3.3.2 均匀随机数的产生
课后篇巩固提升
基础巩固
1.与均匀随机数特点不符的是( )
A.是区间内的任何一个实数
B.是随机的
C.是等可能的
D.是随机数的平均数
解析A,B,C是均匀随机数的定义,均匀随机数的“均匀”是“等可能”的意思,并不是“随机数的平均数”.
答案D
2.设x是[0,1]内的一个均匀随机数,经过变换,y=2x+3,则x=12对应变换成的均匀随机数是( )
A.0 B.2 C.4 D.5
解析当x=12时,y=2×12+3=4.
答案C
3.把[0,1]内的均匀随机数x分别转化为[0,4]和[-4,1]内的均匀随机数y1,y2,需实施的变换分别为( )
A.y1=-4x,y2=5x-4 B.y1=4x-4,y2=4x+3
C.y1=4x,y2=5x-4 D.y1=4x,y2=4x+3
解析∵x∈[0,1],∴4x∈[0,4],5x-4∈[-4,1].故选C.
答案C
4.在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为23,则阴影区域的面积约为( )
A.43 B.83 C.23 D.无法计算
解析在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为S阴影S正方形≈23,∵S正方形=4,∴S阴影≈83.
答案B
5.
将一个长与宽不等的长方形,沿对角线分成四个区域,如图所示涂上四种颜色,中间装个指针,使其可以自由转动,对指针停留的可能性下列说法正确的是( )
A.一样大 B.蓝白区域大
C.红黄区域大 D.由指针转动圈数决定
解析指针停留在哪个区域的可能性大,即表明该区域的张角大,显然,蓝白区域大.
答案B
6.在边长为2的正三角形ABC内任取一点P,则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是 .?
解析以A、B、C为圆心,以1为半径作圆,与△ABC交出三个扇形,当P落在其内时符合要求.
∴P=3×12×π3×1234×22=3π6.
答案3π6
7.一鱼缸盛有a升水,内有b条鱼苗,用一个水杯从鱼缸中取出c(c
解析设含有x条鱼苗,ba≈xc,所以x≈bca.
答案bca
8.如图,利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y=x22与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S.
①先产生两组0~1的均匀随机数,a=RAND,b=RAND;②做变换,令x=2a,y=2b;③产生N个点(x,y),并统计满足条件y<x22的点(x,y)的个数N1,已知某同学用计算器做模拟试验结果,当N=1 000时,N1=332,则据此可估计S的值为 .?
解析根据题意,满足条件y<x22的点(x,y)的概率是3321 000,矩形的面积为4,则有S4≈3321 000,所以S≈1.328.
答案1.328
9.
利用随机模拟方法计算下图中阴影部分(y=1和y=x2所围成的部分)的面积.
解(1)利用计算机产生两组[0,1]区间的均匀随机数,a1=RAND,b=RAND;
(2)进行平移和伸缩变换,a=2(a1-0.5);
(3)数出落在阴影内(即满足00)的样本点数N1,用几何概型公式计算阴影部分的面积.
例如做1 000次试验,即N=1 000,模拟得到N1=698,所以S≈2N1N=1.396.(N代表落在矩形中的点(a,b)的个数).
10.
利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y=log3x与x=3及x轴围成的图形)的面积.
解设事件A:“随机向正方形内投点,所投的点落在阴影部分”.
(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.
(2)经过变换x=NN1·x1,即为概率P(A)的近似值.
设阴影部分的面积为S,正方形的面积为3,由几何概率公式得P(A)=S3,所以N1N≈S3.
所以S≈3N1N即为阴影部分面积的近似值.
能力提升
1.将[0,1]内的均匀随机数a1转化为[-3,4]内的均匀随机数a,需要实施的变换为( )
A.a=7a1 B.a=7a1+3
C.a=7a1-3 D.a=4a1
解析根据伸缩平移变换,a=a1·[4-(-3)]+(-3)=7a1-3,故选C.
答案C
2.利用随机模拟方法计算y=x2与y=4围成的面积时,利用计算器产生两组0~1之间的均匀随机数a1=RAND,b1=RAND,然后进行平移与伸缩变换,a=4a1-2,b=4b1,试验进行100次,前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65,已知最后两次试验的随机数a1=0.3,b1=0.8及a1=0.4,b1=0.3,那么本次模拟得出的面积的近似值为 .?
解析由a1=0.3,b1=0.8,得a=-0.8,b=3.2,(-0.8,3.2)落在y=x2与y=4围成的区域内;由a1=0.4,b1=0.3,得a=-0.4,b=1.2,(-0.4,1.2)落在y=x2与y=4围成的区域内,所以本次模拟得出的面积的近似值为16×67100=10.72.
答案10.72
3.
设函数y=f(x)在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)0~1区间上的均匀随机数x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,…,N).再数出其中满足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得S的近似值为 .?
解析由0≤f(x)≤1可知曲线y=f(x)与直线x=0,x=1,y=0围成了一个曲边图形.
因为产生的随机数对在题图的正方形内,正方形的面积为1,共有N对数,即有N个点,且满足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的有N1个点,即在函数f(x)图象上及下方有N1个点,所以由几何概型的求概率公式得:曲线y=f(x)与x=0,x=1,y=0围成的面积的近似值为N1N×1=N1N.
答案N1N
4.假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生,并且这50名学生早上到校先后的可能性是相同的.设计模拟方法估计下列事件的概率:
(1)小燕比小明先到校;
(2)小燕比小明先到校,小明比小军先到校.
解记事件A“小燕比小明先到校”;记事件B“小燕比小明先到校且小明比小军先到校”.
①利用计算器或计算机产生三组0到1区间的均匀随机数,a=RAND,b=RAND,c=RAND分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间;
②统计出试验总次数N及其中满足b③计算频率fn(A)=N1N,fn(B)=N2N,即分别为事件A,B的概率的近似值.
5.如图所示,曲线y=x2与y轴、直线y=1围成一个区域A(图中的阴影部分),用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法).
解法一 我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子,数出落在区域A内的豆子数与落在正方形内的豆子数,根据落在区域A内的豆子数落在正方形内的豆子数≈区域A的面积正方形的面积,即可求区域A面积的近似值.例如,假设撒1 000粒豆子,落在区域A内的豆子数为700,则区域A的面积S≈7001 000=0.7.
法二 对于上述问题,我们可以用计算机模拟上述过程,步骤如下:
第一步,产生两组0~1内的均匀随机数,它们表示随机点(x,y)的坐标.如果一个点的坐标满足y≥x2,就表示这个点落在区域A内.
第二步,统计出落在区域A内的随机点的个数M与落在正方形内的随机点的个数N,可求得区域A的面积S≈MN.
课件24张PPT。3.3.2 均匀随机数的产生均匀随机数的产生
在古典概型中我们可以用计算器或计算机产生整数值随机数来模拟古典概型的问题,那么在几何概型中我们能不能通过产生随机数来模拟试验呢?如果能,我们又如何产生随机数呢?1.我们常用的是[0,1]上的均匀随机数,如何利用计算器产生0~1之间的均匀随机数?
提示用计算器产生0~1之间的均匀随机数的方法如下:
用计算机的方法如下:用Excel演示.(1)选定A1格,键入“=rand( )”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的[0,1]上的均匀随机数;(2)选定A1格,点击复制,然后选定要产生随机数的格,比如A2~A100,点击粘贴,则在A2~A100的数都是[0,1]上的均匀随机数.这样我们很快就得到了100个0~1之间的均匀随机数,相当于做了100次随机试验.2.计算机只能产生[0,1]上的均匀随机数,若试验的结果是区间[a,b]上等可能出现的任何一个值,则需要产生[a,b]上的均匀随机数,对此,你用什么办法解决?
提示首先利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数X=RAND,然后利用伸缩和平移变换:Y=(b-a)X+a计算Y的值,则Y为[a,b]上的均匀随机数.
3.利用计算机产生100个[2,6]上的均匀随机数,具体如何操作?
提示(1)在A1~A100产生100个0~1之间的均匀随机数;(2)选定B1格,键入“=A1?? 4+2”按Enter键,则在此格中的数是随机产生的[2,6]上的均匀随机数;(3)选定B1格,拖动至B100,则在B1~B100的数都是[2,6]上的均匀随机数.4.做一做1:判断题
(1)根据几何概型试验,用计算机或计算器产生均匀随机数统计试验次数N和事件A发生的次数N1,得到的值 是P(A)的精确值. ( )
(2)用均匀随机数进行随机模拟不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积. ( )
(3)用均匀随机数进行随机模拟,不适合估计古典概型的概率. ( )
答案:(1)× (2)√ (3)√5.做一做2:用计算器或计算机产生20个0~1之间的随机数x,但是基本事件都在区间[-1,3]上,则需要经过的变换是( )
A.y=3x-1 B.y=3x+1 C.y=4x+1 D.y=4x-1
答案:D探究一探究二探究三思维辨析例1 在长为12 cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,用随机模拟方法求这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率.
分析正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在12 cm长的线段上取一点M,求使得AM的长度介于6 cm与9 cm之间的概率.用随机模拟法估算几何概型问题的概率 当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解法一(1)用计算机产生一组[0,1]内的均匀随机数,a1=RAND;
(2)经过伸缩变换a=12a1,得到[0,12]内的均匀随机数;
(3)统计试验总次数N和[6,9]内随机数的个数N1;
解法二(1)做一个带有指针的转盘,把圆周12等分,标上刻度0~12(0与12重合);
(2)固定指针转动转盘或固定转盘转动指针,记下指针在[6,9]内的次数m及试验总次数n;当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟用模拟试验求概率近似值的步骤如下:第一步确定求均匀随机数的实数区间[a,b];第二步用计算器或计算机求[0,1]内的均匀随机数;第三步用平移和伸缩变换转化到[a,b]内的随机数;第四步确定试验次数N和事件A发生次数N1,求得频率,即得出概率的近似值.也可用转盘模型,进行模拟试验,求得概率的近似值.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练1利用随机模拟的方法求解下面事件的概率:在区间[0,10]内任取一个数,求这个实数不大于4的概率.
解:第一步,利用计算器的RAND( )函数产生N个[0,1]内的均匀随机数x.
第二步,利用变换x'=10*x,将[0,1]内的随机数转换为[0,10]内的随机数10x.
第三步,统计出区间[0,4]内的随机数的个数N1.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析例2 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y=2x与x轴,x=±1围成的部分)的面积.
分析画出正方形→随机模拟→算出面积比→求得面积近似值用随机模拟法近似计算不规则图形的面积 当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解:步骤:(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND;
(2)进行平移和伸缩变换,a=2a1-1,b=2b1,得到一组[-1,1]内的均匀随机数和一组[0,2]内的均匀随机数;
(3)统计试验总数N和落在阴影内的点数N1[满足条件b<2a的点(a,b)的个数];当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟利用随机模拟法估计图形面积的步骤
(1)把已知图形放在平面直角坐标系中,将图形看成某规则图形(长方形或圆等)内的一部分,并用阴影表示.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练2利用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆的面积,如图,并估计圆周率π的近似值.
解(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.
(2)经过平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,
b=(b1-0.5)*2,得到两组[-1,1]上的均匀随机数.
(3)统计试验总次数N和点落在圆内的次数N1[满足a2+b2≤1的点(a,b)数].当堂检测探究一探究二探究三思维辨析例3甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.
(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时,求它们中任何一条船不需要等待码头空出的概率;
(2)如果甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为2小时,求它们中任何一条船不需要等待码头空出的概率.
分析设甲、乙两船到达时间分别为x,y.根据条件列出不等式(组),并在平面直角坐标系内画出不等式组表示的区域,利用区域的面积求解.利用坐标平面求与面积有关的几何概型的概率 当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟一般地,若一个随机事件需要用两个连续变量来描述,则可以用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件,利用坐标平面能顺利地建立与面积有关的几何概型.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练3甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去.求两人能会面的概率.
解以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的充要条件为|x-y|≤15,
在如图所示的平面直角坐标系下,(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形,而事件A“两人能会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析搞不清由[0,1]变换到[a,b]的实质而致误
典例 将区间[0,1]内的均匀随机数a1转化为[-2,6]内的均匀随机数a,需实施的变换为( )
A.a=8a1 B.a=8a1+2 C.a=8a1-2 D.a=6a1
错解选A或B或D
以上错解中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范?
错因分析区间[0,1]长度为1,区间[a,b]的长度为b-a,所以先把[0,1]内的数乘以b-a,得到[0,b-a]内的数,再把所得数(b-a)x加上a(x∈[0,1])就得[a,b]内的数.不理解公式(b-a)x+a的实质,也就无法实施变换.
正解C
防范措施解答此类问题时,牢记由区间[0,1]内的均匀随机数转化为[a,b]内的均匀随机数的公式.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练将区间[0,1]内的均匀随机数x1转化为区间[-2,2]内的均匀随机数x,需要实施的变换为( )
A.x=2x1 B.x=4x1
C.x=2x1+2 D.x=4x1-2
解析:因为x1∈[0,1],所以0≤4x1≤4,-2≤4x1-2≤2.所以x=4x1-2满足题意.
答案:D当堂检测1.用均匀随机数进行随机模拟,可以解决( )
A.只能求几何概型的概率,不能解决其他问题
B.不仅能求几何概型的概率,还能计算图形的面积
C.不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积
D.最适合估计古典概型的概率
解析:很明显用均匀随机数进行随机模拟,不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积,但得到的是近似值,不是精确值,用均匀随机数进行随机模拟,不适合估计古典概型的概率.
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.设x是[0,1]内的一个均匀随机数,经过变换y=2x+3,则x= 对应变换成的均匀随机数是( )
A.0 B.2 C.4 D.5
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.如图,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率是 ,则阴影区域的面积是( )
解析:在正方形中随机撒一粒豆子,其结果有无限个,属于几何概型.设“落在阴影区域内”为事件A,则事件A构成的区域是阴影部分.设阴影区域的面积为S,全部结果构成的区域面积是正方形的面积,则
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测