70°，∴∠BDC=35°，∠ABD=55°，∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°-55°=35°，根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．
11.【答案】18°；
【解析】∠A＝∠ABD＝/，∠CBD＝3/，5/＝90°，/＝18°.
12.【答案】（﹣1，2），（2，1），（﹣1，﹣1），（0．﹣1）；
【解析】如图所示，C点的位置为（﹣1，2），（2，1），A，O，B，C四颗棋子组成等腰梯形，直线l为该图形的对称轴，C点的位置为（﹣1，﹣1），x轴是对称轴，C点的位置为（0．﹣1），故答案为：（﹣1，2），（2，1），（﹣1，﹣1），（0．﹣1）．
/
三.解答题
13.【解析】
在实际中的算式是：151＋25＋12＝188；结果也是正确的.
14.【解析】
证明：连接BD、CD， ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF（角平分线上的点到角的两边距离相等）． ∵MD是BC的垂直平分线， ∴DB＝DC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）． ∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）． ∴BE＝CF（全等三角形对应边相等）．
15.【解析】
解：如图，①连接AB，AC，
②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相较于点P，
则P即为售票中心．
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【学习目标】
1．理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形．
2．理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．
3．理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线．
4．能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题．
【要点梳理】
【 轴对称 知识要点】
要点一、轴对称图形 轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
要点诠释： 轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定. 要点二、轴对称 1.轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点 要点诠释： 轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
要点三、轴对称与轴对称图形的性质
轴对称、轴对称图形的性质 轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
要点四、线段的垂直平分线
定义：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质：
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
【典型例题】
类型一、判断轴对称图形
/1、（2019?邵阳）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【思路点拨】我们将图中的图形分别沿着某条直线对折，看看图形的两边能否重合，若重合则是轴对称图形，否则就不是.
【答案】D；
【解析】轴对称图形即能找到对称轴，使对称轴两边的图形重合.
【总结升华】找对称轴要注意从不同的角度去观察，做到不重复、不遗漏.
举一反三：
【变式】（2019春?太谷县校级期末）将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】C.
【 轴对称 例2】
/2、将一个正方形纸片依次按图/的方式对折，然后沿图/中的虚线裁剪，成图/样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图中的 （ ）
/
/
【答案】D；
【解析】/
【总结升华】只需要根据对称轴补全图形就能找到答案.
举一反三：
【变式】将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（ ）
/
【答案】A；
类型二、轴对称或轴对称图形的应用
【 轴对称 例3】
/3、如图，将矩形纸片ABCD （图①）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E （如图②）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F （如图③）； （3）将纸片收展平，那么∠AEF的度数为（ ）
/
A．60° B．67.5° C．72° D．75°
【答案】B；
【解析】∠AEF＝（180°－45°）÷2＝67.5°.
【总结升华】折叠所形成的图形是轴对称图形，对应角相等.
举一反三：
【变式1】如图，△ABC中，AB＝BC，△ABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的/处，若点D为AB边的中点，∠A＝70°，求∠BD/的度数．
/
【答案】100°；
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝70°，∠B＝40°
又∵ΔABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的/处，点D为AB边的中点，
∴BD＝D/，∠B＝∠D/B＝40°，
∴∠BD/＝180°－40°－40°＝100°.
【变式2】将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形. 若/＝56°,则∠AED的大小是_______.
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【答案】62°；
类型三、线段的垂直平分线的应用
/4、（2019?上城区校级模拟）数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．）
/
【思路点拨】先画角的平分线，再画出线段AB的垂直平分线，两线的交点就是P．
【答案与解析】
解：
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【总结升华】本题考查了角的平分线、线段垂直平分线的性质．
【巩固练习】
一.选择题
1．（2019?漳州）下列图案属于轴对称图形的是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
2．如图，ΔABC与Δ/关于直线/对称，则∠B的度数为 （ ）
/
A．30° B．50° C．90° D．100°
3. 下列说法中错误的是( )
A.两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴
B.关于某直线对称的两个图形全等
C.面积相等的两个三角形对称
D.轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后重合
4.（2019春?高密市校级月考）已知，如图，点P关于OA、OB的对称点分别是P1，P2，线段P1P2分别交OA、OB于D、C，P1P2=6cm，则△PCD的周长为（ ）
/
A.3cm B.6cm C.12cm D.无法确定
5. 如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A.在AC，BC两边高线的交点处 B.在AC，BC两边中线的交点处
C.在AC，BC两边垂直平分线的交点处 D.在∠A，∠B两内角平分线的交点处
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6．如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（ ）．
A．25° B．27° C．30° D．45°
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二.填空题
7． ΔABC中，若AB－AC＝2/，BC的垂直平分线交AB于D点，且ΔACD的周长为14/，则AB＝_____，AC＝_____.
8．如图，ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．
（1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；
（2）若AB＝5/，BC＝3/，则ΔPBC的周长＝_____cm．
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9.（2019秋?淮北期末）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1等于 ．
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10.如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=______°.
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11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E． 若∠CBD : ∠DBA ＝3:1，则∠A的度数为________．
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12．（2019?丰台区二模）如图，在棋盘中建立直角坐标系xOy，三颗棋子A，O，B的位置分别是（﹣1，1），（0，0）和（1，0）．如果在其他格点位置添加一颗棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请写出所有满足条件的棋子C的位置的坐标： .
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三.解答题
13. 如图所示，一个算式在镜中所成的像构成的算式是正确的，但是在实际中是正确的吗?实际中这个算式是什么?
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14. 如图所示，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，求证：BE＝CF．
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15．（2019?黄岛区校级模拟）某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．
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【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】A；
【解析】根据轴对称图形的定义判断.
2. 【答案】D；
【解析】成轴对称的两个图形对应线段、对应角相等.
3. 【答案】C；
【解析】面积相等不一定全等，也不一定对称.
4. 【答案】B；
【解析】解：∵点P关于OA、OB的对称点分别是P1，P2，
∴PD=P1D，PC=P2C；
∵P1P2=6（cm），
∴P1D+DC+P2C=6（cm），
∴PD+DC+PC=6（cm），
即△PCD的周长为6cm．
故选：B．
5. 【答案】C；
【解析】三角形垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等.
6. 【答案】B；
【解析】AC，BD互为对方的中垂线，∠ABD＝∠CBD＝∠E＝54°÷2＝27°.
二.填空题
7. 【答案】8cm, 6cm；
【解析】由题意，BD＝CD，AB－AC＝2，AB＋AC＝14，解得AB＝8；AC＝6.
8. 【答案】70, 8；
【解析】由垂直平分线的性质，AP＝BP，∠A＝∠ABP＝35°，∠BPA＝110°，
∠BPC＝70°.ΔPBC的周长＝BP＋PC＋BC＝ AP＋PC＋BC＝5＋3＝8/.
9. 【答案】60°；
【解析】解：∵由题意可得：∠2+∠3=90°，∠3=30°，
∴∠2=60°，
∵∠1=∠2，
∴∠1=60°．
故答案为：60°．
10．【答案】70；
【解析】∵CD与BE互相垂直平分，∴DB=DE，∵∠BDE=70°，∴∠BDC=35°，∠ABD=55°，∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°-55°=35°，根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．
11.【答案】18°；
【解析】∠A＝∠ABD＝/，∠CBD＝3/，5/＝90°，/＝18°.
12.【答案】（﹣1，2），（2，1），（﹣1，﹣1），（0．﹣1）；
【解析】如图所示，C点的位置为（﹣1，2），（2，1），A，O，B，C四颗棋子组成等腰梯形，直线l为该图形的对称轴，C点的位置为（﹣1，﹣1），x轴是对称轴，C点的位置为（0．﹣1），故答案为：（﹣1，2），（2，1），（﹣1，﹣1），（0．﹣1）．
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三.解答题
13.【解析】
在实际中的算式是：151＋25＋12＝188；结果也是正确的.
14.【解析】
证明：连接BD、CD， ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF（角平分线上的点到角的两边距离相等）． ∵MD是BC的垂直平分线， ∴DB＝DC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）． ∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）． ∴BE＝CF（全等三角形对应边相等）．
15.【解析】
解：如图，①连接AB，AC，
②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相较于点P，
则P即为售票中心．
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