人教版八年级上数学教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：25【基础】等边三角形含答案
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上数学教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：25【基础】等边三角形含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 227.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-03 07:53:50 | ||
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文档简介
等边三角形（基础）
【学习目标】
1. 掌握等边三角形的性质和判定.
2. 掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质．
3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．
【要点梳理】
【 等边三角形，知识要点】
要点一、等边三角形 等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
要点二、等边三角形的性质
等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
要点三、等边三角形的判定 等边三角形的判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
要点四、含30°的直角三角形 含30°的直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.
【典型例题】
类型一、等边三角形
1、（2019秋?崇州市期末）如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．
【思路点拨】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE为等边三角形．
【答案与解析】
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，
即∠ACD=120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠1=∠2=60°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
又∠BAC=60°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE为等边三角形．
【总结升华】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度适中，关键找出判定三角形等边的条件．
举一反三：
【变式】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.
【答案】
解： ∵PE⊥AB，∠B＝60°，
因此直角三角形PEB中，BE＝BP＝BC＝PC，
∴∠BPE＝30°，
∵∠EPF＝60°，
∴FP⊥BC，
∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，
∴△BEP≌△CPF，
∴PE＝PF，
∵∠EPF＝60°，
∴△EPF是等边三角形．
2、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，AD＝CE，求∠BPD的度数.
【答案与解析】
证明：在中，AB＝AC，∠ABC＝60°
∴为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴AC＝BC，∠A＝∠ECB＝60°
在和中
≌（SAS）
∴（全等三角形对应角相等）
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）
∴
∴∠DPB＝60°.
【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题得以解决.
举一反三：
【变式】（2019秋?黔西南州期末）△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，∠AQN等于多少度？
【答案】
解：证法一．
∵△ABC为正三角形
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC
在△AMB和△BNC中
，
△AMB≌△BNC（SAS），
∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC，
∠MAN=∠BAC﹣∠MAB=60°﹣∠MAB，
又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等），
∴∠ANB+∠MAN=120°，
又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°，
∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAN，
∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN），
=180°﹣120°=60°，
∠BOM=∠AQN=60°（全等三角形对应角相等）．
证法二．
∵△ABC为正三角形
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC
在△AMB和△BNC中
∴△AMB≌△BNC（SAS）
∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC
∠MAN=∠BAC﹣∠MAB
又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等）
∴∠ANB+∠MAN=120°
又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°
∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAB
∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN）
=180°﹣120°=60°
3、（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；
（2）如图，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．
【思路点拨】（1）由于△OCD和△OAB都是等边三角形，可得OD＝OC＝OB＝OA，进而求出∠BDA与∠CAD的大小及关系，则可求解∠AEB．（2）旋转后，△BOD与△AOC仍然保持全等，∠ACO＝∠BDO，∠AED＝∠ACO＋∠DCO＋∠CDB＝∠BDO＋60°＋∠CDB＝60°＋∠CDO＝120°，从而得到∠AEB的值.
【答案与解析】
证明：（1）∵O是AD的中点，
∴AO＝DO
又∵等边△AOB和等边△COD
∴AO＝DO＝CO＝BO，∠DOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°
∴∠CAO＝∠ACO＝∠BDO＝∠DBO＝30°
∴∠AEB＝∠BDO ＋∠CAO ＝60°
（2）∵∠BOD＝∠DOC＋∠BOC，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC
∴∠BOD＝∠AOC
在△BOD与△AOC中，
∴△BOD≌△AOC（SAS）
∴∠ACO＝∠BDO
∵∠AED＝∠ACO＋∠DCO＋∠CDB
＝∠BDO＋60°＋∠CDB＝60°＋∠CDO＝60°＋60°＝120°
∴∠AEB＝180°－∠AED＝60°.
【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题加以解决.
举一反三：
【变式】如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD、BE交于点F，求∠AFB 的度数.
【答案】
解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，
又∵∠ACB＋∠BCD＝∠ECD＋∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
设AD与BC相交于P点，在△ACP和△BFP中，有一对对顶角，
∴∠AFB＝∠ACB＝60°．
类型二、含30°的直角三角形
4、（2019春·龙口市期末）如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若∠AOB=60°．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）若EF=5，求线段OE的长.
【答案与解析】
解：（1）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，
∴DE=CE，
在Rt△ODE和Rt△OCE中，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（LH）
∴OD=OC，
∵∠AOB=60°，
∴△OCD是等边三角形；
（2）∵△OCD是等边三角形，OF是角平分线，
∴OE⊥DC，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵∠ODF=60°，ED⊥OA，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF=10，
∴OE=2DE=20.
【总结升华】本题考查等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，30°的直角三角形的性质等，熟练掌握性质和定理是解题的关键。
举一反三：
【 等边三角形：例5】
【变式】如图, △ABC中, ∠ACB＝90°, ∠ABC＝60°, AB的中垂线交BC的延长线于D，交AC于E, 已知DE＝2.则 AC的长为_________.
【答案】3；
提示：连接AD，证△ABD为等边三角形，则DE＝AE＝2，CE＝1，所以AC＝3.
【巩固练习】
一.选择题
1． （2019?陕西一模）已知：如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC=60°，∠ECD=40°，则∠ABE=（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
2．以下叙述中不正确的是( )．
A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线；
B．有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形；
C．等腰三角形一定是锐角三角形；
D．在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等；反之，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等．
3.（2019秋?荔湾区期末）如图，若△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE=CD，则BE=（ ）
A．7 B． 8 C． 9 D． 10
4. △ABC中三边为、、，满足关系式 （－）（－）（－）＝0，则这个三角形一定为 （ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰钝角三角形 D．等腰直角三角形
5. 等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ ）
A.105° B.120° C.135° D.150°
6. 如图，等边三角形ABC中，D为BC的中点，BE平分∠ABC交AD 于E，若△CDE的面积等于1，则△ABC的面积等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
二.填空题
7. （2019?黔南州）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为 ．
8．如图，△ABC为等边三角形，DC∥AB，AD⊥CD于D．若△ABC的周长为12，则CD ＝________．
9. 下列命题是真命题的是_________.
①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形．
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形．
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形．
④三个外角都相等的三角形是等边三角形．
10.△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则△DEF为_____三角形.
11．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是 ．
①P在∠A的平分线上； ②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.
12.如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点， 于点．若，则_____________．
三.解答题
13. 已知：如图，△ABD为等边三角形，△ACB为等腰三角形且∠ACB＝90°，DE⊥AC交AC延长线于E，求证：DE＝CE.
14.（2019秋?大英县校级期末）已知：等边△ABC和点P，设点P到△ABC的三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．
（1）如图1，若点P在边BC上，证明：h1+h2=h．
（2）如图2，当点P在△ABC内时，猜想h1、h2、h3和h有什么关系？并证明你的结论．
（3）如图3，当点P在△ABC外时，h1、h2、h3和h有什么关系？（不需要证明）
15. 如图，直角△ACB中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，而△ACD和△ABE都是等边三角形，AC，DE交于F.求证：FD＝FE且CF＝3AF.
【答案与解析】
选择题
1. 【答案】C；
【解析】∵D为BC的中点，AD⊥BC，∴EB=EC，AB=AC；
∴∠EBD=∠ECD，∠ABC=∠ACD．
又∵∠ABC=60°，∠ECD=40°，
∴∠ABE=60°﹣400=200.
2. 【答案】C；
【解析】等腰三角形顶角还可能是直角或钝角.
3. 【答案】C；
【解析】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD=CD=AC，∠DBC=∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴CE=AC=3
∴BE=BC+CE=6+3=9．
故选C．
4. 【答案】B；
【解析】由题意＝或＝或＝，这个三角形一定是等腰三角形.
5. 【答案】B；
【解析】等边△ABC的两条高线相交于O，∠OAB＝∠OBA＝30°，故∠AOB＝120°.
6. 【答案】C；
【解析】AE＝2DE，△ABC的面积是△CDE面积的6倍.
二.填空题
7. 【答案】6；
【解析】 ∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=6.
8. 【答案】2；
【解析】在直角三角形中，30°的直角边等于斜边的一半.
9. 【答案】①④
【解析】②一般等腰三角形的两个底角的外角都相等；③等腰三角形底边上的高就是底边的中线.
10.【答案】等边；
【解析】利用SAS可以判定△EAF≌△FBD≌△DCE，从而可得，EF=FD=DE，即△DEF为等边三角形.
11.【答案】①②③④；
12.【答案】2；
【解析】BE＝BD；CF＝DC，（BD＋DC）＝2.
三.解答题
13.【解析】
证明：连接DC，
∵△ABD为等边三角形，
∴∠DAB＝∠DBA＝60°
又∵△ACB为等腰三角形且∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠BDC＝∠ADC＝30°
∴∠CBD＝15°，∠DCB＝180°－30°－15°＝135°
又∵AC⊥BC，∴∠DCE＝45°
∵DE⊥AC
∴ΔDEC为等腰直角三角形
∴DE＝CE
14.【解析】
解：（1）如图1，连接AP，则 S△ABC=S△ABP+S△APC
∴BC?AM=AB?PD+AC?PF
即 BC?h=AB?h1+AC?h2
又∵△ABC是等边三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h1+h2．
（2）h=h1+h2+h3 ，理由如下：
如图2，连接AP、BP、CP，则 S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP
∴BC?AM=AB?PD+AC?PF+BC?PE
即BC?h=AB?h1+AC?h2+BC?h3
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC．
∴h=h1+h2+h3．
（3）h=h1+h2﹣h3．
理由如下：如图3，连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC﹣S△PBC，
即BC?AM=AB?PD+AC?PE﹣BC?PF，
∵AB=BC=AC，
∴h1+h2﹣h3=h，
即h1+h2﹣h3=h．
15.【解析】
证明：作DG⊥AC于G，
∵△ACD和△ABE都是等边三角形，
∴∠CDG＝30°，DC＝AC，AB＝AE，CG＝AG
在△ABC与△DGC中
∴△ABC≌△DGC（AAS）
∴DG＝AB＝AE
在△DGF和△EAF中，
∴△DGF≌△EAF（AAS）
∴AF＝GF，FD＝FE
∵CG＝AG，AF＋GF＝AG
∴CF＝3AF.
【学习目标】
1. 掌握等边三角形的性质和判定.
2. 掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质．
3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．
【要点梳理】
【 等边三角形，知识要点】
要点一、等边三角形 等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
要点二、等边三角形的性质
等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
要点三、等边三角形的判定 等边三角形的判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
要点四、含30°的直角三角形 含30°的直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.
【典型例题】
类型一、等边三角形
1、（2019秋?崇州市期末）如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．
【思路点拨】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE为等边三角形．
【答案与解析】
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，
即∠ACD=120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠1=∠2=60°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
又∠BAC=60°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE为等边三角形．
【总结升华】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度适中，关键找出判定三角形等边的条件．
举一反三：
【变式】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.
【答案】
解： ∵PE⊥AB，∠B＝60°，
因此直角三角形PEB中，BE＝BP＝BC＝PC，
∴∠BPE＝30°，
∵∠EPF＝60°，
∴FP⊥BC，
∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，
∴△BEP≌△CPF，
∴PE＝PF，
∵∠EPF＝60°，
∴△EPF是等边三角形．
2、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，AD＝CE，求∠BPD的度数.
【答案与解析】
证明：在中，AB＝AC，∠ABC＝60°
∴为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴AC＝BC，∠A＝∠ECB＝60°
在和中
≌（SAS）
∴（全等三角形对应角相等）
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）
∴
∴∠DPB＝60°.
【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题得以解决.
举一反三：
【变式】（2019秋?黔西南州期末）△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，∠AQN等于多少度？
【答案】
解：证法一．
∵△ABC为正三角形
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC
在△AMB和△BNC中
，
△AMB≌△BNC（SAS），
∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC，
∠MAN=∠BAC﹣∠MAB=60°﹣∠MAB，
又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等），
∴∠ANB+∠MAN=120°，
又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°，
∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAN，
∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN），
=180°﹣120°=60°，
∠BOM=∠AQN=60°（全等三角形对应角相等）．
证法二．
∵△ABC为正三角形
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC
在△AMB和△BNC中
∴△AMB≌△BNC（SAS）
∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC
∠MAN=∠BAC﹣∠MAB
又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等）
∴∠ANB+∠MAN=120°
又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°
∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAB
∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN）
=180°﹣120°=60°
3、（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；
（2）如图，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．
【思路点拨】（1）由于△OCD和△OAB都是等边三角形，可得OD＝OC＝OB＝OA，进而求出∠BDA与∠CAD的大小及关系，则可求解∠AEB．（2）旋转后，△BOD与△AOC仍然保持全等，∠ACO＝∠BDO，∠AED＝∠ACO＋∠DCO＋∠CDB＝∠BDO＋60°＋∠CDB＝60°＋∠CDO＝120°，从而得到∠AEB的值.
【答案与解析】
证明：（1）∵O是AD的中点，
∴AO＝DO
又∵等边△AOB和等边△COD
∴AO＝DO＝CO＝BO，∠DOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°
∴∠CAO＝∠ACO＝∠BDO＝∠DBO＝30°
∴∠AEB＝∠BDO ＋∠CAO ＝60°
（2）∵∠BOD＝∠DOC＋∠BOC，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC
∴∠BOD＝∠AOC
在△BOD与△AOC中，
∴△BOD≌△AOC（SAS）
∴∠ACO＝∠BDO
∵∠AED＝∠ACO＋∠DCO＋∠CDB
＝∠BDO＋60°＋∠CDB＝60°＋∠CDO＝60°＋60°＝120°
∴∠AEB＝180°－∠AED＝60°.
【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题加以解决.
举一反三：
【变式】如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD、BE交于点F，求∠AFB 的度数.
【答案】
解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，
又∵∠ACB＋∠BCD＝∠ECD＋∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
设AD与BC相交于P点，在△ACP和△BFP中，有一对对顶角，
∴∠AFB＝∠ACB＝60°．
类型二、含30°的直角三角形
4、（2019春·龙口市期末）如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若∠AOB=60°．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）若EF=5，求线段OE的长.
【答案与解析】
解：（1）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，
∴DE=CE，
在Rt△ODE和Rt△OCE中，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（LH）
∴OD=OC，
∵∠AOB=60°，
∴△OCD是等边三角形；
（2）∵△OCD是等边三角形，OF是角平分线，
∴OE⊥DC，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵∠ODF=60°，ED⊥OA，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF=10，
∴OE=2DE=20.
【总结升华】本题考查等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，30°的直角三角形的性质等，熟练掌握性质和定理是解题的关键。
举一反三：
【 等边三角形：例5】
【变式】如图, △ABC中, ∠ACB＝90°, ∠ABC＝60°, AB的中垂线交BC的延长线于D，交AC于E, 已知DE＝2.则 AC的长为_________.
【答案】3；
提示：连接AD，证△ABD为等边三角形，则DE＝AE＝2，CE＝1，所以AC＝3.
【巩固练习】
一.选择题
1． （2019?陕西一模）已知：如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC=60°，∠ECD=40°，则∠ABE=（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
2．以下叙述中不正确的是( )．
A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线；
B．有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形；
C．等腰三角形一定是锐角三角形；
D．在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等；反之，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等．
3.（2019秋?荔湾区期末）如图，若△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE=CD，则BE=（ ）
A．7 B． 8 C． 9 D． 10
4. △ABC中三边为、、，满足关系式 （－）（－）（－）＝0，则这个三角形一定为 （ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰钝角三角形 D．等腰直角三角形
5. 等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ ）
A.105° B.120° C.135° D.150°
6. 如图，等边三角形ABC中，D为BC的中点，BE平分∠ABC交AD 于E，若△CDE的面积等于1，则△ABC的面积等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
二.填空题
7. （2019?黔南州）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为 ．
8．如图，△ABC为等边三角形，DC∥AB，AD⊥CD于D．若△ABC的周长为12，则CD ＝________．
9. 下列命题是真命题的是_________.
①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形．
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形．
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形．
④三个外角都相等的三角形是等边三角形．
10.△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则△DEF为_____三角形.
11．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是 ．
①P在∠A的平分线上； ②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.
12.如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点， 于点．若，则_____________．
三.解答题
13. 已知：如图，△ABD为等边三角形，△ACB为等腰三角形且∠ACB＝90°，DE⊥AC交AC延长线于E，求证：DE＝CE.
14.（2019秋?大英县校级期末）已知：等边△ABC和点P，设点P到△ABC的三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．
（1）如图1，若点P在边BC上，证明：h1+h2=h．
（2）如图2，当点P在△ABC内时，猜想h1、h2、h3和h有什么关系？并证明你的结论．
（3）如图3，当点P在△ABC外时，h1、h2、h3和h有什么关系？（不需要证明）
15. 如图，直角△ACB中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，而△ACD和△ABE都是等边三角形，AC，DE交于F.求证：FD＝FE且CF＝3AF.
【答案与解析】
选择题
1. 【答案】C；
【解析】∵D为BC的中点，AD⊥BC，∴EB=EC，AB=AC；
∴∠EBD=∠ECD，∠ABC=∠ACD．
又∵∠ABC=60°，∠ECD=40°，
∴∠ABE=60°﹣400=200.
2. 【答案】C；
【解析】等腰三角形顶角还可能是直角或钝角.
3. 【答案】C；
【解析】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD=CD=AC，∠DBC=∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴CE=AC=3
∴BE=BC+CE=6+3=9．
故选C．
4. 【答案】B；
【解析】由题意＝或＝或＝，这个三角形一定是等腰三角形.
5. 【答案】B；
【解析】等边△ABC的两条高线相交于O，∠OAB＝∠OBA＝30°，故∠AOB＝120°.
6. 【答案】C；
【解析】AE＝2DE，△ABC的面积是△CDE面积的6倍.
二.填空题
7. 【答案】6；
【解析】 ∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=6.
8. 【答案】2；
【解析】在直角三角形中，30°的直角边等于斜边的一半.
9. 【答案】①④
【解析】②一般等腰三角形的两个底角的外角都相等；③等腰三角形底边上的高就是底边的中线.
10.【答案】等边；
【解析】利用SAS可以判定△EAF≌△FBD≌△DCE，从而可得，EF=FD=DE，即△DEF为等边三角形.
11.【答案】①②③④；
12.【答案】2；
【解析】BE＝BD；CF＝DC，（BD＋DC）＝2.
三.解答题
13.【解析】
证明：连接DC，
∵△ABD为等边三角形，
∴∠DAB＝∠DBA＝60°
又∵△ACB为等腰三角形且∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠BDC＝∠ADC＝30°
∴∠CBD＝15°，∠DCB＝180°－30°－15°＝135°
又∵AC⊥BC，∴∠DCE＝45°
∵DE⊥AC
∴ΔDEC为等腰直角三角形
∴DE＝CE
14.【解析】
解：（1）如图1，连接AP，则 S△ABC=S△ABP+S△APC
∴BC?AM=AB?PD+AC?PF
即 BC?h=AB?h1+AC?h2
又∵△ABC是等边三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h1+h2．
（2）h=h1+h2+h3 ，理由如下：
如图2，连接AP、BP、CP，则 S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP
∴BC?AM=AB?PD+AC?PF+BC?PE
即BC?h=AB?h1+AC?h2+BC?h3
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC．
∴h=h1+h2+h3．
（3）h=h1+h2﹣h3．
理由如下：如图3，连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC﹣S△PBC，
即BC?AM=AB?PD+AC?PE﹣BC?PF，
∵AB=BC=AC，
∴h1+h2﹣h3=h，
即h1+h2﹣h3=h．
15.【解析】
证明：作DG⊥AC于G，
∵△ACD和△ABE都是等边三角形，
∴∠CDG＝30°，DC＝AC，AB＝AE，CG＝AG
在△ABC与△DGC中
∴△ABC≌△DGC（AAS）
∴DG＝AB＝AE
在△DGF和△EAF中，
∴△DGF≌△EAF（AAS）
∴AF＝GF，FD＝FE
∵CG＝AG，AF＋GF＝AG
∴CF＝3AF.