习题课 古典概型与几何概型
课后篇巩固提升
1.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
A.13 B.12 C.23 D.34
解析从4张卡片中取2张共有6种取法,其中一奇一偶的取法共4种,故P=46=23.
答案C
2.将一个面积为24 cm2的正方形分成A,B,C,D四等份,再随机地向这个正方形投一粒沙子,并且沙子落在正方形内每一点都是等可能的,则该粒沙子落在A或B内的概率为( )
A.14 B.12 C.116 D.18
解析∵沙子落入A,B,C,D内的概率都是14,且“沙子落入A”与“沙子落入B”互斥,∴P=24=12.
答案B
3.已知A={-1,0,1},点P的坐标为(x,y),其中x∈A,y∈A,记点落在第一象限为事件M,则P(M)等于( )
A.13 B.16 C.19 D.29
解析点P的坐标可能为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,0),(0,1),(0,-1),(1,-1),(1,1),(1,0),共9种,其中落在第一象限的点为(1,1).则P(M)=19.
答案C
4.在集合A={2,3}中随机取一个元素m,在集合B={1,2,3}中随机取一个元素n,得到点P(m,n),则点P在圆x2+y2=9内部的概率为( )
A.12 B.13 C.34 D.25
解析点P(m,n)的情况为(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种,只有(2,1),(2,2)这两个点在圆x2+y2=9的内部,所求概率为26=13.
答案B
5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的点数分别为X,Y,则log2XY=1的概率为( )
A.16 B.536 C.112 D.12
解析设“log2XY=1”为事件A,则A包含的基本事件有3个,(1,2),(2,4),(3,6),故P(A)=336=112.
答案C
6.
如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 .?
解析依题意,记题中被污损的数字为x,若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩,则有(8+9+2+1)-(5+3+x+5)≤0,x≥7,即此时x的可能取值是7,8,9,因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P=310=0.3.
答案0.3
7.假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分(等腰三角形)的概率是 .?
解析设A={黄豆落在阴影内},因为黄豆落在图中每一个位置是等可能的,因此P(A)=S△ABCS圆,因为△ABC为等腰直角三角形,设☉O的半径为r,则AC=BC=2r,所以S△ABC=12AC·BC=r2,S☉O=πr2,
所以P(A)=r2πr2=1π.
答案1π
8.《九章算术》是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题:“今有勾五步,股十二步.问勾中容方几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步,问其内接正方形边长为多少步?”现若向此三角形内投豆子,则豆子落在其内接正方形内的概率是 .?
解析如图,设Rt△ABC的两直角边长分别为a,b,其内接正方形CEDF的边长为x,则由△ADF∽△ABC,得AFAC=DFBC,
即a-xa=xb,解得x=aba+b.从而内接正方形CEDF的面积为S正方形CEDF=aba+b2,
又Rt△ABC的面积为S△ABC=ab2,所以所求概率P=aba+b2ab2=2ab(a+b)2=2×5×12(5+12)2=120289.
答案120289
9.在区间[0,4]上随机地选择一个数p,则方程x2-px+3p-8=0有两个正根的概率为 .?
解析因为方程x2-px+3p-8=0有两个正根,
所以Δ=p2-4(3p-8)≥0,p>0,3p-8>0,解得p≥8或83
又p∈[0,4],所以所求概率P=4-834=13.
答案13
10.全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2017年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.
组号
分组
频数
1
[4,5)
2
2
[5,6)
8
3
[6,7)
7
4
[7,8]
3
(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率;
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.
解法一(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2,从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10个.
其中,至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共9个.故所求概率P=910.
(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5×220+5.5×820+6.5×720+7.5×320=6.05.
解法二(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2.
从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10个.
其中,没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是:{B1,B2},共1个.故所求概率P=1-110=910.
(2)同解法一.
11.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
(1)求z的值;
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
解(1)设该厂这个月共生产轿车n辆,
由题意得50n=10100+300,所以n=2 000.则z=2 000-(100+300)-(150+450)-600=400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车,
由题意4001 000=a5,得a=2.
因此抽取的容量为5的样本中,有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.
用A1,A2表示2辆舒适型轿车,用B1,B2,B3表示3辆标准型轿车,用E表示事件“在该样本中任取2辆,其中至少有1辆舒适型轿车”,
则基本事件空间包含的基本事件有:
(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10个.事件E包含的基本事件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共7个.故P(E)=710,即所求概率为710.
(3)样本平均数x=18×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.
设D表示事件“从样本中任取一数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”,则基本事件空间中有8个基本事件,事件D包括的基本事件有:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0共6个,所以P(D)=68=34,即所求概率为34.
课件28张PPT。习题课 古典概型与几何概型1.互斥事件与对立事件有什么联系与区别?
提示(1)不可能同时发生的事件称为互斥事件.
(2)对立事件要同时满足两个条件:一是不可能同时发生;二是必有一个发生.
(3)对立事件一定是互斥事件,而互斥事件不一定是对立事件.
2.互斥事件与对立事件的概率计算公式分别是什么?
提示(1)若事件A1,A2,…,An彼此互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
3.古典概型的概率计算公式是怎样的?
4.几何概型的概率计算公式是怎样的?
5.做一做1:某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件抽得正品的概率为( )
A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96
解析:设“抽得正品”为事件A,“抽得乙级品”为事件B,“抽得丙级品”为事件C,由题意得,P(A)=1-P(B∪C)=1-P(B)-P(C)=1-0.03-0.01=0.96.
答案:D6.做一做3:已知正方体ABCD-A1B1C1D1内有一个内切球O,则在正方体ABCD-A1B1C1D1内任取点M,点M在球O内的概率是( )
答案:C探究一探究二探究三规范解答互斥事件与对立事件的概率计算
例1某医院要派医生下乡义诊,派出医生的人数及其概率如下表所示:
(1)求派出医生至多2人的概率;
(2)求派出医生至少2人的概率.
分析准确表示事件→分析事件之间的关系→计算概率当堂检测探究一探究二探究三规范解答解:设“不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件B,“派出2名医生”为事件C,“派出3名医生”为事件D,“派出4名医生”为事件E,“派出5名及5名以上医生”为事件F,事件A,B,C,D,E,F彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04.
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)方法一:“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.
方法二:“派出医生至少2人”的概率为1-P(A∪B)=1-0.1-0.16=0.74.反思感悟求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和,应用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)求解;二是先求其对立事件的概率,再应用公式P(A)=1-P 求解.当堂检测探究一探究二探究三规范解答变式训练1对某班一次测验成绩进行统计,结果如下表所示:
(1)求该班成绩在[80,100]内的概率;
(2)求该班成绩在[60,100]内的概率.解:记该班的测试成绩在[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内依次为事件A,B,C,D,由题意知事件A,B,C,D是彼此互斥的.
(1)该班成绩在[80,100]内的概率是P(C∪D)=P(C)+P(D)=0.25+0.15=0.4.
(2)方法一:该班成绩在[60,100]内的概率是P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.18+0.36+0.25+0.15=0.94.
方法二:该班成绩在[60,100]内的概率是1-0.02-0.04=0.94.当堂检测探究一探究二探究三规范解答与古典概型相关的问题
例2 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)
(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现要从中选2人:
①若从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率;
②求至少有1名男同学被选中的概率.当堂检测探究一探究二探究三规范解答分析(1)根据已知分别求出基本事件空间与所求事件所包含的基本事件数,然后代入相应的公式求解即可.(2)中的②可转化为所求事件的对立事件求解.
解(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的同学有30人,
故至少参加上述一个社团的同学共有45-30=15(人),
所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率当堂检测探究一探究二探究三规范解答(2)①从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:
{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},
{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},
{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},
共15个.
根据题意,这些基本事件的出现是等可能的,
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个.
因此,A1被选中且B1未被选中的概率当堂检测探究一探究二探究三规范解答②从这5名男同学和3名女同学中任选2人,不同的选法有:
{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},
{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},
{A3,A4},{A3,A5},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},
{A4,A5},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},
{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},
{B1,B2},{B1,B3},
{B2,B3}.
共28种.当堂检测探究一探究二探究三规范解答反思感悟对于古典概型概率的计算,关键是分清基本事件个数n与事件A中包含的结果数m,有时需要先用列举法把基本事件一一列举出来,再利用公式P(A)= 求出事件的概率. 当堂检测探究一探究二探究三规范解答变式训练2一个盒子里装有完全相同的八个小球,分别标上1,2,3,…,8这8个数字,现随机地抽取两个小球,根据下列条件求两个小球上数字为相邻整数的概率.
(1)小球是不放回的;
(2)小球是有放回的.当堂检测探究一探究二探究三规范解答解:(1)由题意知本题要求的是一个古典概型的概率,“无放回地从8个小球中随机地选取2个”包含的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{1,7},{1,8},{2,2},{2,4},{2,5},{2,6},{2,7},{2,8},{3,4},{3,5},{3,6},{3,7},{3,8},{4,5},{4,6},{4,7},{4,8},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},{6,8},{7,8},共28个,其中“2个数字为相邻整数”的基本事件有{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},{5,6},{6,7},{7,8},共7个,∴根据古典概型的概率公式得“两个小球上数字为相邻整数”的概率为
(2)由题意知本题要求的是一个古典概型的概率,“有放回地从8个小球中随机地选取2个”包含的基本事件有64个(具体不再一一列出,同学们可自行选取方法罗列),“2个小球上的数字为相邻整数”包含的基本事件有14个(同学们可在自己罗列的基本事件中一一找寻),由古典概型的概率公式得所求的概率为当堂检测探究一探究二探究三规范解答例3 已知ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点P,则取到的点P到点O的距离大于1的概率为( )与几何概型的相关计算 当堂检测探究一探究二探究三规范解答答案:B
反思感悟由于其结果的无限性,在几何概型中,概率不能应用P(A)= 求解,故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解.当堂检测探究一探究二探究三规范解答变式训练3如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取点M,则使四棱锥M-ABCD的体积小于 的概率为 .?当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答古典概型与几何概型的计算
典例 设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;
(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数,b是从区间[0,2]上任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
【审题策略】 (1)a,b的取值是有限个,所以这是古典概型;
(2)a,b的取值是无限个,所以这是几何概型.当堂检测探究一探究二探究三规范解答【规范展示】 解:设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件是a≥b.
(1)基本事件共有12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.
事件A包含9个基本事件,故事件A发生的概率为
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},如图所示.
故所求的概率为当堂检测探究一探究二探究三规范解答【答题模板】
第1步:求出当事件A发生时满足的条件;
↓
第2步:根据题意找到对应的试验结果或区域;
↓
第3步:代入对应的概率计算公式求解.
失误警示
通过阅卷统计分析,造成失分的原因如下:
(1)不能判断试验结果是有限个还是无限个;
(2)概率公式记错;
(3)计算环节出错.当堂检测探究一探究二探究三规范解答变式训练箱子里有3双不同的手套,随机拿出2只,记事件A表示“拿出的手套配不成对”;事件B表示“拿出的都是同一只手上的手套”;事件C表示“拿出的手套一只是左手的,一只是右手的,但配不成对”.
(1)请列出所有的基本事件;
(2)分别求出事件A、事件B、事件C的概率.当堂检测探究一探究二探究三规范解答解:(1)分别设3双手套为a1a2;b1b2;c1c2,a1,b1,c1分别代表左手手套,a2,b2,c2分别代表右手手套.从箱子里的3双不同的手套中,随机拿出2只,所有的基本事件是(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2),(c1,c2).共15个基本事件.当堂检测1.从甲、乙等5名学生中随机选出2名学生,则甲被选中的概率为( )
解析:从甲、乙等5名学生中随机选2名学生共有10种情况,甲被选中有4种情况,则甲被选中的概率为
答案:B探究一探究二探究三规范解答当堂检测2.如图所示的大正方形面积为13,四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形,较短的直角边长为2,向大正方形内投掷飞镖,则飞镖落在阴影部分的概率为( )
解析:设阴影小正方形边长为x,则在每一个直角三角形中,有
答案:C探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测3.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品是一等品或二等品”的概率为 .?
解析:∵P(A)=0.65,P(B)=0.2,
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.85.
答案:0.854.如图,四边形ABCD为矩形,AB= ,BC=1,以A为圆心,1为半径作四分之一个圆弧 ,在∠DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为 .?
解析:因为在∠DAB内任作射线AP,所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB,当射线AP与线段BC有公共点时,射线AP落在∠CAB内,则区域H为∠CAB,所以射线AP与线段BC有公共点的探究一探究二探究三规范解答当堂检测